精品解析：山东省泰安市新泰市2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

七年级下学期期中检测 数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 若关于的方程是二元一次方程，则m的值为（ ） A. 2或 B. 0 C. 2 D. 2. 用加减法解方程组下列解法正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个命题是真命题的个数是（ ） ①同位角相等 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 ④三角形的外角大于内角 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 5. 在探究证明“三角形内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ） A. 如图①所示，过三角形一边上点D作 B. 如图②所示，过三角形内部一点P作 C. 如图③所示，过点C作于点D D. 如图④所示，过三角形外部一点P作 6. 小明去超市买东西花20元，他身上只带了面值为2元和5元的纸币，营业员没有零钱找给他，那么小明付款有几种方式(　　) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 7. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是66°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B是（　　） A. 87° B. 93° C. 39° D. 109° 8. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘指针指向奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 小红在超市买了一些纸杯，她把纸杯整齐地放在一起，如图，根据图中的信息，3个纸杯的高度为个纸杯的高度为．若她把20个纸杯放在一起时，纸杯的高度为（ ） A. 26 B. 27 C. 25 D. 28 10. 把（其中是常数，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为，若是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，则m的值（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题：本大题共15个小题，每小题4分，共20分 11. 将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式____________________． 12. 若关于的二元一次方程组的解x与y互为相反数，则k的值是_______． 13. 一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______． 14. 如图，将一副直角三角板放置，使含的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一直线上，则的度数是_____度． 15. 先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组② 变形为方程组③ 设，则方程组③可化为方程组④比较方程组④与方程组①可得即 ∴方程组②的解为 我们把这种解方程组的方法称为换元法． 若已知方程组的解为则方程组：的解为_______ 三、解答题：本大题共8个小题，共90分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 16. 计算：用指定的方法解下列方程组 （1）（用代入法） （2）（用加减消元法） （3）（选择你喜欢的方法） 17. 在一个不透明布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同． （1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率． （2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，请问取走了多少个白球？ 18. 当三角形中的一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“二倍角三角形”其中称为“二倍角”，如果一个“二倍角三角形”的一个内角为，求此三角形的二倍角的度数是多少度？ 19. 在学习“相交线与平行线”一章时，老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小宁所在组制作了如图1所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理，并且发现无论镜子位置如何改变，入射光线与反射光线与镜子的夹角始终相等，即入射光线与反射光线满足 （1）图2中，代表镜子摆放的位置，当镜子，试判断入射光线m与反射光线n的位置关系，并说明理由 （2）如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置也会随之改变，如图3，当光线m射到平面镜上时，会反射到平面镜上，光线又被平面镜反射，当两面平面镜的夹角的度数是多少时，入射光线m与反射光线n满足呢？并说明理由 20. 【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求该一次函数的表达式； （2）问在的图象上是否存在点P，使得的面积是的2倍？若存在，求出点P的坐标． 22. 水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 （1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ （2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 23. （1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求度数． （3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期期中检测 数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 若关于的方程是二元一次方程，则m的值为（ ） A. 2或 B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是二元一次方程， ∴， ∴， 故选：D． 2. 用加减法解方程组下列解法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键． 根据整式的加减运算逐项判断能否消元即可解答． 【详解】解：A． 得，没有消元，不符合题意； B． 得，消去x，符合题意； C． 得，没有消元，不符合题意； D． 得，没有消元，不符合题意． 故选B． 3. 下列四个命题是真命题的个数是（ ） ①同位角相等 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 ④三角形的外角大于内角 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，三角形外角的性质，根据平行线的性质与判定定理可判断①③，根据垂线的定义可判断②；根据三角形外角的性质可判断④． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是真命题； ④三角形的外角大于与其不相邻的内角，原命题是假命题； ∴真命题有1个， 故选：A． 4. 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　） A 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可． 【详解】∵∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ACD=∠A+∠B=100°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=∠ACD=50°， 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键． 5. 在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ） A. 如图①所示，过三角形一边上点D作 B. 如图②所示，过三角形内部一点P作 C. 如图③所示，过点C作于点D D. 如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 6. 小明去超市买东西花20元，他身上只带了面值为2元和5元的纸币，营业员没有零钱找给他，那么小明付款有几种方式(　　) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【详解】解：设小明带了面值为2元的纸币x张，面值为5元的纸币y张，由题意得，2x+5y=20，因为x和y都是非负的整数，所以x=0，y=4，或x=5，y=2或x=10，y=0，共3种付款方式． 故选B． 7. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是66°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B是（　　） A. 87° B. 93° C. 39° D. 109° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图：过B作直线b平行于拐弯之前的道路a，由平行线的传递性得a∥b∥c， ∵a∥b， ∴∠A＝∠1＝66°， ∵b∥c， ∴∠2+∠C＝180°， ∵∠C＝153°， ∴∠2＝180°﹣153°＝27°， ∴∠ABC＝∠1+∠2＝66°+27°＝93°． 故选：B． 8. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘指针指向奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用奇数区域的面积除以转盘总面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，一共把转盘平均分成为8份（1所在区域可以看出2份），其中奇数区域占5份，则转动转盘指针指向奇数的概率是， 故选：D． 9. 小红在超市买了一些纸杯，她把纸杯整齐地放在一起，如图，根据图中信息，3个纸杯的高度为个纸杯的高度为．若她把20个纸杯放在一起时，纸杯的高度为（ ） A. 26 B. 27 C. 25 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设最下面一个碗的高度为，每增加一个碗高度增加，根据1个纸杯的高度为个纸杯的高度为建立方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设最下面一个碗的高度为，每增加一个碗高度增加， 由题意得，， 解得， ∴最下面一个碗的高度为，每增加一个碗高度增加， ∴她把20个纸杯放在一起时，纸杯的高度为， 故选：A． 10. 把（其中是常数，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为，若是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，则m的值（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意可得是关于的方程的解，据此把代入方程中计算求解即可． 【详解】解：∵是“雅系二元一次方程” 的“完美值”， ∴是关于的方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共15个小题，每小题4分，共20分 11. 将命题“同角余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式____________________． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可求解． 【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 12. 若关于的二元一次方程组的解x与y互为相反数，则k的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，正确的得出x，y与k的关系是解题的关键．解方程组，用k分别表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，即可求出k的值． 【详解】解：， ①-②，得， 解得：③， 将③代入①，得， 二元一次方程的解x与y互为相反数， ∴， ， 故答案：． 13. 一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程即可． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 十位数字比个位数字的倍大， ， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ， 可列方程组． 故答案为： ． 14. 如图，将一副直角三角板放置，使含的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一直线上，则的度数是_____度． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：75． 15. 先阅读下列解方程组求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组② 变形为方程组③ 设，则方程组③可化为方程组④比较方程组④与方程组①可得即 ∴方程组②的解为 我们把这种解方程组的方法称为换元法． 若已知方程组的解为则方程组：的解为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．熟练掌握换元法是解题的关键． 设，利用换元法计算求解即可． 【详解】解：设， 则方程组可化为． 比较方程组与方程组， 得． 即． ∴原方程组的解为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 16. 计算：用指定的方法解下列方程组 （1）（用代入法） （2）（用加减消元法） （3）（选择你喜欢的方法） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】题目主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键 （1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可； （3）先将原方程组化简，然后利用加减消元法求解即可 【小问1详解】 解： 把①代入②得，， 解得， 把代入①得：， 故此方程组的解为 ； 【小问2详解】 解： 得，， 解得， 把代入①得，， 解得 故此方程组的解为 ； 【小问3详解】 解： 整理得 得 解得 把代入③得 解得 方程组的解为 17. 在一个不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同． （1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率． （2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，请问取走了多少个白球？ 【答案】（1） （2）取走了5个白球 【解析】 【分析】（1）用红球的个数除以球的总共个数可求从布袋中摸出一个球是红球的概率； （2）设取走了个白球，根据从布袋中摸出一个球是红球的概率是，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（从布袋中摸出一个球是红球）； 【小问2详解】 设取走了个白球，根据题意得 ， 解得：． 答：取走了5个白球． 【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18. 当三角形中的一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“二倍角三角形”其中称为“二倍角”，如果一个“二倍角三角形”的一个内角为，求此三角形的二倍角的度数是多少度？ 【答案】这个三角形的二倍角是：或或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理应用，分四种情况进行讨论：，时，，时，，时，，时，分别求出结果即可．解题的关键是熟练掌握三角形内角和为，并注意进行分类讨论． 【详解】解：设这个三角形的三个角为， ①，时，，此时满足题意； ②，时，，此时满足题意； ③，时，，，此时满足题意； ④，时，，，此时满足题意； ∴这个三角形的二倍角是：或或． 19. 在学习“相交线与平行线”一章时，老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小宁所在组制作了如图1所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理，并且发现无论镜子位置如何改变，入射光线与反射光线与镜子的夹角始终相等，即入射光线与反射光线满足 （1）图2中，代表镜子摆放的位置，当镜子，试判断入射光线m与反射光线n的位置关系，并说明理由 （2）如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置也会随之改变，如图3，当光线m射到平面镜上时，会反射到平面镜上，光线又被平面镜反射，当两面平面镜的夹角的度数是多少时，入射光线m与反射光线n满足呢？并说明理由 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的判断与性质即可证明； （2）当时，，而，代入，即可得到，则． 【小问1详解】 解： 理由： ． ， ． ，即． ∴； 【小问2详解】 解： 理由：， ， ， ． ， ． 20. 【活动回顾】 我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线； 结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象． （2）观察图象，二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）． 【思维发散】 （4）若二元一次方程组无解，求a的值 【答案】（1）见详解；（2），（3）无解， （4）4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据两点确定一条直线即可画出函数图象； （2）根据函数图象即可确定交点坐标以及二元一次方程组的解； （3）根据图象即可确定方程组解的情况； （4）根据方程组无解，可知两条直线平行，即k值相等，进而可得出a的值． 【详解】解：（1），取点， 则以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象如下： （2）根据图象可知，两直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解是 （3）根据函数图象可知，两直线平行， ∴方程组二元一次方程组的解是无解． （4）∵二元一次方程组无解，即，即， ∴二元一次方程图象和二元一次方程图象平行， ∴ ∴ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求该一次函数的表达式； （2）问在的图象上是否存在点P，使得的面积是的2倍？若存在，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题． （1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先求出点B的坐标，进而可求出的面积，根据的面积是的2倍即可得出，进一步求出 ，即或，再分别求出对应的P点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：当时，， 点坐标为 直线经过点和点， 解得 一次函数的表达式为 【小问2详解】 解：当时．代入． 解得：， ∴ ∴ ①当时．代入， 解得： ②当时．代入 解得： 点坐标为或 22. 水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 （1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ （2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】（1）正常收费标准为2元，超过部分4元 （2）不够交水费，还差30元 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【小问1详解】 解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． 【小问2详解】 解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 23. （1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图②，分别平分，若，求的度数． （3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和，得出，结合对顶角相等，即可求证； （2）设，，根据（1）中的结论，列出方程组，可得，即可求解； （3）根据题意可得，，推出，根据（1）中的结论得出，推出，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵分别平分，设，， 则有， ∴， ∴ （3）∵直线平分平分的外角， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了是三角形的内角和，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是掌握三角形的内角和为，对顶角相等，以及加减消元法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$