精品解析：山东省菏泽市成武县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

二〇二五年初中学业水平考试（中考） 数学模拟试题（一） 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为正方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ） A. B. C. D. 5. 小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是（） A. B. C. D. 6. 不等式组的最小整数解为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 8. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A. B. C. D. 9. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 10. 如图是边长为4的正方形，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿方向运动，动点同时以每秒3个单位的速度从点出发沿正方形的边方向逆时针运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒，以点，，为顶点的三角形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 因式分解：_____________ ． 12. 代数式有意义，则的取值范围是______． 13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______． 14. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 15. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 17. 某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容 测量湖边A、B两处的距离 成员 组长：××× 组员：×××××××××××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数． 测量数据 角的度数 边的长度 米 米 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容． 已知：如图，在中，．_________．（从记录表中再选一个条件填入横线） 求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．） 18. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 19. 如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．求证： （1）； （2）； （3）当时，为等边三角形． 20. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解． 乙：，解得，经检验是原方程的解． 则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______； （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 21. 某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球 调查结果 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了多少名学生？ （2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． （3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 22. 如图，是的直径，是上一点，平分，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； （3）在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中学业水平考试（中考） 数学模拟试题（一） 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质化简，再利用相反数的性质得出答案． 【详解】解：，故的相反数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、相反数的性质，解题的关键是正确掌握相关性质． 2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、负整数指数幂、积的乘方、单项式乘以单项式等知识点，根据相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能合并，原结果错误，不符合题意； B、，原结果错误，不符合题意； C、，原结果正确，符合题意； D、，原结果错误，不符合题意； 故选C． 4. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为正方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及几何体的展开图逐一判断即可，熟练掌握几何体的展开图是解决此题的关键． 【详解】A、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意； B、能折叠成原几何体的形式，符合题意； C、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意； D、不是这个几何体的表面展开图，不符合题意； 故选：B． 5. 小强同学从，，，，，这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式得x＜1，可知六个数中只有2个满足不等式，故通过概率公式可求得概率. 【详解】解：x+1＜2 解得：x＜1 ∴六个数中满足条件的有2个，故概率是. 故选C 【点睛】本题考查了解不等式，随机事件概率，解本题的关键是通过解不等式来求满足条件的随机事件概率. 6. 不等式组的最小整数解为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解， 分别解两个不等式，确定解集的公共部分，再找出其中的最小整数． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 可知整数解为，最小整数为． 故选：C． 7. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴ ∵对称， ∴， ∴ ∵对称， ∴， ∴， 同理， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示， 当三点重合时，， ∴ 即 ∴四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，， ∴， 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形， 当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形 ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 故选A． 【点睛】题目主要考查不规则图形的面积及旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 9. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图是边长为4的正方形，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿方向运动，动点同时以每秒3个单位的速度从点出发沿正方形的边方向逆时针运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒，以点，，为顶点的三角形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，求出分段函数解析式是本题的关键． 分三种情况当时，当时，当时，分别求出面积解析式，即可求解． 【详解】解：设点的运动时间为秒， ∵正方形的边长为4，点以每秒1个单位的速度从点出发沿方向运动，动点同时以每秒3个单位的速度从点出发沿正方形的边方向逆时针运动， ∴当点与点相遇时，， 解得，即3秒后点与点相遇， 当时，点在上运动，如图， 此时的面积为， ∴当时，的面积随时间的增大而直线增大； 当时，点在上运动，如图， 此时的面积为， ∵此二次函数开口朝下，对称轴为， ∴当时，的面积随时间的增大而抛物线减小； 当时，点在上运动，如图， 此时的面积为， ∴当时，的面积随时间的增大而直线减小； 综上所述，能够反映与之间函数关系的图象大致是D选项的图象， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 因式分解：_____________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 12. 代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______． 【答案】63°或27° 【解析】 【分析】等腰三角形分锐角和钝角两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数： 【详解】有两种情况： （1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°， ∵∠ABD=36°， ∴∠A=90°-36°=54°. ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=×（180°-54°）=63°. （2）如图 当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°， ∵∠HFE=36°， ∴∠HEF=90°-36°=54°， ∴∠FEG=180°-54°=126°. ∵EF=EG， ∴∠EFG=∠G=×（180°-126°）=27°． 【点睛】考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；分类思想的应用． 14. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十二烷的化学式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 15. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】∵边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得∶， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． ∵ ∴ ∴ ∴原式． 17. 某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容 测量湖边A、B两处的距离 成员 组长：××× 组员：×××××××××××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数． 测量数据 角的度数 边的长度 米 米 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容． 已知：如图，在中，．_________．（从记录表中再选一个条件填入横线） 求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．） 【答案】米，线段的约长为77米；米，线段的约长为77米 【解析】 【分析】填入数据米．作于点D，在和中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）当填入米时： 已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线） 求：线段的长． 解：作于点D， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴(米)， 答：线段的约长为77米． （2）当填入米时： 已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线） 求：线段的长． 解：作于点D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴(米)， 答：线段的约长为77米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-其他问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：轴， ， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴于点E， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 点A、C是反比例函数和一次函数的交点， 联立，解得：或， ， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． 19. 如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．求证： （1）； （2）； （3）当时，为等边三角形． 【答案】（1） 证明：在与中， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， （2） 证明：∵于点，于点， ∴， ∴四点共圆， ∴ ∵ ∴； （3） 证明：∵， ∴ ∵四点共圆， ∴ ∵于点，于点，为边的中点， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解； （2）证明四点共圆，得到，等量代换得到； （3）首先求出，然后由圆周角定理得到，然后证明出，即可得到为等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 20. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解． 乙：，解得，经检验是原方程的解． 则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______； （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量 （2）最多购进型玩具个 【解析】 【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可； （2）设最多购进型玩具个，根据题意，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个， ∴分别表示型玩具和型玩具的数量， ∴表示型玩具的单价； 对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍， ∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价， ∴表示购买型玩具的数量； 故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量 【小问2详解】 设购进型玩具个，则购买型玩具个， 由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元， 由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴； 答：最多购进型玩具个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 21. 某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球 调查结果 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了多少名学生？ （2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． （3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）100 （2）360 （3） 答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等． 【解析】 【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数； （2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可； （3）从图中观察或计算得出，合理即可． 【小问1详解】 被抽查学生数：， 答：本次调查共抽查了100名学生． 【小问2详解】 被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：， ∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：， ∴（人）． 答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题． 22. 如图，是的直径，是上一点，平分，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意得；推出；结合，得到，即可求证； （2）连接，证，推出，解得：；作，推出，，即可求解； 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴； ∵平分， ∴； ∴； ∵， ∴，即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，，， ∴，； ∴； ∵， ∴； 由（1）得：， ∵， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，； ∴； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴，即， 解得：； 作，如图所示： 则，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线证明、圆的内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 23. 如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； （3）在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），顶点坐标为； （3）， 【解析】 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【小问1详解】 如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； 【小问2详解】 ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； 【小问3详解】 在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $