精品解析：江苏省连云港市灌云县2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期期中学业质量检测 七年级数学试题 时间：100分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“立春”、“夏至”、“秋分”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年2月7日，据龙芯中科消息，搭载龙芯3号设备成功启动运行模型，龙芯3号，是国内首款采用（ ）先进工艺，主频达到的多核处理器．将“”用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，结果是的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数轴平移．点P平移的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）． A. 9 B. 81 C. 243 D. 729 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算________． 10. 在横线上填入相应的单项式使等式成立，________． 11. 若，则_______． 12. 如图，甲、乙两只机器狗同时从A处向终点O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果速度相等，请判断谁先回到洞中？ 答：_______回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）． 13. 如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为________． 14. 某科技馆的“数理世界”展厅的的密码被设计成如图的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是_________． 15. 小红在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上_______． 16. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为10，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18 用简便方法计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． （1）请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； （2）请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 21. 如图，在中，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点．请指出旋转中心，并求出旋转角的度数和的长． 22. 商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 23. 如图，已知的顶点、、在格点上，按下列要求在方格纸中画图． （1）画出将向右平移个单位长度后的图形； （2）画出关于直线对称的图形； （3）如果点与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心，并画出关于点成中心对称的图形 24. 【发现规律】；；；…… （1） 【验证规律】 （2）请你用含正整数n的等式表示你所发现的规律并进行验证； 拓展延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，则的值为 ． 25. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如(，为实数)的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加、减、乘法运算与整式的、减、乘法运算类似， 例如计算：； ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空： ① ， ② ； （2）若是共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 26. 阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？ ②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中学业质量检测 七年级数学试题 时间：100分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“立春”、“夏至”、“秋分”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 2025年2月7日，据龙芯中科消息，搭载龙芯3号的设备成功启动运行模型，龙芯3号，是国内首款采用（ ）先进工艺，主频达到的多核处理器．将“”用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的正确表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的定义，需将数值表示为的形式，其中为整数． 【详解】解：将用科学记数法表示时，需将小数点右移8位，得到，此时，因此表示为． 故选：C． 3. 下列计算中，结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除．据此相关性质内容化简选项，再进行作答即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 4. 如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数轴平移．点P平移的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质和数轴上两点的距离，主要利用了平移对应点所连的线段相等解决问题． 根据平移的性质可得即为数轴上对应两点平移的距离解答． 【详解】解：， 即点平移的距离为 4 ． 故选：D． 5. 如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质． 根据中心对称的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确， 根据对顶角相等得， 故选项B正确． 故选：D． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ， ， 又 ∵平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：A 中不存在等量关系，故 A 不符合题意； 由B可得，故B符合题意； 由C可得，故C不符合题意； 由D可得，故D不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）． A. 9 B. 81 C. 243 D. 729 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键． 先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球． ∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ，， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和积的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则，积的乘方的法则，是解决问题的关键．逆用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案：． 10. 在横线上填入相应的单项式使等式成立，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式的乘除．根据乘法与除法是互逆运算，计算即可解答． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 11. 若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法法则以及通过对应项系数相等求解未知参数，熟练掌握多项式乘法展开与系数对应关系是解题的关键．先将左边式子展开，再通过对应项系数相等来求解的值． 【详解】解： ，且 对于一次项系数和常数项，有 可得． 故答案为： ． 12. 如图，甲、乙两只机器狗同时从A处向终点O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果速度相等，请判断谁先回到洞中？ 答：_______回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）． 【答案】同时 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，将甲所走路线中的横向线段向上平移，纵向线段向左平移，则平移后甲的路线即为最大网格正方形的上边和左边．又因为乙所走的路线为最大网格正方形的下边和右边，所以甲、乙所走路程相等．又因为它们爬行的速度相等，所以它们同时回到洞中． 故答案为：同时． 13. 如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根以及图形的割补思想，熟练掌握平方根运算和通过割补转化图形面积关系是解题的关键．利用平方根和三角形的面积关系，通过图形的割补，得出阴影部分面积与正方形面积的联系，进而求解边长． 【详解】解：通过观察图形，将阴影部分进行割补，可发现阴影部分的面积恰好是正方形面积的一半． 设正方形的边长为，则正方形的面积为． 阴影面积为，且阴影面积是正方形面积的一半 解得（边长不能为负，舍去 ） 故答案为： ． 14. 某科技馆的“数理世界”展厅的的密码被设计成如图的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是_________． 【答案】1625 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 观察给出的两个密码，发现规律，进而确定要输入的密码． 【详解】解：， 观察给出的两个密码可知，的指数依次写下来即密码， ， ∴密码为1625， 故答案为：1625． 15. 小红在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行因式分解成为解题的关键． 先运用平方差公式对局部进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为10，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为___________． 【答案】29 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，列代数式解决图形面积问题，正确的识图，准确的列出代数式是解题的关键． 设甲正方形的边长为，根据图 2 的阴影部分面积得出，再根据图 1 的阴影部分面积，化简后整体代入求解即可． 【详解】解：设甲正方形的边长为，则乙正方形的边长为． 根据题意，得， 即． ∵点为的中点， ， ， 故答案为：29． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）5 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据整数的乘方，零指数幂和负指数幂的运算法则化简，再算乘法，最后算减法即可； （2）先根据同底数幂的相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的相除的运算法则化简，再合并同类项即可； （3）先利用多项式乘以多项式法则和单项式乘多项式的运算法则运算，再合并同类项即可； （4）先通过积的乘方逆运算变形，再利用平方差公式运算，最后完全平方公式进行运算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9996 （2）10000 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式和平方差公式； （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；22 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式． ． 当时，原式． 20. 如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． （1）请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； （2）请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称图形和中心对称图形的定义设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，并熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键 （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【小问1详解】 解：如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形 【小问2详解】 如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是中心对称图形． 21. 如图，在中，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点．请指出旋转中心，并求出旋转角的度数和的长． 【答案】旋转中心为点A，旋转角为， 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、中点的定义等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键． 根据旋转的性质可得旋转中心为点A，三角形内角和定理可得，旋转角的度数为；再根据旋转的性质可得，最后根据线段中点的定义即可解答． 【详解】解：由题意得：旋转中心为点A， ∵， ∴． ∴旋转角的度数为， 由旋转得，， ∵点C为的中点， ∴， ∴． 22. 商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图一应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 连接，作线段的垂直平分线，作的角平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即所求． 23. 如图，已知的顶点、、在格点上，按下列要求在方格纸中画图． （1）画出将向右平移个单位长度后的图形； （2）画出关于直线对称的图形； （3）如果点与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心，并画出关于点成中心对称的图形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，作平移图形，作轴对称图形，中心对称的性质，熟悉掌握作图方法是解题的关键． （1）平移作图即可； （2）轴对称作图即可； （3）根据中心对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示即为所求： 【小问3详解】 解：如图所示即为所求： 24. 【发现规律】；；；…… （1） 【验证规律】 （2）请你用含正整数n的等式表示你所发现的规律并进行验证； 【拓展延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，则的值为 ． 【答案】（1）21；（2），验证见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式的应用，数字类规律的探索，负整数指数幂，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）根据题干的等式找出规律即可求解； （2）根据题干的等式找出规律即可求解； （3）设整数为，则由题意得，利用完全平方公式化简得到，而是6的倍数，故余数为3，再由负整数指数幂求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； …… ∴， 故答案为：21； （2）； ； ； …… ∴， ∵ ， ∴结论成立； （3）设整数为， 则由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 25. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如(，为实数)的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加、减、乘法运算与整式的、减、乘法运算类似， 例如计算：； ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空： ① ， ② ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）①2；② （2）49 （3） 【解析】 【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式． （1）按照定义计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再得出的值；由于个一组，剩下一项，单独计算，其余每相邻四项的和均为 0 ，从而可得答案． 【小问1详解】 解：①； ②； 故答案为：①2；②； 【小问2详解】 解：∵，是的共轭复数， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：由条件可知：， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵， 有2024个加数，， ∴，则， ∴． 26. 阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？ ②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）． 【答案】（1）；（2）见解析，；（3）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，因式分解的应用，解题关键是灵活运用因式分解的方法解决问题． （1）根据图形可得计算即可； （2）由题意可得图，再根据图可分解因式； （3）①②计算出剩余草皮面积，根据题意分情况分析即可． 【详解】解：（1）由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为， 又∵图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ； （2）图形如下： ， （3）①由图可知：剩余草皮面积为 ， ②设计方案不唯一： 剩余草皮的面积为，设计成一个全新的正方形草坪， 草坪的长宽需要一样长， 方案一：购买4块C型，则， 正方形边长a，； 方案二：购买2块B型，5块C型， 正方形边长为， 方案三：购买3块A型，4块B型，5块C型， 正方形边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $