精品解析：广西百色市田阳区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度下学期期中学业水平测试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1、答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段中，首尾相连能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在下列数中，能使一元二次方程成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下面配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一个整数，则n的最小正整数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 9. 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 A. 且 B. 且 C. D. 10. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 11. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A. 2025 B. 2028 C. 2030 D. 4048 12. 如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（每小题3分，共12分） 13. 若，则x取值范围是________． 14. 若方程是一元二次方程，则k的值是____． 15. “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：一根竹子，原高一丈一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）．则折断后竹子高度是________尺． 16. 如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤） 17. 已知，求的值． 18. （1）计算： （2）解方程： 19. 3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 21. 在计算中，当一个式子的分母中含有二次根式时，我们一般应把分母有理化后再进行相关计算．如；．根据以上的知识，解答下列各题 （1）将进行分母有理化； （2）计算的值． 22. 问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） （1）如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） （2）如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； （3）设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 23. 活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期中学业水平测试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1、答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列长度的各组线段中，首尾相连能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：A． 三边为，，．最长边为，验证：不满足勾股定理，无法组成直角三角形． B． 三边为，，．最长边为，验证：不满足勾股定理，无法组成直角三角形． C． 三边为，，．最长边为，验证：满足勾股定理，能组成直角三角形． D． 三边为，，．最长边为，验证：不满足勾股定理，无法组成直角三角形． 综上，正确答案为C． 故选：C． 3. 在下列数中，能使一元二次方程成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】通过因式分解法解方程，根据零乘积定理确定解． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：将方程 左边因式分解，得 ， 根据零乘积定理，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， 因此 或， 解得 或， 选项中只有4（D选项）符合条件， 故选：D． 4. 下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数的分母不含根号．逐项判断即可． 【详解】解：A：，被开方数，不含平方因数，且分母无根号，满足最简二次根式的条件． B：，被开方数，其中是平方数，可化简为，不满足条件①． C：，，被开方数为分数形式，分母含根号，可化简为，不满足条件②． D：，被开方数分母为，含根号，可化简为，不满足条件②． 综上，只有选项A是最简二次根式． 故选：A． 5. 用配方法解方程，下面配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方9，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：∵x2+6x+7=0， ∴x2+6x=-7， ∴x2+6x+9=-7+9， ∴（x+3）2=2． 故选：B． 【点睛】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】选项A：二次根式相加不能直接合并，，故错误． 选项B：计算左边：，与右边不符，故错误． 选项C：化简左边：，则，故正确． 选项D：合并同类项：，与右边不符，故错误． 综上，正确答案为C． 故选：C． 7. 若是一个整数，则n的最小正整数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，要使为整数，必须是一个完全平方数．将18分解质因数后，分析需补充的因数，确定最小的正整数． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个完全平方数， ∵ ∴n的最小正整数的值是2， 故选：B． 8. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 9. 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个实数根的条件是二次项系数不为零且判别式非负，据此列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得且． 故选：A． 10. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题．已知第一个月新建300个充电桩，第三个月新建500个，需建立月平均增长率x的方程．根据连续增长模型，第三个月的数量等于第一个月的数量乘以． 【详解】解：设月平均增长率为， 则第二个月的数量为， 第三个月的数量为． 根据题意，第三个月新建500个充电桩， 因此方程为： 故选：B． 11. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A. 2025 B. 2028 C. 2030 D. 4048 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴． 代入所求表达式： 由根与系数的关系，方程的两根之和为：， ∴． 故选：B． 12. 如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质．过点分别作的垂线，垂足分别为，根据勾股定理求得，等面积法求得，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（每小题3分，共12分） 13. 若，则x取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将等式左边利用二次根式的性质化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 由题意得 ∴ 解得． 14. 若方程是一元二次方程，则k的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 15. “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：一根竹子，原高一丈一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）．则折断后竹子高度是________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理．由题意得，尺，（尺），根据勾股定理有，代入即可求解． 【详解】解：由题意得，尺，尺， ∴（尺） ∵在中，， ∴， ∴尺． 故答案为： 16. 如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤） 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键． 先根据被开方数为非负数求出x的值，进而求出y的值，然后代入代数式计算解题． 【详解】解：由已知可得， 解得． 则． ∴． 则． 18. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，涉及负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法和解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法和负整数指数幂，化简绝对值，再进行加减计算； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程可化为 则或 ∴，． 19. 3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准，理由： 在 中，由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理，先在 中,根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可．熟练掌握勾股定理和它的逆定理是解题的关键． 【详解】略 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）把代入方程，求出m的值，进而解方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是一元二次方程一个根， ∴， 解得， 此时，原一元二次方程为， 解得，， 所以方程的另一个根为． 21. 在计算中，当一个式子的分母中含有二次根式时，我们一般应把分母有理化后再进行相关计算．如；．根据以上的知识，解答下列各题 （1）将进行分母有理化； （2）计算的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； 掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和分母有理化是解决问题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 22. 问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） （1）如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） （2）如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； （3）设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 【答案】（1）蚂蚁的爬行路径如图，，Ⅱ； （2），；，； （3）圆柱半径与圆柱的高度的数量关系为． 【解析】 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理，解题的关键是找出两种路径对应路程的表达式． （1）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算路径Ⅱ对应的路程，与路径Ⅰ对应的路程比较即可； （2）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算可得的值，与进行比较即可得表示的大小关系，由圆柱高与底面直径相加可得的值，与进行比较即可得表示的大小关系； （3）用圆柱的半径和高分别表示出两种路径对应路程，列方程，化简整理即可． 【小问1详解】 解：如图，线段为蚂蚁爬行的路径Ⅱ， ∵图中，圆柱体的高，底面直径， ∴图中，， ∴， ∵， ∴该蚂蚁爬行的最短路程应是路径Ⅱ， 故答案为：，Ⅱ． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴表格中表示的大小关系是， ， ∵， ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，；，． 【小问3详解】 解：∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅰ的路程为，蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅱ的路程为， ∵蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等， ∴， ∴， ∴， 答：圆柱半径与圆柱的高度的数量关系为． 23. 活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则 解得，（不符，舍） 所以 答：原硬纸板的长是和宽是． 任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒 设剪裁的小正方形的边长为．则 ，（不符，舍） 答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $