精品解析：山东省泰安市东平县2024-2025学年八年级下学期数学期中试题

2024～2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡（纸）交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 3. 代数式中字母的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的周长是（　　） A. 36 B. 24 C. 12 D. 6 5. 已知a＝，b＝，则a与b的关系是(　　) A. a＝b B. ab＝1 C. a＝﹣b D. ab＝﹣5 6. 将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A. 当 时，四边形ABMP为矩形 B. 当时，四边形CDPM为平行四边形 C. 当时， D. 当时， 或6s 8. 若，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10 10. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝12，BD＝8，则MN的长是（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 若，则______． 12. 菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为________cm． 13. 已知，如图， 是矩形对角线的交点，平分，，则的度数为___________． 14. 若关于的方程有实数根，则的取值范围为______． 15. 如图，正方形的边长为，点E、F分别为上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 _________________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在 中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形． 19. 已知，且为偶数，求的值． 20. 如图，在正方形中，点E是 的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G． （1）证明：； （2）连接，求证：． 21. 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ①______； ②（ 为正整数）______； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，，（， ）再根据平方根的定义可得： ，，（， ）； 直接写出以下算式的结果： ①______； ②______； （3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： ； （4）小丽看到王老师选出的题后，发现困扰自己很久的一道题有了解决办法，请你尝试帮她解决： 题目：若实数、满足条件，求的值． 22. 下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理得，，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 下面是用平均数法解方程时写的解题过程， 直接开平方并整理，得…… 任务： （1）小论文中的根据1是______． （2）小明用平均数法解方程时，将方程写为的形式，请问式子中的______，______． （3）请用平均数法解方程：． 23. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在 中， ， ，垂足为点D．若 ， ，则______． （2）如图②，在菱形中， ， ，则 ______． （3）如图③，在四边形 中， ，垂足为点O．若 ， ，则 ______；若 ， ，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在 中，， ， ，点P为边 上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心， 长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心， 长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在 同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取 ，连接 ，，． 请你直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡（纸）交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ②当时不是一元二次方程； ③去括号化简后可得：，不是一元二次方程； ④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程； ⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键． 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角， 矩形的对角线互相平分、相等， ∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质和矩形的性质．掌握特殊四边形的性质是解题关键． 3. 代数式中字母的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件等知识点，根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 【详解】根据题意得，且 ， 解得且． 故选：C． 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的周长是（　　） A. 36 B. 24 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】证明△ABC是等边三角形，再求出AB=AC=2AO，故可求解． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC，AC=2AO=6 ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=6 ∴菱形ABCD的周长为4AB=24 故选B． 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知等边三角形的判定与性质、菱形的特点． 5. 已知a＝，b＝，则a与b的关系是(　　) A. a＝b B. ab＝1 C. a＝﹣b D. ab＝﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】将b进行分母有理化，然后进行比较即可． 【详解】解：b＝＝＝，a＝， 所以a=b． 故选：A． 【点睛】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． 6. 将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案． 【详解】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交 则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°， ∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°， ∴∠PAF=∠NAE， ∴△PAF≌△NAE， ∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积， 而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， ∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2． 故选B． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 7. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A. 当 时，四边形ABMP为矩形 B. 当时，四边形CDPM为平行四边形 C. 当时， D. 当时， 或6s 【答案】D 【解析】 【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D． 【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°， A、当 时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意； B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意； 作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴BC=AE=8 cm， ∴DE=2 cm， 当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E， ∴四边形CEFM是矩形， ∴FM=CE； ∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL）， ∴PF=DE=2，EF=CM=8-t， ∴AP=10-4-(8-t)=10-t， 解得t=6 s； 当PM=CD，且PM∥CD时， ∴四边形CDPM是平行四边形， ∴DP=CM， ∴t=8-t， 解得t=4 s； 综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值． 8. 若，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质直接化简即可得出答案． 【详解】∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 9. 等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可知，等腰三角形有两种情况：当a，b为腰时，a=b，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，所以a=b=3，ab=9=n-1，解得n=10； 当2为腰时，a=2（或b=2），此时2+b=6（或a+2=6），解得b=4（或a=4），这时三边为2，2，4，不符合“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的三角形三边关系，故不合题意．所以n只能为10． 故选：B. 10. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝12，BD＝8，则MN的长是（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接BM、DM，根据直角三角形的性质得到BM=AC，DM=AC，得到BM=DM，N是BD中点，得到MN⊥BD，在Rt△BMN中，由勾股定理即可求得． 【详解】解：连接BM、DM， ∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，AC=12， ∴BM=AC=6，DM=AC=6， ∴BM=DM， 又N是BD的中点， ∴MN⊥BD， ∵BD=8， ∴BN=4， 在Rt△BMN中， MN=， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线，对知识的掌握和灵活运用是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 若，则______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求得，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：35． 12. 菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，设另一条对角线为x，即可得出一个一元一次方程，解出即可得出结论． 【详解】解：∵菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm， 设另一条对角线为x， 则得：， 解得：， ∴菱形的另一条对角线长为8 cm． 故答案为：8 【点睛】本题考查了菱形的性质及其应用、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 13. 已知，如图， 是矩形对角线的交点，平分，，则的度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，， ，又由平分，，即可求得： 与的度数，以及是等边三角形，是等腰三角形，即可得：是等腰三角形，即可求得的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质．注意由平行线与角平分线则可构造等腰三角形，还要注意数形结合思想的应用． 14. 若关于的方程有实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：当时，方程为一元二次方程，由题意得： ， 即， 解得：且， 当时，方程为，它是一元一次方程，有实数根， ∴关于x的方程有实数根，则m的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，点E、F分别为上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，则当、P、F三点共线时，，此时最小， 即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则， 由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ∴，则， 当、P、F三点共线时，，此时最小， 即为所求， ∵正方形， ∴， ∴点在边上． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小时的情况是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）6 （3）1 （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，零次幂，熟练运用相关的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减混合运算计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算计算即可； （3）运用平方差公式进行简便计算； （4）先根据负整数指数幂，绝对值，零次幂，二次根式的化简进行计算，再进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ， （2）方程没有实数根 （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可； （3）将方程整理后，运用公式法求解即可； （4）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 变形为：， 开方，得：， ∴ ，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴该方程没有实数根． 【小问3详解】 解：， 整理，得， ∵，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 【小问4详解】 解：， 因式分解，得， ∴， ∴． 18. 如图，在 中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：点分别是边的中点， ，且， 同理，，且． ∴四边形是平行四边形 又， ， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定，由三角形中位线定理得出，，，，从而得出四边形是平行四边形，结合得出，即可得证． 【详解】略 19. 已知，且为偶数，求的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，二次根式化简，解题的关键是根据二次根式的意义求出，得出，然后进行根据二次根式性质进行化简求出结果即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得：， ∵x为偶数， ∴， ∴ ． 20. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G． （1）证明：； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出； （2）延长交的延长线于H，根据，即可得出B是的中点，进而得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，延长交的延长线于H， ∵E是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即B是的中点， 又∵， ∴中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 21. 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ①______； ②（ 为正整数）______； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，，（， ）再根据平方根的定义可得： ，，（， ）； 直接写出以下算式的结果： ①______； ②______； （3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： ； （4）小丽看到王老师选出的题后，发现困扰自己很久的一道题有了解决办法，请你尝试帮她解决： 题目：若实数、满足条件，求的值． 【答案】（1）①；② （2）①；② （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的性质及运算，掌握分母有理化，二次根式的化简是解本题的关键． （1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可； ②根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可； （4）把原式变形为，进一步变形得到，利用非负数的性质求出a、b的值，再分母有理化即可得到答案． 【小问1详解】 解：① ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：① ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解；∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22. 下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理得，，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 下面是用平均数法解方程时写的解题过程， 直接开平方并整理，得…… 任务： （1）小论文中的根据1是______． （2）小明用平均数法解方程时，将方程写为的形式，请问式子中的______，______． （3）请用平均数法解方程：． 【答案】（1）平方差公式 （2）4；2 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据平方差公式即可得解； （2）根据阅读材料中的信息所给的方法即可求解； （3）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 原方程可变形， 得 （平方差公式） ， 故答案为：平方差公式； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，． 故答案为：4；2 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴， ． 23. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在 中， ， ，垂足为点D．若 ， ，则______． （2）如图②，在菱形中， ， ，则 ______． （3）如图③，在四边形 中， ，垂足为点O．若 ， ，则 ______；若 ， ，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在 中，， ， ，点P为边 上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心， 长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心， 长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在 同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取 ，连接 ，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4， （3）， 猜想： ， 证明：∵ ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ； （4）10 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明 是直角三角形，由作图可知： ，即可证明 ，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在 中， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为：2； （2）∵在菱形中， ， ， ∴ ， 故答案为：4； （3）∵ ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ， ∴， 故答案为：， 猜想：略； （4）根据尺规作图可知： ， ∵在 中，， ， ， ∴， ∴ 是直角三角形，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴根据（3）的结论有： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $