复习专题04 正弦函数、余弦函数的图像和性质（12重点+28题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

复习专题04 正弦函数、余弦函数的图像和性质 知识点1 正弦函数 对于任意一个给定的实数，都有唯一确定的正弦值与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作．正弦函数的定义域是实数R． 在正弦函数中，是指角的弧度数： 角的弧度数，正弦值； 角的弧度数，正弦值． 知识点2 正弦函数的图像 1．正弦曲线 正弦函数 的图像叫做正弦曲线． 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为直线 ；正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为 ． 2.“五点法”作图 从图可知， 和 是函数 图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数 (1)作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数. (2)在精确度要求不高的情况下,“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接. (3)五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点. 知识点3 正弦函数的周期 由正弦曲线可知，正弦函数的值随着自变量的变化呈现出周期性的变化．这种＂周而复始＂的变化规律可以用数学式子表示为. 正弦函数的这种性质称为周期性．这样，若记 ，则对任意给定的实数 ，都有 。 一般地，如何用数学语言来描述一个函数的周期性呢？ 定义 对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取其定义域 中的任意值时，有 ，且成立那么函数 就叫做周期函数（periodic function），而这个非零常数 就叫做函数 的一个周期（period）。 对于一个周期函数 ，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数 的最小正周期． 因为对任意给定的实数 ，都有 ， ，由周期函数的定义，正弦函数 是周期函数，而 均是它的周期．可以证明， 是它的最小正周期．事实上，若定义域为 的函数 具有正周期 ，由于对此函数定义域中任意给定的实数 ，总成立 ，因此函数 与函数 必具有完全相同的图像．换而言之，将函数 的图像向左平移个长度单位，所得图像与 原来的图像必完全重合．对于正弦函数 ，对任何给定的 ，因为 ，为 ，所以 的图像与 的图像绝不会相同．这说明正弦函数绝不会有小于 的正周期，从而其最小正周期为 ． 知识点4 函数 的周期 一般地，函数 （其中 、、 为常数，且 的最小正周期为 ． 知识点5 正弦函数的值域和最值 函数 图像 值域 最值 当 时， 取得最大值 1 ； 当 时， 取得最小值 -1 ． （1）正弦函数 ，当且仅当 时取得最大值 1 ，当且仅当 Z）时取得最小值 -1 ． （2）一个周期内，正弦函数的最值都在函数图像与其对称轴直线交点处取得． 知识点6 函数 的值域与最值 函数 值域 最值 当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值 （1）求解形如 的三角函数值域（或最值）问题，要注意 的取值范围．一般情况下先利用 的取值范围，求出 的范围，再求三角函数的值域 （或最值）． （2）由正弦函数的图像可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期 ，相邻最大值与最小值之间的区间长度为 ． 知识点7 正弦函数的奇偶性 对于 恒有 ，所以正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于坐标原点中心对称． 函数 图像 对称轴 直线 对称中心 正弦函数的奇偶性 在数轴上，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断 与 的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数． 知识点8 正弦函数的单调性及单调区间 函数 图像 单调性 在 上是严格增函数； 在 上是严格减函数 正弦型函数的单调性 （1）正弦型函数在定义域 上不是单调函数，但存在单调区间． （2）正弦型函数在某一象限内也不是单调函数． （3）判别形如 （其中 ）的三角函数单调性时，要视＂＂为一个整体，通过解不等式求解．如果 ，可先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错． （4）由正弦函数的图像可知，正弦函数的同一单调区间的长度不超过 ． 知识点9 函数 的奇偶性与单调性 函数性质 重要结论 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时既不是奇函数也不是偶函数 对称性 对称中心：；对称轴： 单调性 单调增区间： 单调减区间： 知识点10 余弦函数的图像 1．余弦函数 对于任意一个给定的实数 ，都有唯一确定的余弦值 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数，记作 ．余弦函数的定义域是实数集 ． 2．变换法作余弦函数的图像 由诱导公式得 ． 所以，将正弦函数 的图像向左平移 就得到 的图像，即余弦函数 的图像，如图所示． 3．余弦曲线 余弦函数 的图像通常称为余弦曲线． 4．五点法作余弦函数的图像 类似于正弦函数的图像，函数在上的五个关键点的坐标是 ． 知识点11 余弦函数的性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 最大值 当且仅当 最小值 当且仅当 奇偶性 偶函数 单调增区间 单调减区间 知识点12 函数的有关性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 对称性 对称中心 ； 对称轴 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时，既不是奇函数也不是偶函数 单调区间 单调掉区间： ； 单调减区间：. 题型一、正弦函数图象的应用 例1（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 1-1（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是 . 1-2（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 题型二、求sinx的函数的单调性 例2（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调增区间是 . 2-1（22-23高一下·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 2-2（22-23高一下·北京·期中）函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型三、求sinx型三角函数的单调性 例3（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）函数，的单调减区间为 . 3-1（24-25高一下·上海·期中）的单调增区间为 ． 3-2（24-25高一下·上海宝山·期末）已知向量，，且函数. (1)若，，求的值； (2)求函数在上的严格增区间. 题型四、利用正弦型函数的单调性求参数 例4（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知函数，其中在上是严格增函数，则的最大值为 ． 4-1（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 4-2（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 题型五、比较正弦值的大小 例5（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）锐角三角形ABC中，下列结论成立的是（    ） A． B． C．存在锐角A，B使成立 D． 5-1（24-25高一下·北京房山·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5-2（24-25高一下·山西运城·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型六、解正弦不等式 例6（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的定义域为 6-1（24-25高一下·上海·阶段练习）求函数的定义域 6-2（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 题型七、求含sinx（型）函数的定义域 例7（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域与值域的交集为 . 7-1（22-23高一下·上海·期中）函数在上的定义域为 ． 7-2（22-23高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 ． 题型八、求含sinx（型）函数的值域和最值 例8（24-25高一下·上海金山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8-1（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知函数. (1)求：的单调递增区间； (2)在中，为角的对边，且满足，且，求：的值域 8-2（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知函数. (1)将化简为的形式，并求出其最小正周期； (2)若，求函数的最大值和最小值以及取最值时对应的的值. 题型九、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 例9（24-25高一下·上海·期中）若，则的最小值为 ． 9-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 9-2（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为 . 9-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知． (1)求解关于的方程； (2)求函数，的值域； (3)已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值． 题型十、求含sinx（型）的二次式的最值 例10（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为 ． 10-1（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是 ． 10-2（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 10-3（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 题型十一、求正弦（型）函数的奇偶性 例11（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 11-1（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 11-2（24-25高一下·北京·期中）某美妙音乐的模型函数为有下叙述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递减 ③在上有3个零点 ④周期是，其中所有正确的结论的编号是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 题型十二、求含sinx的函数的奇偶性 例12（22-23高一下·上海嘉定·期中）是 函数（填奇偶性）； 12-1（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 12-2（21-22高一下·上海闵行·期中）对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等. 其中正确的结论序号为 . 12-3（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，其中. (1)求证：该函数是偶函数而不是奇函数； (2)若，求的值. 题型十三、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 例13（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数（其中）为偶函数，则 . 13-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则 . 13-2（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则 ． 13-3（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 题型十四、由正弦函数的奇偶性求函数值 例14（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 14-1（23-24高一下·上海·阶段练习）函数，若，则 ． 14-2（22-23高一下·上海黄浦·期中）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为 . 题型十五、求正弦（型）函数的最小正周期 例15（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是 ． 15-1（24-25高一下·上海长宁·期中）求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 15-2（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为 . 题型十六、由正弦（型）函数的周期性求值 例16（24-25高一下·上海·期中）已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数 . 16-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，若、满足，且的最小值为，则 . 16-2（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数满足，当，，若函数在区间上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为 . 题型十七、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 例17（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 17-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 17-2（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 题型十八、利用正弦函数的对称性求参数 例18（24-25高一下·上海·期中）已知函数，若满足（），则的取值范围是 . 18-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 ． 18-2（24-25高一下·上海闵行·期中）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 题型十九、正弦函数对称性的其他应用 例19（24-25高一下·上海长宁·期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为 19-1（24-25高一下·上海·期中）已知，若方程在上只有4个不同实根，则的取值范围为 . 19-2（23-24高一下·上海·期中）已知，若满足（互不相等），则的取值范围是 . 19-3（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 题型二十、余弦函数图象的应用 例20（24-25高一下·上海杨浦·期中）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 20-1（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20-2（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 . 20-3（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为 . 题型二十一、求cosx型三角函数的单调性 例21（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 21-1（24-25高一下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为 ． 21-2（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 题型二十二、求cosx（型）函数的值域 例22（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是 ． 22-1（24-25高一下·上海·期中）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 22-2（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 题型二十三、求含cosx的二次式的最值 例23（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的最小值为 . 23-1（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 23-2（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 题型二十四、求cosx（型）函数的最值 例24（24-25高一下·上海青浦·期中）下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 24-1（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）函数的最大值为 . 24-2（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)求函数的最小正周期和严格增区间， (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 题型二十五、求余弦（型）函数的奇偶性 例25（24-25高一下·上海·阶段练习）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 25-1（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 25-2（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是 函数（填“奇”或“偶”） 题型二十六、求余弦（型）函数的最小正周期 例26（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 ． 26-1（24-25高一下·上海宝山·期中）函数 的最小正周期是 . 26-2（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 26-3（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 题型二十七、由余弦（型）函数的周期性求值 例27（24-25高一上·上海·期末）已知，，则满足要求的有 个． 27-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 27-2（22-23高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二十八、利用cosx（型）函数的对称性求参数 例28（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 28-1（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 28-2（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 28-3（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 1.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果，那么下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）设常数，若函数的图像关于点对称，则 ． 6．（23-24高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为 ． 7．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为 . 8．（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为 ． 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期 10．（22-23高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 11．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的最大值为2． (1)求a的值，并求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为 . 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）设函数（是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是 . 6．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数m的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 7．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题04 正弦函数、余弦函数的图像和性质 知识点1 正弦函数 对于任意一个给定的实数，都有唯一确定的正弦值与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作．正弦函数的定义域是实数R． 在正弦函数中，是指角的弧度数： 角的弧度数，正弦值； 角的弧度数，正弦值． 知识点2 正弦函数的图像 1．正弦曲线 正弦函数 的图像叫做正弦曲线． 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为直线 ；正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为 ． 2.“五点法”作图 从图可知， 和 是函数 图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数 (1)作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数. (2)在精确度要求不高的情况下,“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接. (3)五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点. 知识点3 正弦函数的周期 由正弦曲线可知，正弦函数的值随着自变量的变化呈现出周期性的变化．这种＂周而复始＂的变化规律可以用数学式子表示为. 正弦函数的这种性质称为周期性．这样，若记 ，则对任意给定的实数 ，都有 。 一般地，如何用数学语言来描述一个函数的周期性呢？ 定义 对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取其定义域 中的任意值时，有 ，且成立那么函数 就叫做周期函数（periodic function），而这个非零常数 就叫做函数 的一个周期（period）。 对于一个周期函数 ，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数 的最小正周期． 因为对任意给定的实数 ，都有 ， ，由周期函数的定义，正弦函数 是周期函数，而 均是它的周期．可以证明， 是它的最小正周期．事实上，若定义域为 的函数 具有正周期 ，由于对此函数定义域中任意给定的实数 ，总成立 ，因此函数 与函数 必具有完全相同的图像．换而言之，将函数 的图像向左平移个长度单位，所得图像与 原来的图像必完全重合．对于正弦函数 ，对任何给定的 ，因为 ，为 ，所以 的图像与 的图像绝不会相同．这说明正弦函数绝不会有小于 的正周期，从而其最小正周期为 ． 知识点4 函数 的周期 一般地，函数 （其中 、、 为常数，且 的最小正周期为 ． 知识点5 正弦函数的值域和最值 函数 图像 值域 最值 当 时， 取得最大值 1 ； 当 时， 取得最小值 -1 ． （1）正弦函数 ，当且仅当 时取得最大值 1 ，当且仅当 Z）时取得最小值 -1 ． （2）一个周期内，正弦函数的最值都在函数图像与其对称轴直线交点处取得． 知识点6 函数 的值域与最值 函数 值域 最值 当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值 （1）求解形如 的三角函数值域（或最值）问题，要注意 的取值范围．一般情况下先利用 的取值范围，求出 的范围，再求三角函数的值域 （或最值）． （2）由正弦函数的图像可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期 ，相邻最大值与最小值之间的区间长度为 ． 知识点7 正弦函数的奇偶性 对于 恒有 ，所以正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于坐标原点中心对称． 函数 图像 对称轴 直线 对称中心 正弦函数的奇偶性 在数轴上，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断 与 的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数． 知识点8 正弦函数的单调性及单调区间 函数 图像 单调性 在 上是严格增函数； 在 上是严格减函数 正弦型函数的单调性 （1）正弦型函数在定义域 上不是单调函数，但存在单调区间． （2）正弦型函数在某一象限内也不是单调函数． （3）判别形如 （其中 ）的三角函数单调性时，要视＂＂为一个整体，通过解不等式求解．如果 ，可先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错． （4）由正弦函数的图像可知，正弦函数的同一单调区间的长度不超过 ． 知识点9 函数 的奇偶性与单调性 函数性质 重要结论 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时既不是奇函数也不是偶函数 对称性 对称中心：；对称轴： 单调性 单调增区间： 单调减区间： 知识点10 余弦函数的图像 1．余弦函数 对于任意一个给定的实数 ，都有唯一确定的余弦值 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数，记作 ．余弦函数的定义域是实数集 ． 2．变换法作余弦函数的图像 由诱导公式得 ． 所以，将正弦函数 的图像向左平移 就得到 的图像，即余弦函数 的图像，如图所示． 3．余弦曲线 余弦函数 的图像通常称为余弦曲线． 4．五点法作余弦函数的图像 类似于正弦函数的图像，函数在上的五个关键点的坐标是 ． 知识点11 余弦函数的性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 最大值 当且仅当 最小值 当且仅当 奇偶性 偶函数 单调增区间 单调减区间 知识点12 函数的有关性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 对称性 对称中心 ； 对称轴 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时，既不是奇函数也不是偶函数 单调区间 单调掉区间： ； 单调减区间：. 题型一、正弦函数图象的应用 例1（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 1-1（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对称性求得，结合对数函数的性质求得正确答案. 【详解】不妨设，画出的图象如下图所示， ，所以. 令，解得， 所以，所以. 故答案为： 1-2（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②的最小值为3，此时. 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【详解】（1）设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. （2）①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. 题型二、求sinx的函数的单调性 例2（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调增区间是 . 【答案】, . 【分析】根据正弦函数性质求函数的单调增区间即可. 【详解】函数的单调增区间是, . 故答案为：, . 2-1（22-23高一下·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 【答案】（开闭均可） 【分析】由，求得的范围，令，即可求得函数的单调增区间. 【详解】由，可得， 令， 解得， 即函数在的单调增区间为. 故答案为：.（开闭均可） 2-2（22-23高一下·北京·期中）函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的图象与性质得的单调减区间. 【详解】由的图象与性质，的单调减区间为，，所以D符合题意. 故选：D. 题型三、求sinx型三角函数的单调性 例3（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】先根据诱导公式化简函数解析式，根据正弦函数图像的性质，求出函数的单调减区间，判断在上的减区间. 【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 3-1（24-25高一下·上海·期中）的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 3-2（24-25高一下·上海宝山·期末）已知向量，，且函数. (1)若，，求的值； (2)求函数在上的严格增区间. 【答案】(1)或 (2)严格增区间为和 【分析】（1）首先化简函数的表达式，然后将函数值代入，根据的范围求出的值. （2）根据正弦函数的单调递增区间以及的范围直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. 令，则，所以或. 解得或. 因为，所以或. （2）因为， 所以当时，函数严格递增. 解得. 因为，所以令时，；令时，. 所以函数在上的严格增区间为和. 题型四、利用正弦型函数的单调性求参数 例4（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知函数，其中在上是严格增函数，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由整体代入法得函数的单调递增区间，对比即可得解. 【详解】由于函数满足的单调递增区间为，， 解得，； 故函数的单调递增区间为，； 故，； 故，，即的最大值为． 故答案为：. 4-1（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 【答案】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 4-2（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 题型五、比较正弦值的大小 例5（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）锐角三角形ABC中，下列结论成立的是（    ） A． B． C．存在锐角A，B使成立 D． 【答案】A 【分析】由锐角三角形的角度关系，利用三角函数的单调性和诱导公式，即可判断各选项正误. 【详解】锐角三角形ABC中，满足，， 所以，则，， 因为，所以， 则A选项正确，B选项错误； 而不能确定A与B的大小，因此不一定成立，则D选项错误； 若，即，则， 三角形ABC为直角三角形，不符合题意， 因此不存在锐角A，B使成立，则C选项错误； 故选：A. 5-1（24-25高一下·北京房山·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】由，即. 故选：D 5-2（24-25高一下·山西运城·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算可得，可得结论. 【详解】由， 故有． 故选：D. 题型六、解正弦不等式 例6（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的定义域为 【答案】 【分析】要使函数有意义，则需，再求解不等式组即可得解. 【详解】由题，，解得， 解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6-1（24-25高一下·上海·阶段练习）求函数的定义域 【答案】 【分析】由，求解即可. 【详解】∵函数有意义，, ∴函数的定义域为. 故答案为： 6-2（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】 根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 题型七、求含sinx（型）函数的定义域 例7（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域与值域的交集为 . 【答案】 【分析】先求得的定义域和值域，进而求得所求的交集. 【详解】由，解得， 所以定义域为. 由于，所以， 所以的值域为， 所以定义域与值域的交集为. 故答案为： 7-1（22-23高一下·上海·期中）函数在上的定义域为 ． 【答案】 【分析】令，再结合的范围及正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，又， 解得或， 所以函数在上的定义域为. 故答案为： 7-2（22-23高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得． 【详解】由题意，，又， 所以， 故答案为：． 题型八、求含sinx（型）函数的值域和最值 例8（24-25高一下·上海金山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】假设，都是锐角，可得，与已知矛盾，从而可得以，中一定存在钝角，则角为锐角，从而可判断结论的真假. 【详解】假设，都是锐角，则，故是锐角. 则，同理，从而，矛盾. 故，中必定有一个为钝角，②对①错. 不妨设为钝角，则，为锐角. ， ， ， 看成关于的一元二次方程，注意到， 则判别式恒成立，且两根之积为负数. 从而对任意锐角，必存在唯一钝角符合关系式，因为， 所以也为钝角，所以为锐角. 故可取遍任意锐角， 所以，即，③正确， 又因为任意一个集合都是自身的子集，则，故④正确， 故选：C． 8-1（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知函数. (1)求：的单调递增区间； (2)在中，为角的对边，且满足，且，求：的值域 【答案】(1)（）； (2). 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式可化简，利用整体代入法可求单调递增区间； （2）根据正弦定理边角互化得到或，分情况讨论，当时得到角A，根据三角形内角和得出角B的范围，再利用整体代换法可求值域，当时，进行平方推导与矛盾. 【详解】（1） ， 由题意，解得， 的单调递增区间为（）. （2）由（1）知，， 又，由正弦定理得， ，， ， 或， 当，即，又，所以， 即，，则，， ，即， 当，即， ，，，即， 所以此种情况无解，舍去， 综上，的值域为. 8-2（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知函数. (1)将化简为的形式，并求出其最小正周期； (2)若，求函数的最大值和最小值以及取最值时对应的的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简，并利用求出最小正周期即可； （2）利用正弦函数性质，可求出函数的最值. 【详解】（1）， 其最小正周期为. （2）由题意，当时， 且当时，取最大值为2， 当时，取最小值为1. 题型九、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 例9（24-25高一下·上海·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式化简，即可得到，再由正弦函数的性质求出，的取值，即可得解. 【详解】因为， ， 若， 即，所以或， 根据对称性不妨令， 则，， 所以， 所以当时取得最小值. 故答案为： 9-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式辅助角公式化简函数解析式可得，令，可得在区间上的值域为，作函数图象，观察图象可求的最值，由此可得结论. 【详解】因为 所以， 所以 由可得，， 令，则在区间上的值域为， 作函数，，的图象如下： 令可得，，， 令可得，或，， 结合图象可得的最小值为，故的最小值为， 的最大值为，故的最大值为， 观察四个选项，只有选项D不满足， 故选：D. 9-2（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出，根据恰有个最高点，得到不等式，求出答案. 【详解】由于，所以， 由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得. 所以的取值范围为 故答案为： 9-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知． (1)求解关于的方程； (2)求函数，的值域； (3)已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）令，求出； （2），故； （3）化简得到，换元得到，，根据对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1），故， 解得 （2）时，， 故； （3） ， 令，由（2）知，， 则，对称轴为， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，不满足条件； 当时，在取得最小值， 最小值为，令，解得（舍负）； 当时，在上单调递减， 故当时，取得最小值，最小值为， 令，解得，但与矛盾，舍去； 综上， 题型十、求含sinx（型）的二次式的最值 例10（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由诱导公式得，设，结合二次函数图象即可求解． 【详解】，设， 则， 故答案为：． 10-1（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】因为， 设，则， 且，所以， 则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取最大值，即， 当时，；当时，，所以. 因此，函数的值域为. 故答案为：. 10-2（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）利用三角函数定义计算. （2）利用给定关系列式，再利用和角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数的单调性求出单调递增区间. （3）利用二倍角的余弦公式变形，换元转化为求解二次函数在指定区间上的最值问题. 【详解】（1）依题意，，. （2）依题意， ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由（2）得， 令，则， 函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得， 所以实数的值为或. 10-3（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【详解】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 题型十一、求正弦（型）函数的奇偶性 例11（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 【分析】（1）根据奇函数的定义分析判断； （2）根据偶函数的定义分析判断； （3）先求出函数的定义域，再根据奇偶函数的定义域关于原点对称分析判断即可. 【详解】（1）令， 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. （2）令， 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数. （3）因为的定义域为，即， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数. 11-1（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象和的奇偶性判断. 【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 11-2（24-25高一下·北京·期中）某美妙音乐的模型函数为有下叙述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递减 ③在上有3个零点 ④周期是，其中所有正确的结论的编号是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】A 【分析】先根据奇偶函数定义得偶函数，结合正弦函数图象和偶函数图象性质得到函数图象，然后逐个命题判断即可. 【详解】易知的定义域为R，且，所以偶函数，①对； 当时，，所以当时，的图像与一致， 再结合偶函数的对称性可得整体图象如下图： 由图象可知：在区间单调递减；②对； 在上有1个零点为0，③错；函数不具有周期性，④错； 所以所有正确的结论的编号是①②. 故选：A 题型十二、求含sinx的函数的奇偶性 例12（22-23高一下·上海嘉定·期中）是 函数（填奇偶性）； 【答案】奇 【分析】根据奇函数的判定方法即可得到答案. 【详解】由解析式得的定义域为，关于原点对称， 且， 故为奇函数， 故答案为：奇. 12-1（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象中的特殊点代入选项中，可排除ABD选项，然后确定选项C的奇偶性、零点和单调性. 【详解】对于选项A： ， 当时，图象显示，而，所以A错误； 对于选项B： ， 当时，图象显示，而，所以B错误； 对于选项C： ，可以看出为奇函数，关于原点对称，符合图象； 当时，，此时当时函数值为0，也符合图象； 从目前来看，C正确； 对于选项D： ，很明显函数为奇函数，关于原点对称，与图象符合； 但是，但图象上能取到1，所以D错误. 故选：C. 12-2（21-22高一下·上海闵行·期中）对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等. 其中正确的结论序号为 . 【答案】①③ 【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】①：因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确； ②：因为， 所以，因此不成立，所以本结论不正确； ③：令，即，或， 当，显然成立， 当时，，显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确； ④：，或， 当，显然成立， 当时，，，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确； 故答案为：①③ 12-3（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，其中. (1)求证：该函数是偶函数而不是奇函数； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或或或. 【分析】（1）根据奇偶性定义及正弦函数的性质判断奇偶性即可； （2）由题设可得，结合角的范围求角的大小. 【详解】（1）由的定义域为R，且， 又不恒等于0，故不恒成立， 所以该函数是偶函数而不是奇函数，得证； （2）由，， 所以或或或. 题型十三、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 例13（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数（其中）为偶函数，则 . 【答案】/ 【分析】由诱导公式结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 又，所以. 故答案为：. 13-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得. 故答案为：. 13-2（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则 ． 【答案】， 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再求，结合偶函数的定义和正弦函数的性质列关系式求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为是偶函数，所以对任意的恒成立， 所以， 所以或，， 所以（舍去）或，， 所以，， 故答案为：，. 13-3（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 题型十四、由正弦函数的奇偶性求函数值 例14（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 14-1（23-24高一下·上海·阶段练习）函数，若，则 ． 【答案】0 【分析】 根据函数解析式可得，结合题意分析求解即可. 【详解】因为， 可得，所以. 故答案为：0. 14-2（22-23高一下·上海黄浦·期中）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意结合周期性和奇偶性分析运算. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 题型十五、求正弦（型）函数的最小正周期 例15（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 15-1（24-25高一下·上海长宁·期中）求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 【答案】最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】依题意，， 函数的最小正周期，函数的最大值为3， 当，即，时取得最大值． 15-2（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先从而求得及函数的最小正周期，再根据，可知的最小值为. 【详解】因为，所以，即， 且的最小正周期， 又存在实数、，对任意实数总有成立， ∴，， 的最小值为. 故答案为：. 题型十六、由正弦（型）函数的周期性求值 例16（24-25高一下·上海·期中）已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数 . 【答案】 【分析】依题意可得，根据正弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】因为和是函数相邻的两个零点，设函数的最小正周期为， 所以，则，又，解得. 故答案为： 16-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，若、满足，且的最小值为，则 . 【答案】4 【分析】根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可. 【详解】若、满足，则函数在、处取到最值， 的最小值为，所以，解得. 故答案为：4. 16-2（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数满足，当，，若函数在区间上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案. 【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数， 结合，作出函数在上的图象，如图示： 因为， 故时，即或， 则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点， 由图象可知，和的图象有6个不同的交点， 则和的图象需有2个不同的交点，即， 故， 则实数的取值范围为， 故答案为： . 题型十七、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 例17（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 【答案】 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 17-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 【答案】(1)； (2)；或 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可； （2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可. 【详解】（1）由， 因为，所以函数的值域为， 由解得：， 所以函数的单调递增区间是； （2）由，解得：， 即函数的对称轴方程为， 由方程， 则或， 解得或， 故方程的解为或， 17-2（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意写出函数进行整理，令，根据二次函数性质求解最值； （3）根据题意写出函数进行整理，运用三角函数性质进行求解b和不等式解集. 【详解】（1）因为，当时， ，因为， 所以，故的值域为； （2）因为， 当时，， 因为，所以， 令，由（1）可知，则， 当时，，故的最大值为. （3）当时，，其中， 因为函数图像关于直线对称，故， 整理得，即，故， 又因为将函数的图像向右平移单位， 得到函数，由题可知， 计算得，故， 即， 所以的解集为. 题型十八、利用正弦函数的对称性求参数 例18（24-25高一下·上海·期中）已知函数，若满足（），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据解析式画出大致图象，结合正弦函数的对称性有，对数函数的性质得，即可得. 【详解】由解析式，函数的大致图象如下， 由图，要使，则，且， 令，可得，令，可得， 所以，故. 故答案为： 18-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则在取得最值， 所以的图象关于直线对称，且， 又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为， 所以，即，所以. 故答案为： 18-2（24-25高一下·上海闵行·期中）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数对称性定义得出函数关于直线对称，再结合方程在上有奇数个不同的实数解得出即可求参. 【详解】， 得关于直线对称， 而原方程有奇数个实数解，由对称性必为原方程的一个实数解， 从而， 故答案为: 题型十九、正弦函数对称性的其他应用 例19（24-25高一下·上海长宁·期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简可得，将问题转化为直线在上的图象有两个不同的交点，再根据正弦型函数图象对称性即可求解. 【详解】因为， 所以， 关于的方程在上有两个不同的实数解， 即直线在上的图象有两个不同的交点， 设关于的方程两相异实数根为， 因为函数的图象在区间上的对称轴为， 所以. 故答案为： 19-1（24-25高一下·上海·期中）已知，若方程在上只有4个不同实根，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由在的图象，结合已知可求出的取值范围，借助正弦函数的对称性可得，计算即可得出结果. 【详解】在的图象如图所示：    当时，，当时，即时，， 因为方程在上只有4个不同实根，所以， 由三角函数性质可知当，即时，关于对称. 因为， 所以，即. 所以. 故答案为：. 19-2（23-24高一下·上海·期中）已知，若满足（互不相等），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数图象，根据三角函数对称性得，解得，进而得答案． 【详解】作出函数图象，不妨设，如图， 根据三角函数的对称性得可得， 另一方面，，即， 所以， 故答案为： 19-3（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 【答案】(1)函数的最小值，此时的值为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数分析运算. 【详解】（1）∵ ， 即， 令，解得， 故函数的最小值，此时的值为. （2）由（1）可知：， ∵，则，， 故，且， 结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为， 设在上的四个不同的根由小到大依次为， 当时，则， 整理得，故； 当时，则， 整理得，故； 综上所述：当时，四个根之和为； 当时，四个根之和为. 题型二十、余弦函数图象的应用 例20（24-25高一下·上海杨浦·期中）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】，故，但时，与不一定相等，得到答案. 【详解】，故，充分性成立， 当时，与不一定相等，比如， ，但与不相等，必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 20-1（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知有两解，以为整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 20-2（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出、的解后结合值域可求的取值范围. 【详解】令，则，，故存在，使得， 令，则，， 因为值域为，故或， 若，则； 若，则； 故， 故答案为： 20-3（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为 . 【答案】 【分析】直接解方程即可得 【详解】令，则有或， 解得或， 又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，， 所以，，，，，，，， 故，. 所以即， 则，解得， 故答案为：. 题型二十一、求cosx型三角函数的单调性 例21（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 21-1（24-25高一下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性列式求出递增区间. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 21-2（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 题型二十二、求cosx（型）函数的值域 例22（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解. 【详解】由得， 因为，所以， 所以，故， 所以，故. 故答案为：. 22-1（24-25高一下·上海·期中）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离可得在上有解，根据余弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为关于的方程在上有解， 所以在上有解， 又，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 22-2（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解， （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可. 【详解】（1）当时, , 当时, ,则, 故, 因此 （2）当时, , 故,即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 题型二十三、求含cosx的二次式的最值 例23（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的值域即可得到结果. 【详解】， 令，则， 则， 当时，有最小值为. 故答案为： 23-1（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 23-2（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）, 令，由可得， 则，， 对称轴为，图象开口向下， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为. 题型二十四、求cosx（型）函数的最值 例24（24-25高一下·上海青浦·期中）下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用辅助角公式及二倍角正余弦公式，结合正余弦型函数的性质判断各函数的最大值，即可得. 【详解】A：，不符； B：，符合； C：，不符； D：，不符. 故选：B 24-1（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）函数的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据二次函数、余弦函数的性质求函数的最大值. 【详解】令，则， 显然，，而时，， 所以时，函数最大值为2. 故答案为：2 24-2（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)求函数的最小正周期和严格增区间， (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为 (2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间. （2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可. 【详解】（1）已知向量，， 所以. 故函数的最小正周期为； 由，解得：，， 故函数的严格增区间为. （2）由于，得. 故当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 题型二十五、求余弦（型）函数的奇偶性 例25（24-25高一下·上海·阶段练习）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 25-1（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为： 25-2（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是 函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 2025年6月21日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型二十六、求余弦（型）函数的最小正周期 例26（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 26-1（24-25高一下·上海宝山·期中）函数 的最小正周期是 . 【答案】 【分析】由题意利用余弦型函数的周期性，得出结论． 【详解】由余弦函数的周期公式， 得到函数 的最小正周期是. 故答案为：. 26-2（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断. 【详解】函数， 对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确； 对于②：由于，，，， 故函数在上不是单调增函数，故②错误； 对于③：函数的最大值为1，若， 则， 所以，，， 故；故③正确； 对于④：当时，， 由于，即，解得或， 所以函数有两个零点，故④错误． 故选：B. 26-3（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【答案】 ②⑤ 【分析】应用诱导公式及二倍角公式，同角三角函数关系，正弦及余弦函数的周期判断各个选项即可. 【详解】① ① 不正确； ② ，函数周期为 ，②正确； ③ ，，所以最小正周期不是 ，③不正确； ④ ④不正确 ； ⑤ ，函数周期为 ，⑤正确. 故答案为：②⑤. 题型二十七、由余弦（型）函数的周期性求值 例27（24-25高一上·上海·期末）已知，，则满足要求的有 个． 【答案】 【分析】应用诱导公式及余弦函数的周期确定区间内满足要求的个数. 【详解】由， 对于在上各有一个解，且最小正周期为， 由，故在区间上共有个. 故答案为： 27-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合中的元素由生成，当为有理数时，余弦函数的取值会呈现周期性，导致集合元素个数有限.关键点在于确定的分母与元素个数的关系，进而判断选项中哪些会导致元素个数不符合2025. 【详解】若（互质），则余弦函数的周期为， 集合元素个数为（当为偶数时）或（当为奇数时）. 需验证选项中对应的是否满足或. 选项A:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项B:，对应（奇数）. 元素个数为，可能. 选项C:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项D:，对应（奇数）. 元素个数为，不可能. 故选：D. 27-2（22-23高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 题型二十八、利用cosx（型）函数的对称性求参数 例28（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据是奇函数求出，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若是奇函数，则， 因为为的真子集， 所以“”是“是奇函数”的充分非必要条件. 故选：B. 28-1（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 28-2（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 【答案】/ 【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 28-3（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 1.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，即可求得函数的单调递增区间. 【详解】求函数的单调递增区间. 由，可得， 因此，函数的单调递减区间是. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值. 【详解】因 ，故其最大值为1. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果，那么下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，根据指数函数单调性比较出大小. 【详解】ABC选项，不妨设，此时，，，ABC错误； D选项，，故在R上单调递增， 因为，所以，D正确. 故选：D 4．（23-24高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角函数新定义结合辅助角公式化简函数，然后根据正弦函数的性质一一判定各个命题即可. 【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确； 当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误； 当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误； 易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确. 故选：B 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）设常数，若函数的图像关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的对称性计算可得. 【详解】因为函数的图像关于点对称， 所以，则，又， 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理及周期公式求解，再根据函数过点求解即可． 【详解】设，因为， 所以，解得， 所以， 所以，又时，， 所以，由得， 所以， 故答案为：． 7．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用奇函数的性质及周期性有，再应用解析式即可求值. 【详解】由题设. 故答案为： 8．（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出． 【详解】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期 【答案】 【分析】利用诱导公式，二倍角余弦公式化简函数解析式，利用周期公式求解. 【详解】， 所以最小正周期为. 故答案为：. 10．（22-23高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据偶函数的性质得到对于任意，均有成立，即可求出的值，从而得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）当时，函数 ， 令，， 解得，． 所以此函数的单调递增区间为，； （2）由题意可知函数的定义域为， 又， 因为函数为偶函数， 所以对于任意，均有成立， 即， 即对于任意实数均成立， 只有当时成立，此时． 因为，所以，所以，所以， 即此函数在上的值域为． 11．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的最大值为2． (1)求a的值，并求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到，根据函数最值，即可求出，再由正弦函数的周期，即可求出周期； （2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果. 【详解】（1） ， 所以， 因为函数的最大为2，所以， 解得； 所以，因此最小正周期为； （2）由，得， 所以的单调递增区间为， 又，取， 得在上的单调递增区间为. 1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 3．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用函数为奇函数，结合奇函数的定义可求出的值，然后分析函数的单调性，将所求不等式变形，可得出有解，结合参变量分离法可求出实数的取值范围． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以，则， 任取， 则， 因为， 所以，则， 所以在上为增函数， 所以有解， 所以有解，即， 设，又得，， 则，当且仅当时等号成立， 由双勾函数的单调性知，在上单调递减，在单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故答案为：． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为 . 【答案】 【分析】根据的性质可得时，有，进而讨论时，根据放缩法可得在无零点，进而根据函数图象可确定函数、在上交点个数，构造函数求解在有且只有一个零点.，即可求解. 【详解】当时，， 当时，，故， 当时，，故， ……，依次类推，可知时，有， 当时，，故在无零点， 同理在也无零点. ∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍， 则在平面直角坐标系中，、在上如图所示： 又， 故、在上的图象共有4047个不同交点， 下证：当，有且只有一个零点. 由于当时，，故， 即当时，， 当时，，也满足， 因此对任意的，都有， 结合为奇函数，因此对任意的，都有， 当时，， 因此，有且只有一个零点. 综上，、在上的图象共有4048个不同交点， 即在有4048个不同的零点， 故答案为：4048 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）设函数（是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是 . 【答案】 【分析】根据单调性可求出，再根据题意得函数关于点对称，关于直线对称，得到关于的方程组，通过作差分析可得，最后检验即可. 【详解】因为在区间上具有单调性，， 则，故， ， 则的图象关于点对称，关于直线对称， ，且， 两式相减，可得，又因为，故， 当时，由，得， 又，则，故， 所以它的最小正周期为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数m的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. （2）解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. （3）解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 7．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，即可求出函数的振幅以及频率的值； （2）由可得出的取值范围，结合函数的值域可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （3）根据函数为的最小值，结合角的取值范围可得出角的值，设，，所以．利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换可得出，即可得出面积的最大值. 【详解】（1） ， 所以函数的振幅，频率. （2）设，则，，则， 所以，解得，即的取值范围是. （3）由（1）知当时，即， 则，则． 因为，所以， 又为等腰三角形，所以，， 由正弦定理可得，可得， 设，，所以． 由余弦定理得， ， 由正弦定理得，所以． 又，， 所以 ， 即的面积取得最大值为． 试卷第1页，共3页 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$