精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期教学质量监测（七）数学试题

2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（七） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某中学高三数学备课组，准备从6位老师中选择2人参加考试，其中1人参加市级学科带头人考试，另1人参加市级骨干教师考试，则不同的选法有（ ）种 A. 36 B. 11 C. 12 D. 30 3. 一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 60 D. 30 5. 如图是一个正八面体魔方，已知该魔方的表面积为，则该魔方的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上恰有四个极值点和三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校高二年级共有男生300人，女生350人，现对该年级期中考数学成绩进行分析，记男生成绩为X，女生成绩为Y，且，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：） A. B. 女生成绩的标准差为8 C. 男生成绩在区间的约有205人（计算结果四舍五入取整） D. 当成绩达到90分为及格，则男生和女生及格人数一样多 10. 某高中学校为了了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样方法从4000名学生（该校高一、高二、高三学生人数之比为）中抽取了一个容量为200的样本．其中，高一学生平均身高为170，方差为78，高二学生平均身高为172，方差为80，高三学生平均身高为175，方差为76．总体分为3层，各层抽取的样本容量、样本平均数和样本方差分别为：．记总的样本平均数为，样本方差为，参考公式：，则下列结论正确的是（ ） A. 抽取的样本里高三学生有50人 B. 每位高三学生被抽中的可能性小于每位高二学生被抽中的可能性 C. 估计该学校学生身高的平均值为172 D. 估计该学校学生身高的方差为8 11. 在直三棱柱中，，点在棱上，且，是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 与所成角的正弦值为 C. 三棱锥的体积为一个定值 D. 三棱锥的外接球表面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是___________． 13. 若复数z满足，在复平面内z对应的点为，则的最大值为_______． 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．记数列的前n项和为，若，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． （1）求B； （2），求的面积． 16. 是一款先进的人工智能模型，广泛应用于多个领域．假设某公司使用进行客户服务，为了解客户的满意程度，调查了其中1000名用户，数据如下表： 用户 普通用户 合计 满意 160 640 800 不满意 20 180 200 合计 180 820 1000 （1）从这1000人中随机选择1人，已知选到的是客户，求他对客服满意的概率； （2）用频率估计概率，该公司从所有用户中随机选取了3名用户进行服务质量检查．设X为这3名用户中对客户服务满意人数，求X的分布列和期望． 17. 已知函数． （1）当时，求极值； （2）讨论的单调性． 18. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，，分别是的中点，，分别是上的点，． （1）求证：平面平面； （2）求证：三线共点； （3）若直线与所在的平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 19. 已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，点在双曲线C上． （1）双曲线C方程； （2）已知点，一条斜率为k直线l（不过点A）交C于M，N两点，是否存在一个实数k，使得直线的斜率之和为定值？若存在，请求出k和定值；若不存在，请说明理由； （3）已知双曲线C与直线有唯一的公共点T，过点T且与l垂直的直线分别交于x轴、y轴于两点，当点T运动时，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（七） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】因为，所以， 故选:B． 2. 某中学高三数学备课组，准备从6位老师中选择2人参加考试，其中1人参加市级学科带头人考试，另1人参加市级骨干教师考试，则不同的选法有（ ）种 A. 36 B. 11 C. 12 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】应用分步乘法原理结合排列数计算求解. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的情况有种， 故选:D． 3. 一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用超几何分布求出概率结合互斥事件和概率公式计算求解即可. 【详解】设抽取的2个产品中次品数为，则随机变量服从超几何分布，的可能取值有0，1，2， 则，，， ∴至少一件是次品， 故选:C． 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用多项式乘法结合组合应用问题，列式计算作答. 【详解】表示5个的乘积， 在这5个因式中，有2个因式选，2个因式选，剩下的1个因式选−2，即可得到含的项， 故含的项的系数为， 故选：A． 5. 如图是一个正八面体魔方，已知该魔方的表面积为，则该魔方的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征，结合表面积求出棱长，再求出正四棱锥的体积即可. 【详解】设正八面体的棱长为，则，解得，如图， ，八面体上半部分的高， 所以正八面体的体积为（）. 故选：B 6. 设函数在区间上恰有四个极值点和三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用换元法将转化为形式，然后做出图象，根据已知条件判断范围即可. 【详解】由题意知，设，则，作的部分图象，如图所示， 要满足函数在区间恰有四个极值点和三个零点， 即满足函数在上恰有四个极值点和三个零点， 则，解得. 故选：C． 7. 已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，再构造函数求出导数根据函数单调性即可判断大小. 【详解】， 又∵且 ， ∴令则 时，，即时，单调递增． 由得即， 故选:A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校高二年级共有男生300人，女生350人，现对该年级期中考数学成绩进行分析，记男生成绩为X，女生成绩为Y，且，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：） A. B. 女生成绩的标准差为8 C. 男生成绩在区间的约有205人（计算结果四舍五入取整） D. 当成绩达到90分为及格，则男生和女生及格人数一样多 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，则， ，C正确； 对于D，， 但男生和女生总数不一样，因此及格人数也不一样，D错误. 故选：BC 10. 某高中学校为了了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校高一、高二、高三学生人数之比为）中抽取了一个容量为200的样本．其中，高一学生平均身高为170，方差为78，高二学生平均身高为172，方差为80，高三学生平均身高为175，方差为76．总体分为3层，各层抽取的样本容量、样本平均数和样本方差分别为：．记总的样本平均数为，样本方差为，参考公式：，则下列结论正确的是（ ） A. 抽取的样本里高三学生有50人 B. 每位高三学生被抽中的可能性小于每位高二学生被抽中的可能性 C. 估计该学校学生身高的平均值为172 D. 估计该学校学生身高的方差为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质计算判断A，B，应用分层抽样的平均数和方差计算判断C，D. 【详解】对于A，按分层抽样，高三学生抽取人数，所以A正确； 对于B，分层抽样中，每一个个体被抽中的概率相同，所以B错误； 对于C，平均身高，所以C正确； 对于D，，所以D正确， 故选:ACD． 11. 在直三棱柱中，，点在棱上，且，是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 与所成角的正弦值为 C. 三棱锥的体积为一个定值 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，要证明线线垂直，需证明线面垂直，即证明平面即可；对于选项B，首先建立空间直角坐标系，然后将向量的坐标表示出来，利用向量夹角的余弦值公式求出夹角的余弦值，进而得到正弦值；对于选项C，根据三棱锥的体积公式进行判断即可；对于选项D，首先求出底面外接圆的半径，然后根据勾股定理可求出三棱锥外接球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】对于A，当为的中点时，有． 证明：直三棱柱中，平面平面，，， 又平面， 平面，，所以A正确； 对于B，以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设与所成角为，则， ，所以B正确； 对于C，，其中为点到的距离，是一个定值，但随着点的运动而改变，所以C错误； 对于D，因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的底面外接圆半径，，所以三棱锥的外接球半径为， 所以，所以D正确. 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出线段中点得出圆心，再应用两点间距离计算得出直径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】因为，所以线段的中点坐标为，， 所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是． 故答案为：． 13. 若复数z满足，在复平面内z对应的点为，则的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题可先根据复数的几何意义得出点的轨迹方程，设，利用点到直线的距离公式计算即可求得的最大值. 【详解】设，则， ， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上． 设，即，则， ，所以的最大值为． 故答案为： 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），．记数列的前n项和为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的运算法则，推进出前4项，再结合数列周期性求出. 【详解】当时， 则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3， ． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． （1）求B； （2），求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合辅助角公式得出 ，最后结合角的范围求值； （2）应用余弦定理结合已知计算，最后应用面积公式即可解题. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，得， ∴，即， 又，， ∴． 【小问2详解】 由余弦定理可得， 所以  解得 故． 16. 是一款先进的人工智能模型，广泛应用于多个领域．假设某公司使用进行客户服务，为了解客户的满意程度，调查了其中1000名用户，数据如下表： 用户 普通用户 合计 满意 160 640 800 不满意 20 180 200 合计 180 820 1000 （1）从这1000人中随机选择1人，已知选到的是客户，求他对客服满意的概率； （2）用频率估计概率，该公司从所有用户中随机选取了3名用户进行服务质量检查．设X为这3名用户中对客户服务满意的人数，求X的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式，利用表格中的数据直接计算即可. （2）需将样本频率视为概率，判断随机变量服从二项分布，进而求解其分布列和期望. 【小问1详解】 设“选到的是VIP客户”，“客户对客服满意”， 则， 所以从这1000人中随机选择1人，已知选到的是VIP客户，求他对客服满意的概率为． 【小问2详解】 用频率估计概率，该公司用户对客户服务满意的概率为， 由题意，，的所有可能取值为， 则， ， ， ， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 故． 17. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的解析式，然后对函数求导，令导数为0求出极值点，并判断单调性，即可求出函数的极值. （2）首先对原函数求导，然后分别讨论当时函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，， ∴，   ∵在上恒成立，∴由得， ∵当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 由题意得，， 当时，，，即恒成立，所以在R上单调递减； 当时，令，则，得， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 18. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，，分别是的中点，，分别是上的点，． （1）求证：平面平面； （2）求证：三线共点； （3）若直线与所在的平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，再由面面垂直判定证得面面垂直； （2）先证与必相交，设交点为，再证过点； （3）根据题意证明垂直关系，建系，用向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：平面平面．  是的直径，是圆周上不同于的任意一点， 又平面，平面 又平面平面平面． 【小问2详解】 证明：如图，连接，为分别是的中点， ，且， ，分别是，上的点，且， 且， 且，与必相交，设交点为， 则平面，平面， 同理平面，平面，  又平面平面，， 三线共点． 【小问3详解】 ，． 底面，易知即为直线与所在的平面所成角， ，， 是的直径，． 如图，以原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 由得， 令，则，得； 设平面的法向量为， 由得， 令，则，得．  故， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 19. 已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，点在双曲线C上． （1）双曲线C方程； （2）已知点，一条斜率为k的直线l（不过点A）交C于M，N两点，是否存在一个实数k，使得直线的斜率之和为定值？若存在，请求出k和定值；若不存在，请说明理由； （3）已知双曲线C与直线有唯一的公共点T，过点T且与l垂直的直线分别交于x轴、y轴于两点，当点T运动时，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）存在，，定值0． （3）点G的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为6的双曲线（去掉两个顶点）． 【解析】 【分析】（1）由离心率，及点在双曲线C上可得双曲线方程； （2）设将直线与双曲线方程联立，由韦达定理可得，据此可完成判断； （3）将代入，由双曲线C与直线有唯一的公共点T，可得联立方程判别式为0，据此可得，从而可得，据此可得轨迹方程. 【小问1详解】 因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为， 由已知①，将点代入双曲线方程得②， 且③，由①②③得，所以双曲线方程为 【小问2详解】 设 联立，化简后可得，  由韦达定理：， 所以由 ，所以当时，的和为定值0． 【小问3详解】 将代入， 化简可得，， 因为，是双曲线与直线唯一的公共点， 所以， 解得的坐标为，即，其中， 所以过点且与垂直的直线为 可得，，所以，即， 因此，即， 所以点G的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为6的双曲线（去掉两个顶点）． 【点睛】关键点睛：对于定值问题，常用恰当参数表示研究要判断是否为定值的表达式，随后利用韦达定理，代数恒等变形等知识完成判断；对于轨迹问题，常利用题目条件得到轨迹上一点坐标满足的等量关系，据此得轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $