精品解析：上海市大同中学2024-2025学年高二下学期5月学情调研数学试题

(上海市大同中学） 2024 学年第二学期 5月学情调研 高二数学 90分钟 满分100分 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填充题 1. 已知某随机变量，则 __________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据随机变量方差的性质求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：4 2. 设某中学的女生体重（单位： kg ）与身高（单位： cm） 具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的经验回归方程为．若该中学女生的平均身高为160cm，则该中学女生的平均体重的估计值是__________kg． 【答案】47.69 【解析】 【分析】根据经验回归方程的性质，过均值中心点，即，代入数值求平均体重的估计值. 【详解】由得， 故答案为：47.69. 3. 集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的并集运算得解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 4. 方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程的特征即可求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故答案为：. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为正态分布曲线的对称轴为，， 所以，所以. 故答案为：. 6. 在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、乙两位同学代表高二1班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量，则的数学期望为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算答对某道题的概率，由题意，由二项分布的期望公式求解即可. 【详解】高二1班答对某道题的概率， 由题意知，的可能取值为， 则，所以. 故答案为： 7. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出事件，根据题意运用全概率公式求解即可. 【详解】记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件为，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件， 由题意可知：，， 由全概率公式可得 ， 所以摸出的球是黑球的概率为. 故答案为：. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线标准方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 故答案为：. 9. 若函数存在单调递减区间 ， 则实数取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意转化为导数小于0有解，利用判别式求解即可. 【详解】求导可得， 由题意，有解， 所以只需，解得或， 故实数的取值范围是或. 故答案为：或. 10. 已知函数 ，则 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】去掉绝对值转化为分段函数，分别求每段的最小值即可得解. 【详解】, 当时，为减函数，所以， 当时，，， 所以在上单调递增，所以， 当时，单调递增，所以， 综上， 的最小值为. 故答案为： 11. 已知函数．若 只有2个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得只有一个零点，即，若要满足题意的话，则有一个不同于的零点，由此即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以只有一个零点，即， 若 只有2个零点，显然， 故也是的一个零点， 若，则函数没有零点，此时 只有1个零点， 故不符合题意， 所以， 当时，， 若要满足题意的话，则有一个不同于的零点， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可. 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故答案为： 二 、选择题 13. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相关系数的意义结合散点图即可求解. 【详解】由图可知都是正线性相关关系，都是负线性相关关系，且相关性更强， 所以. 故选：A 14. 若且、 都不为0，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可判断ABC；分、和时三种情况分析即可求解判断D. 【详解】对于A，当满足且、 都不为0，但，故A错误； 对于B，当满足且、 都不为0， 但，故B错误； 对于C，当满足且、 都不为0， 但，故C错误； 对于D，当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故恒成立. 故选：D 15. 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导函数几何意义和直线垂直的条件得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项. 【详解】函数 ，则， 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线， 不妨设在和处的切线互相垂直，则， 即， 则， 所以，， 又，所以或， 所以方程变为，即. 故选：B 16. 设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得等价于， 令，函数)和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案． 【详解】函数的定义域为，由得， 所以.令， 由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值， 由得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，无最小值， 由得，， 若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意， 若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则由即且，得. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，求解参数的取值范围，要注意根据函数的定义域对不等式进行适当化简和变形. 三 、解答题 17 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是. （2） 【解析】 【分析】（1）求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间； （2）对一切，恒成立等价于对一切恒成立，利用导数可得的最小值为，从而可得结果； 【小问1详解】 ，，. 令，解得；令，解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 由，即， 又，整理得， 所以 “对任意成立”等价于“对任意恒成立”. 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. ， 又是正实数，即，. 即所求实数的取值范围是. 18. “总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一.南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵､夫子庙､玄武湖､南京博物院等传统景区，又有科巷､三七八巷､德基广场等新晋网红景点. （1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示： 首选传统景区 首选网红景点 总计 男性 20 30 女性 12 20 试判断是否有的把握认为是否首选网红景点与性别有关； （2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4.如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为，求的分布列和期望. 附：（其中. 0.05 0.10 0.001 3.841 2.706 10.828 【答案】（1）有 （2）分布列见解析，1.2 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据填写列联表，再按照公式计算； （2）随机变量X服从二项分布，根据二项分布求出分布列和数学期望. 【小问1详解】 提出假设 ：否选择网红景点与性别没有关系. 由题意，补全列联表得 首选传统景区 首选网红景区 合计 男性 20 10 30 女性 8 12 20 合计 28 22 50 根据公式求得， 因为当成立时，的概率约为0.1， 所以有的把握认为，是否首选网红景点与性别有关； 【小问2详解】 由题意知，随机变量服从二项分布， 则的分布列为： ， ，，，， 的分布表为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 所以的期望值； 综上，是否首选网红景点与性别有关；的期望值. 19. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合建立有关参变量的等量关系应用基本不等式求三角形的面积最值即可． 20. 已知函数，取；过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．若，则过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．以此类推得，直至停止，由这些数构成数列． （1）若正整数，证明：； （2）若正整数，证明：； （3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得结果； （2）构建，利用导数可证，即可得，结合累加法分析证明； （3）由题意讨论当时，结合等差数列性质以及构造函数，利用导数得出单调性以及零点存在定理即可说明，当时，利用零点存在定理得出唯一性，得出矛盾即可推翻，由此即可得解. 【小问1详解】 因为，则， 若，曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程为， 令，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 构建，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 当时，则， 可得， 累加可得，所以. 【小问3详解】 若存在使得依次成等差数列， 当时，则依次成等差数列，可得， 又因为，则， 可得，即， 构建，则， 由（2）可知：，即， 可得，当且仅当时，等号成立， 则， 且，当且仅当时，等号成立， 可得， 可知在内单调递增，且， 可知内有且仅有一个零点， 当时，则依次成等差数列，可得， 又因为，则， 可得，即， 根据零点的唯一性可知：， 由（2）可知：，可知为递减数列， 所以不成立，即时，不存在使得依次成等差数列； 综上所述：存在使得依次成等差数列，此时. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ (上海市大同中学） 2024 学年第二学期 5月学情调研 高二数学 90分钟 满分100分 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填充题 1 已知某随机变量，则 __________． 2. 设某中学女生体重（单位： kg ）与身高（单位： cm） 具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的经验回归方程为．若该中学女生的平均身高为160cm，则该中学女生的平均体重的估计值是__________kg． 3. 集合，则__________． 4. 方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是__________． 5 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 6. 在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、乙两位同学代表高二1班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量，则的数学期望为______． 7. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 9. 若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是__________． 10. 已知函数 ，则 的最小值为__________． 11. 已知函数．若 只有2个零点，则的取值范围是__________． 12. 已知，则的最大值为__________． 二 、选择题 13. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A B. C. D. 14. 若且、 都不为0，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （ ） A. B. C. D. 16. 设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三 、解答题 17 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 18. “总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一.南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵､夫子庙､玄武湖､南京博物院等传统景区，又有科巷､三七八巷､德基广场等新晋网红景点. （1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示： 首选传统景区 首选网红景点 总计 男性 20 30 女性 12 20 试判断是否有的把握认为是否首选网红景点与性别有关； （2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4.如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为，求的分布列和期望. 附：（其中. 0.05 0.10 0.001 3.841 2.706 10.828 19. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 20. 已知函数，取；过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．若，则过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．以此类推得，直至停止，由这些数构成数列． （1）若正整数，证明：； （2）若正整数，证明：； （3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $