精品解析：广东省广州市增城广附教育集团联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期期中质量检测问卷 八年级数学 （本试卷共5页，满分120分，考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。） 1. 在球的表面积公式中，下列说法正确的是（ ） A. V，，R是变量，4为常量 B. V，是变量，R为常量 C. V，R是变量，4，为常量 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量与变量，在某一问题中，保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 根据常量与变量的定义解答即可． 【详解】解：在球的表面积公式中，V、R是变量，4、为常量． 故选C． 2. 如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在直线外选一点C，连接，并分别取线段的中点E，F，测得，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵点E，F分别为线段的中点， ∴是的中位线，且， ∴， 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形 B. 平行四边形的对边平行且相等 C. 菱形的对角线相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，解题关键是熟悉上述判定、性质． 根据矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，依次对四个选项作出判断，再作出选择． 【详解】解：对角线互相垂直的四边形不是矩形，故A错误； 平行四边形的对边平行且相等，故B正确； 菱形的对角线一般不相等，故C错误； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是梯形，不一定是平行四边形，故D错误， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法、减法、乘除运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘除运算，平方差公式， 逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不合题意； B．不能合并，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，直线，垂足为O，线段，以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故选：A． 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 7. 如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解题关键是能看懂图中容器． 先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，由此判断进水的快慢，再作出选择． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：D． 8. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形面积． 故选：C． 9. 如图，将一把三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟知平行四边形对边平行是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，则，再由平行四边形的性质得到，则，从而可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 10. 如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】①先证明四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a，在中，由勾股定理得，根据三角形三边之间的关系得，由此可对结论①进行判断； ②在中，由勾股定理得，在中，根据三角形三边之间的关系得，则，由此可对结论②正确； ③在中，由勾股定理得：，则，由此可对结论③进行判断； ④根据即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，，，， ∴四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a， 在中，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边之间的关系得：， ∴， 故结论①正确； ②在中，，， 由勾股定理得：， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ， ， 故结论②正确； ③在中，，， 由勾股定理得：， ， 故结论③不正确； ④由③可知：， 故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是 ①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，三角形三边之间的关系，熟练掌握正方形的判定和性质，勾股定理及三角形三边之间的关系是解题的关键． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 12. 汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，找准等量关系是解题关键．根据油箱内余油量油箱中原来的油量每小时耗油量行驶时间，列出函数关系式即可得，再求出行驶时间的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 当时，，解得， 则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为， 故答案为：． 13. “矩形的对角线相等”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【详解】试题分析：根据互逆命题的关系，可知其逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，而对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知是假命题. 故答案为假. 14. 如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，则四边形的周长为_________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，线段中点性质等知识．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理得，由线段中点性质得，即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，点D， F分别是，的中点， ∴． 又∵E是的中点， ∴． ∴． ∴四边形的周长． 故答案为：14． 15. 如图，将两条宽度都为3纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3， ∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAE=90°-60°=30°， ∴AB=2BE， 在△ABE中，AB2=BE2+AE2， 即AB2=AB2+32， 解得AB=2， ∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键． 16. 如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，当取得最小值时，的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径的计算，勾股定理的运用，掌握以上知识，数形结合是关键． 如图所示，连接、，得出点关于的对称点是点，此时，点运动到点处，，的值最小，取得最小值是，如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是正方形形，设，利用的面积求出，由面积的计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，点关于的对称点是点，此时， ∵点是动点， ∴， ∴当三点共线时，即点运动到点处，的值最小， 在中，， ∴， ∴取得最小值是， 如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形形， 设， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本题有9个小题，共72分。解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键，根据题意，运用乘法分配律计算，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握其判定是关键，根据内错角相等，两直线平行得到，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，在中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 20. 已知． （1）求的值； （2）若y的小数部分为b，求b的值． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的大小估计、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可得； （2）根据可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的小数部分为， ∴． 21. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作垂直平分线，分别交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）作图见详解 （2）四边形的周长为 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据题意可证四边形是菱形，由此即可求解． 【小问1详解】 解：根据尺规作垂线得到线段的垂直平分线，如图所示， ∴即为所求线段； 【小问2详解】 解：设交于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 22. 如图，在一条东西走向的河，河一侧有村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点机H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）请问是否为从村庄到河边的最近路？请说明理由； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是村庄到河边的最近路，理由见解析 （2）千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、垂线段最短，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得，再根据垂线段最短即可得； （2）设千米，则千米，在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：是村庄到河边的最近路，理由如下： ∵千米，千米，千米， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知，是村庄到河边的最近路． 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 由（1）已得：， 在中，，即， 解得， 即千米， 答：原来的路线的长为千米． 23. 在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）利用三角形中位线的性质得，进而可得，即可求证； （）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在平行四边形中，，， 在中，， ∴． 24. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： （1）仿照上列等式，直接写出第n个等式； （2）利用你观察到的规律，化简：； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3）44 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的规律探索、二次根式的加减法，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）结合二次根式的性质，根据已知三个等式归纳类推出一般规律即可得； （2）根据，利用（1）中的结论即可得； （3）利用（1）的结论，将每一项拆分成两项的差，再计算二次根式的加减法即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：①， ②， ③， 则第个等式：． 小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 25. 如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为，交于点． （1）求的度数； （2）当，时，求的长； （3）若点是的中点，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】（）连接，利用证明，可得，再证明，可求解； （）利用证明，可得，再根据可得，即可求解； （）由中点的定义设，，则，，，可得，，，连接，利用勾股定理可算得，进而可求得，即可证明结论； 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 证明：∵是的中点， ∴， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质及判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期中质量检测问卷 八年级数学 （本试卷共5页，满分120分，考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。） 1. 在球的表面积公式中，下列说法正确的是（ ） A. V，，R是变量，4为常量 B. V，是变量，R为常量 C. V，R是变量，4，为常量 D. 以上都不对 2. 如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在直线外选一点C，连接，并分别取线段的中点E，F，测得，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形 B. 平行四边形的对边平行且相等 C. 菱形对角线相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，垂足为O，线段，以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点C，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 7. 如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 9. 如图，将一把三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②④ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 12. 汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为_________． 13. “矩形的对角线相等”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 14. 如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，则四边形的周长为_________． 15. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 16. 如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，当取得最小值时，的面积为_________． 三、解答题（本题有9个小题，共72分。解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。） 17. 计算：． 18. 如图，，．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，在中，，求的长． 20. 已知． （1）求的值； （2）若y的小数部分为b，求b的值． 21. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求四边形的周长． 22. 如图，在一条东西走向河，河一侧有村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点机H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）请问是否为从村庄到河边的最近路？请说明理由； （2）求原来的路线的长． 23. 在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若，求的长． 24. 观察下列等式： ①； ②； ③； … 回答下列问题： （1）仿照上列等式，直接写出第n个等式； （2）利用你观察到的规律，化简：； （3）计算：． 25. 如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为，交于点． （1）求的度数； （2）当，时，求的长； （3）若点是中点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$