精品解析：辽宁省鞍山市第二十四中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

2024～2025学年度下学期高三第一次模拟考试试题 数学 命题人：鞍山二十四中 东靖翔 审题人：鞍山二十四中 刘曾文 时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数的模的计算公式求出． 【详解】已知 ， 所以． ． 故选：D． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合 ，进而可求得. 【详解】由，可得，解得， 所以，或， 由，可得，所以， 所以，所以或. 故选：C. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 4. 下列选项中，相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】对于A，该散点图中，散点呈现出一定的上升趋势，两变量之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数接近于1； 对于B，该散点图中，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于； 对于C，该散点图中，散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有较强的线性相关关系，其线性相关系数为正数； 对于D，该散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项B要弱，线性相关系数比选项B的大. 综合比较四个选项，选项B，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.  故选：B. 5. 与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求的渐近线，逐项验证渐近线即可 【详解】由题意有的渐近线为，因为的渐近线为，故A错误； 由的渐近线为，故B错误，由的渐近线为，故C正确； 由的渐近线为，故D错误， 故选：C. 6. 函数的反函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 7. 小李同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点．按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择选择某个顶点处停止，得到一条“一笔画”路径．比如，“一笔画”路径：．若经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类基本原理列出所有的情况，再利用古典概型进行求概率． 【详解】根据从顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”， 经过4次移动后，到达点的条件下，分为三类： 第一类：； ，有2种情况； 第二类：； ， ， ， ， ，有6种情况； 第三类：； ， ，有3种情况； 故经过4次移动后，到达点的共有：， 其中经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的有： ，，，共3种， 故经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的概率为：， 故选：A． 8. 已知函数， 恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意在上恒成立，记，按照、、、和分类讨论，根据导数判断单调性，然后利用最小值大于等于0列不等式求解参数范围即可. 【详解】因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 记，则， 当时，，所以在单调递增，显然成立； 当时，，所以在单调递增， 则，化简得， 即，所以，所以； 当时，， 若即，令得或， 令得， 所以在和单调递增，在上单调递减， 又，显然不满足 恒成立； 若即，令得， 令得， 所以在单调递增，在上单调递减， 又，显然不满足 恒成立； 若即，，所以在单调递增， 则，化简得， 即，所以，所以； 综上，的取值范围为. 故选：D 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知， ，是平面上一点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则轨迹是以为直径的圆 B. 若，则与坐标原点间距离 恒为4 C. 若，则“轨迹是椭圆”的充要条件是“” D. 若，则“轨迹是双曲线右支”的充要条件是“” 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，利用数量积的坐标运算化简得轨迹方程判断AB，根据椭圆的定义及充要条件的概念判断C，根据双曲线的定义及充要条件的概念判断D. 【详解】对于A，设，因为， ，， 所以，即，表示圆心，半径为的圆，所以轨迹是以为直径的圆，正确； 对于B，设，因为， ，， 所以， 即，表示圆心，半径为的圆，所与坐标原点间距离 恒为4，正确； 对于C，若，又，则当时，， 根据椭圆的定义知轨迹是椭圆， 当时，，则轨迹是线段， 当时，，则轨迹不存在， 所以“轨迹是椭圆”的充要条件是“”，正确； 对于D，，又，若轨迹是双曲线右支时，则， 即由“轨迹是双曲线右支”得不到“”，充分性不成立，错误. 故选：ABC 10. 已知，，且，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图像关于中心对称 C. 在上单调递减 D. 将的图像向左平移个单位后得到偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用已知条件求得函数 的解析式，进而逐项计算判断即可. 【详解】因为，且，，所以， 所以 ，所以，解得，所以， 又，所以，所以， 所以，又，，所以，故A错误； 因为，所以的图像关于中心对称，故B正确； 因为，所以，所以在上单调递减，故C正确； 将的图像向左平移个单位得到的函数为， 所以为偶函数，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 仅存在一个零点 C. 在处取得极大值 D. 图象对称中心为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用赋值法建立方程组可求的解析式判断A，代入可得，然后求导分析零点及极值可确定BC，利用定义域不对称可直接判断D. 【详解】，①， ②，③， 得，故A正确； 又，则， 故， ， 所以当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， 当时， ，函数单调递增， 因为函数在处无定义，故在处不能取得极大值，C错误； 在处取得极小值，，又,所以仅存在一个零点，故B正确； 对于D，，定义域很明显不关于对称，故D错误. 故选：AB. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正四面体内切球与其外接球表面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别找到外接球球心和内切球球心，利用勾股定理求解外接球半径，三角形相似知识求解内切球半径，求出内切球半径与外接球半径之比，进而求出表面积之比． 【详解】如图1，过点A作 底面于点F，则F为正三角形的中心，连接并延长，交于点E，则E为中点，且，在上取点O，此点为正四面体的外接球球心，则，设正四面体棱长为a，则，故，由勾股定理得：，设，由得：，解得：， 如图2，作出正四面体的截面，则正四面体的内切球与，相切，设内切球球心为，半径为r，则作于点G，则，，其中，，由得：，即， 解得：，则， 所以内切球的表面积与外接球表面积之比为， 故答案为：． 13. 在锐角中，内角所对的边分别为， 为的面积，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，再利用正弦定理，然后利用三角函数求解. 【详解】由，则，故, 由是的内角，则, 所以, 由正弦定理，, 由是锐角三角形， 所以且, 解得或(舍去), 令,设, 当时，单调递增，故, 而,故. 故答案为：. 14. 已知斐波那契数列满足， ，，则的个位数字是________． 【答案】 【解析】 【分析】设数列各项的个位数字构成数列，利用列举法可得出数列是周期为的周期数列，即可得解. 【详解】设数列各项的个位数字构成数列， 因为斐波那契数列满足， ，， 则 ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ， 由上可知，，即数列是周期为的周期数列， 因为，故的个位数字是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业通过高考招收飞行学生．对某校高三在校学生进行统计，得到如下列联表： 有报名意向 没有报名意向 合计 男学生 70 150 女学生 80 100 180 合计 250 400 （1）求，； （2）记该校高三女学生有报名意向的概率为，求出值； （3）是否有的把握认为该校高三在校学生是否有报名意向与性别有关？ 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）， （2） （3）有把握 【解析】 【分析】（1）利用列联表知识直接求解； （2）得出女学生共计180人，再利用概率公式求解即可； （3）直接利用公式代值计算即可，然后根据表格信息进行判断． 【小问1详解】 由列联表知：，； 【小问2详解】 由列联表知：女学生共计180人，其中有报名意向的有80人，所以 【小问3详解】 由列联表知：所以有的把握认为该校高三在校学生是否有报名意向与性别有关． 16. 在四棱锥中，底面为等腰梯形， ，平面，，． （1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）过作交于点，连接 ， ，以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系． 则， 因为，则， 因为平面，平面，所以， 又平面 ， ，平面 ， 平面，面 面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明 （2）利用空间向量的坐标运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，，，， 设面的一个法向量为，则， 令则，因此， 设面 的一个法向量为 则， 令则，因此， 设平面 与平面所成角为 ， . 17. 设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，． （1）求及数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式整理，结合各项都为正数的递增数列，利用等差数列的定义证明出数列为等差数列； （2）先得出的通项公式，再利用裂项相消法进行求解． 【小问1详解】 ， 令，则为首项为1，公差为1的等差数列 即； ； 【小问2详解】 由累加法，得：． 18. 为坐标原点，是抛物线 的动点，分别为椭圆的右顶点、右焦点，且为的中点，． （1）求椭圆方程； （2）动直线，恒过定点，过作抛物线的切线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）写出抛物线焦点，结合抛物线定义及已知得坐标，进而得到椭圆参数，即可得方程； （2）已知直线过定点，设过点的切线方程，结合切点在抛物线上及椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、面积公式、基本不等式求面积的最值. 【小问1详解】 抛物线焦点，由抛物线定义得：， 因为，所以，即也为抛物线焦点， ， ， ， ； 【小问2详解】 由恒过， 根据对称性，不妨令在第一象限，则，则处切线斜率为， 过点的切线方程：，，则， ， ，得，， 所以，， 到直线的距离， ， 则面积： 当且仅当时等号成立. 19. 设 有两个极值点，且． （1）求实数的取值范围； （2）证明： ； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明：因为是的一个极值点，则有： ， 即：， 若证： 只需证： 令， ， ， 在上单调递增，又 ， 证得： 则 ，证毕． （3）证明：若证：， 只需证：， 将看作数列的前项和 即： 同理，将看作数列的前项和 即： 故要证明原命题只需证明： ， 令，，即只需证： 在上恒成立 令 ，则 ， 所以在上， ，即在上单调递减，且 ， 所以： ， 即： 成立， 则原命题成立，证毕． 【解析】 【分析】（1）先求导，利用一元二次方程有两个不等且大于的根列出不等式组，求得答案； （2）由是的一个极值点，可得 ，即，代入 ，利用导数求出函数单调性可证； （3）将原不等式转化为证明数列的问题，利用对数的运算，对不等式进行变形，令，，即只需证 在上恒成立，求导分析即可. 【小问1详解】 因为 所以 令 ， ， 有两个极值点，， ，解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度下学期高三第一次模拟考试试题 数学 命题人：鞍山二十四中 东靖翔 审题人：鞍山二十四中 刘曾文 时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 5. 与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的反函数是（ ） A. B. C. D. 7. 小李同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点．按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择选择某个顶点处停止，得到一条“一笔画”路径．比如，“一笔画”路径：．若经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数， 恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知， ， 是平面上一点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 轨迹是以为直径的圆 B. 若，则 与坐标原点间距离 恒为4 C. 若，则“ 轨迹是椭圆”的充要条件是“” D. 若，则“ 轨迹是双曲线右支”的充要条件是“” 10. 已知，，且，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图像关于中心对称 C. 在上单调递减 D. 将的图像向左平移个单位后得到偶函数 11. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 仅存在一个零点 C. 在处取得极大值 D. 图象对称中心为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正四面体内切球与其外接球表面积之比为________． 13. 在锐角 中，内角所对的边分别为， 为 的面积，，则的取值范围为________． 14. 已知斐波那契数列满足， ，，则的个位数字是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业通过高考招收飞行学生．对某校高三在校学生进行统计，得到如下列联表： 有报名意向 没有报名意向 合计 男学生 70 150 女学生 80 100 180 合计 250 400 （1）求，； （2）记该校高三女学生有报名意向的概率为，求出值； （3）是否有的把握认为该校高三在校学生是否有报名意向与性别有关？ 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，平面，，． （1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面所成角的余弦值． 17. 设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，． （1）求及数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 18. 为坐标原点，是抛物线 的动点，分别为椭圆的右顶点、右焦点，且 为 的中点，． （1）求椭圆方程； （2）动直线，恒过定点，过作抛物线的切线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 19. 设 有两个极值点，且． （1）求实数的取值范围； （2）证明： ； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $