精品解析：河南省洛阳市老城区2024-2025学年下学期期中考试 八年级数学试题

洛阳市老城区2024～2025学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数含有开得尽的因数16，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据，且结合勾股定理列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 则 ∴ ∴这棵树在折断前的高度是， 故选：C 3. 如图，点A表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， 则， 点A表示的实数是， 故选：D． 4. 下列命题中，真命题是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误． 故选C． 5. 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，若三角形的一个角为90度或三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A．，， ，， 不是直角三角形， 故该选项符合题意； B．， ， 是直角三角形， 故该选项不合题意； C．， ，即， 是直角三角形， 故该选项不合题意； D．，， ， ， 是直角三角形， 故该选项不合题意； 故选A． 6. 如图，在一个矩形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. 8 B. C. 6 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据两个正方形的面积，即可求得矩形的长与宽，再利用矩形的面积公式即可求解．本题考查了二次根式的应用，矩形及正方形的面积公式，求得阴影部分的长与宽是解决本题的关键． 【详解】解：两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为：，， 图中阴影部分的面积为：， 故选：C． 7. 如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线，得到，结合，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答即可； 【详解】解：，D、E分别是的中点， ， ， ， ， ； 8. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，整式的加减计算．根据数轴得出，，根据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知，， 则，， ∴ ． 故选：D． 9. 如图，中，对角线，相交于点O，E为边上任意一点，若的面积为6，则的面积为（ ）． A. 6 B. 12 C. 24 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，由平行四边形对角线互相平分，可得，进而可得，再由与同底同高，可得． 【详解】解：中，对角线，相交于点O， ， ， 中，， 与同底同高， ， 故选B． 10. 如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， ∴点B、D关于AC对称， 如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值， ∵E为AB的中点，∠DAB=60°， ∴DE⊥AB， ∴ED=， ∴EF+BF的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数且分式的分母不等于零，解答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱高为，底面半径为，那么蚂蚁爬过的最短路径的长为__________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：连接， 圆柱的底面半径为， ， 在中，， 则， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为： 13. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的样子，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是__________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得， “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故答案为：2026． 14. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，__________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质，等角对等边等知识，综合运用这些知识点是解题关键． 根据等边三角形的性质和正方形的性质可得，，再由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，运动时间为__________秒． 【答案】或10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理， 分两种情况：当点E在线段上时，根据勾股定理求出，可得．再设，则，根据勾股定理可得方程，求出解可得答案； 当点E在射线上，仿照上述解答过程求出，再求出，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，当点E在线段上时， 根据题意可知， 在中，， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 所以运动的时间是； 如图所示，当点E在射线上时， 根据题意可知， 在中，， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 所以运动的时间是． 故答案为：或10． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数计算，二次根式计算，平方差公式等，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，再去括号合并同类项即可； （2）先利用平方差公式计算，再计算除法，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，） （1）求从高空抛物到落地的时间； （2）已知高空拋物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 【答案】（1）3秒 （2） 正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下： 当时，， 解得， 高空抛物动能， 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）将代入计算求出，再将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可． 此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，当时， ， 【小问2详解】 略 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知的三个顶点都在格点上 （1）判断的形状，并说明理由； （2）求点B到的距离． 【答案】（1） 是等腰三角形，理由如下： 由网格的特点和勾股定理可知 ，， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，利用网格求三角形面积： （1）利用勾股定理可求出，则是等腰三角形； （2）设点B到的距离为h，利用勾股定理求出，再利用割补法求出的面积，再利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点B到的距离为h， 由网格的特点和勾股定理可知， ∵， ∴，即， ∴， ∴点B到的距离为． 19. 某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 【答案】（1）10.5米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论； （2）先由米得出的长，再由勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【小问1详解】 解：米，米， （米）， 吊臂点距离地面1.5米， 米， （米）， 答：吊臂最高点与地面的距离是10.5米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米， 米， （米）， 米， （米）， （米）． 20. 如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形． 【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， 是AD的中点， ， 又， ， ， 又， 四边形ACDF是平行四边形． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据，即可得出四边形ACDF是平行四边形； 【详解】略 21. 如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）连接，，已知_______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ，，， ， ，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ； （2） 连接、， 选择条件①，四边形是矩形； 证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 四边形是矩形； 选择条件②，四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，从而利用证明； （2）若选择①，先证明四边形是平行四边形，再证从而得是矩形；若选择②，先证明四边形是平行四边形，再证，从而得是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定． 22. 如图1，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点O平行于的直线l分别与，的平分线交于点、，连接，． （1）求证：； （2）如图2，点是的中点，判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 同理， ． （2） 解：四边形是矩形，理由如下， 是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 平分，平分， ， 四边形是矩形． （3）16 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边可得，同理可证，进而可证； （2）先证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形，即可得到答案； （3）由勾股定理可得，再证四边形是正方形，根据勾股定理可得正方形边长，进而可求四边形周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，， ， ，， ， 由（2）知四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握以上性质． 23. 如图1，为等腰直角三角形，，F是边上的一个动点（点F与A、C不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接、． （1）线段，的关系是__________； （2）将图1中的正方形，放置于如图2的情形．交于点H，交于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断． （3）将图1中的正方形，放置于如图3的情形．，，点E恰好落在边上，求正方形的边长． 【答案】（1） （2） 解：成立， 证明：∵为等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∵， ∴. ∵，且， ∴， ∴， 即. 故，； （3） 【解析】 【分析】对于（1），延长交于点G，根据等腰直角三角形和正方形的性质证明，可得答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），作，连接，根据题意得，，再设，则，求出，即可得，然后根据列出方程，求出解可得，最后根据勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解： ∵为等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 延长交于点G， ∵， ∴． ∵，且， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点E作，交于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． 在中，， 设，则, ∴． 在中，， ∴, 由， ∴， 解得， ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 解得． 所以正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市老城区2024～2025学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，点A表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5. 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在一个矩形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. 8 B. C. 6 D. 64 7. 如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 16 8. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（　　） A. 0 B. C. D. 9. 如图，中，对角线，相交于点O，E为边上任意一点，若的面积为6，则的面积为（ ）． A. 6 B. 12 C. 24 D. 无法确定 10. 如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是__________． 12. 一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱高为，底面半径为，那么蚂蚁爬过的最短路径的长为__________． 13. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的样子，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是__________． 14. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，__________． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，运动时间为__________秒． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，） （1）求从高空抛物到落地的时间； （2）已知高空拋物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知的三个顶点都在格点上 （1）判断的形状，并说明理由； （2）求点B到的距离． 19. 某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 20. 如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形． 21. 如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）连接，，已知_______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． 22. 如图1，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点O平行于的直线l分别与，的平分线交于点、，连接，． （1）求证：； （2）如图2，点是的中点，判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 23. 如图1，为等腰直角三角形，，F是边上的一个动点（点F与A、C不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接、． （1）线段，的关系是__________； （2）将图1中的正方形，放置于如图2的情形．交于点H，交于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断． （3）将图1中的正方形，放置于如图3的情形．，，点E恰好落在边上，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $