专题02 集合的表示方法（知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题02 集合的表示方法 1.掌握集合的三种表示方法：列举法、描述法、区间法．(重点) 2.会用集合的三种表示方法表示一些简单的集合．(难点) 知识点01：列举法表示集合 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 注意事项： 元素之间用逗号分隔，顺序不影响集合的唯一性（如{1,2}和{2,1}是同一个集合）。 元素不能重复，需满足互异性。 知识点02：描述法表示集合 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 注意事项： 代表符号需明确，如点集用(x,y)，数集用x。 条件P(x)需准确描述元素的特征，可结合数学符号（如不等式、方程、函数等）。 知识点03：常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 知识点04：区间表示集合 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 实数集R可用区间表示为 对点集训一：描述法表示集合 典型例题 例1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 例2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ． 例4．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 例5．已知集合，判断是不是集合中的元素． 精练 1．集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则关于x的不等式的解集为 ． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合的所有元素之和为 ． 5．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合 . 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)正偶数组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 对点集训二：列举法表示集合 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 例2．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 . 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习），，，用列举法表示M，N，P． 精练 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： . 2．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用列举法表示方程组的解集为 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 对点集训三： 列举法求集合中元素的个数 典型例题 例1.已知集合，则集合B中所含元素个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 例2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为 . 精练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则集合M的非空真子集有 个． 3.设集合，，集合，则中元素的个数为 . 4．（22-23高一上·上海金山·阶段练习）对正整数，记，． (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； (3)若的子集中任意两个元素的和不是整数的平方，则称为“稀疏集”，证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14． 对点集训四：区间的定义与表示 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，用区间表示为（    ）． A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）用区间法表示实数集R= . 例3．区间表示的集合为 ． 精练 1．（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 2．（24-25高一上·上海·课前预习）区间 当、且时，规定： 满足不等式的全体实数组成的集合称为一个闭区间，记作 ，如图1． 满足不等式的全体实数组成的集合称为一个开区间，记作 ，如图2． 满足不等式或的全体实数所组成的集合称为一个半开半闭区间，分别记作 或 ，如图3、图4． 满足不等式，，或的全体实数所组成的集合可分别用区间表示为 ， ， 或 ． 实数集可用区间表示为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)． 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）方程组的解集是（     ） A． B．或 C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 3．集合表示的区间是 ． 4．（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 . 5．（24-25高一上·上海·期中）方程组的解集是 ． 6．（24-25高一上·上海·期中）用列举法表示中华人民共和国国旗的颜色名称的集合是 ． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 8．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 9．（23-24高一上·上海长宁·期中）用列举法表示集合 . 10．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 11．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则集合 ．（用列举法表示） 12．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合 . 13．（22-23高一上·上海嘉定·期中）方程的解的集合用列举法表示为 . 14．（22-23高一上·上海杨浦·期中）若集合为偶数，用列举法表示集合 . 15．（22-23高一上·上海长宁·期中）所有正奇数组成的集合用描述当表示为 ． 16．（22-23高一上·上海浦东新·期中）当时，关于的方程的解集为 ． 17．（22-23高一上·上海浦东新·期中）用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合 ． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 19.用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 20.已知集合． (1)若中只有1个元素，求实数的取值范围； (2)若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合． 1．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（    ） ①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集Q是一个数域． A．1 B．2 C．3 D．4 2．定义集合运算，若，，则所有元素之和为（    ） A．48 B．54 C．40 D．36 3．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）方程组的解集为 . 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合用列举法表示为 . 7．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若集合有且仅有一个元素，则实数 ． 8．（23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ． 9．（23-24高一上·上海静安·期中）已知集合，，则 10．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）试用列举法表示集合： ； 11．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若集合，则 12．（22-23高一上·上海松江·期中）定义集合运算，设集合，则集合 . 13．（22-23高一上·上海静安·期中）用列举法表示集合 . 14．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 15．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知方程的两个根为、，求的值； （2）设，求方程的解集. 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 19．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合的表示方法 1.掌握集合的三种表示方法：列举法、描述法、区间法．(重点) 2.会用集合的三种表示方法表示一些简单的集合．(难点) 知识点01：列举法表示集合 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 注意事项： 元素之间用逗号分隔，顺序不影响集合的唯一性（如{1,2}和{2,1}是同一个集合）。 元素不能重复，需满足互异性。 知识点02：描述法表示集合 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 注意事项： 代表符号需明确，如点集用(x,y)，数集用x。 条件P(x)需准确描述元素的特征，可结合数学符号（如不等式、方程、函数等）。 知识点03：常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 知识点04：区间表示集合 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 实数集R可用区间表示为 对点集训一：描述法表示集合 典型例题 例1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【知识点】描述法表示集合 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 例2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据被整除余的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设被除的商为，余数为， 可表示为， 所以被除余的自然数组成的集合为. 故答案为：. 例4．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】或 【知识点】描述法表示集合 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，得或， 所以不等式的解集是或. 故答案为：或. 例5．已知集合，判断是不是集合中的元素． 【答案】是，理由见解析 【知识点】描述法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】假设命题成立，进行推导是否能符合集合中元素的特性即找出整数，使得导，对于存在性的命题，找出一个实例即可． 【详解】解：是集合中的元素， 假设，则必，，使得， 此时取，即可，所以假设成立． 精练 1．集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 【答案】C 【知识点】描述法表示集合 【分析】由已知判断出同号，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】解：集合，、为实数， ， 同号， 当时，集合指第一象限内的所有点组成的集合， 当时，集合指第三象限内的所有点组成的集合， 故是指第一和第三象限内的所有点组成的集合． 故选：C． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】方程与不等式、描述法表示集合 【分析】根据给定条件，解一元一次不等式即可. 【详解】由，得，则不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合的所有元素之和为 ． 【答案】57 【知识点】描述法表示集合 【分析】解不等式得到整数的取值，求和得到结果. 【详解】因为，，解得，，解得. 所以，则所有元素之和为57． 故答案为：57. 5．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合 . 【答案】 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据被7除余3的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设被除7的商为，余数为3，这个数可表示为，所以设被7除余3的自然数组成的集合为. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)正偶数组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】描述法表示集合 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）正偶数组成的集合是； （2）被5除余3的正整数组成的集合是； （3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合是. 对点集训二：列举法表示集合 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 例2．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【知识点】列举法表示集合 【分析】联立消元求解，用列举法表示集合. 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 . 【答案】 【知识点】常用数集或数集关系应用、列举法表示集合 【分析】由题意可得或，解之即可求解. 【详解】因为， 所以或，解得或0或2或3， 即. 故答案为： 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习），，，用列举法表示M，N，P． 【答案】，， 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据题意，求出的值域可得M,求出上面的点集得到N，根据，求出得到P. 【详解】，即为，也就是， 代入求值，即得到； 令得到，由于，则，故. 由于，则，代入求值得到， 则. 精练 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】首先写出能整除的正整数，然后用列举法写成集合的形式. 【详解】因为能整除的正整数有， 所以“能整除 9 的所有正整数”组成的集合为. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】利用列举法来求得正确答案. 【详解】依题意，，所以和都是自然数， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用列举法表示方程组的解集为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】求得方程组的解，再写出相应集合． 【详解】， 因此解集为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列举法表示集合 【分析】（1）确定出集合中的元素，然后写出集合； （2）确定出集合中的元素，然后写出集合； （3）解方程组得定出集合中的元素，然后写出集合； 【详解】（1）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示； （3）由得，方程组的解集可累表示为． 对点集训三： 列举法求集合中元素的个数 典型例题 例1.已知集合，则集合B中所含元素个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】根据的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数． 【详解】当时，有，6个元素； 当时，有，5个元素； 当时，有，4个元素； 当时，有，3个元素； 当时，有，2个元素； 当时，有，1个元素， 综上，一共有21个元素． 故选：B． 例2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为 . 【答案】 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以当时，由， 当时，由， 时，，不满足 综上所述：中元素的个数为， 故答案为： 精练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【答案】D 【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【详解】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则集合M的非空真子集有 个． 【答案】6 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】直接分类讨论即可求解集合M，从而得集合M的非空真子集个数． 【详解】解：由题意得： ∵M＝{（x，y）|3x+4y﹣12＜0，x，y∈N，xy＞0}， 当x＝1时，4y＜9，y＝1，2； 当x＝2时，4y＜6，y＝1； 当x＝3时，4y＜3，y无解； ∴M＝{（1，1），（1，2），（2，1）}， ∴M的非空真子集有{（1，1）}，{（1，2）}，{（2，1）}， {（1，1），（1，2）}，{（1，1），（2，1）}，{（1，2），（2，1）}共6个， 故答案为：6． 3.设集合，，集合，则中元素的个数为 . 【答案】46 【知识点】列举法求集合中元素的个数、描述法表示集合 【分析】分，列举出集合对应的元素，除去重复的计算即得解 【详解】由题意，集合 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，对应，其中有3个数1，2，3与时重复； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 故中元素的个数为 故答案为：46 4．（22-23高一上·上海金山·阶段练习）对正整数，记，． (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； (3)若的子集中任意两个元素的和不是整数的平方，则称为“稀疏集”，证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14． 【答案】(1) (2)23 (3)证明见解析 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】(1)根据给定集合的意义计算列举写出即可； (2)由每一个k值可得中的5个元素，再去掉计算过程中出现的重复元素即可得解； (3)根据给定定义，证明时不能分成两个不相交的稀疏集的并，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解. 【详解】（1）解：依题意，， 则； （2）解：显然每一个k值，m值可取1，2，3，4，5五个不同数，即可得5个的值， 当时，中所对应的3个元素为1，2，3，另两个个元素为4，5 当时，中所对应的2个元素1，2为重复元素，另三个元素为分数， 当时，均为无理数，没有相同数， 因此，由计算可得个数，其中计算得到的数1，2各重复1次，则中元素的个数为， 所以，集合中元素的个数是； （3）解：假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并， 设，为不相交的稀疏集，使， 不妨设，显然，则，即，同理，，又推得，但，与为稀疏集矛盾， 于是得当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并，即， 若，则当时，可分成两个稀疏集之并， 事实上，只要取，，则，为稀疏集，且. 当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面个两稀疏集的并：，， 当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面两个稀疏集的并：，. 最后，集合且中的数均为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数， 则把且中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令这两个稀疏集为与， 因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且， 综上，所求的最大值为14. 【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素. 对点集训四：区间的定义与表示 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，用区间表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据初中式子有意义的条件求出解集，后用区间表示. 【详解】因为，所以． 则区间表示为：. 故选：C． 例2．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）用区间法表示实数集R= . 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 例3．区间表示的集合为 ． 【答案】. 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间的定义可得答案. 【详解】根据区间的定义，表示的集合为可表示为． 故答案为：. 精练 1．（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·课前预习）区间 当、且时，规定： 满足不等式的全体实数组成的集合称为一个闭区间，记作 ，如图1． 满足不等式的全体实数组成的集合称为一个开区间，记作 ，如图2． 满足不等式或的全体实数所组成的集合称为一个半开半闭区间，分别记作 或 ，如图3、图4． 满足不等式，，或的全体实数所组成的集合可分别用区间表示为 ， ， 或 ． 实数集可用区间表示为 ． 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】区间的定义与表示 【分析】（1）（2）根据区间的定义直接求解即可. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）方程组的解集是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】首先解出方程组，再写出其解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解集是或. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·期中）若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合 【分析】讨论参数a，结合集合的描述判断可能对应的集合. 【详解】当时，有，此时； 当时，有，而，此时； 当时，，显然，有， 但，即集合不可能是. 故选：C 3．集合表示的区间是 ． 【答案】． 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间的定义可得答案. 【详解】根据区间的定义集合表示的区间是． 故答案为：． 4．（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】找出小于10的所有素数，然后列举法表示即可． 【详解】小于10的素数组成的集合为：． 故答案为：． 5．（24-25高一上·上海·期中）方程组的解集是 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】解方程结合列举法表示集合即可得结果. 【详解】因为，解得， 所以方程组的解集是. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期中）用列举法表示中华人民共和国国旗的颜色名称的集合是 ． 【答案】{黄色，红色} 【知识点】列举法表示集合 【分析】易知国旗颜色，用列举法表示即可. 【详解】易知国旗颜色有黄色与红色， 所以集合为{黄色，红色}， 故答案为：{黄色，红色}. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【知识点】自然语言表示集合 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据给定条件，利用二次根式有意义求解即得. 【详解】不等式中，，解得， 当时，原不等式为恒成立， 所以不等式的解集是. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海长宁·期中）用列举法表示集合 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】由题意可知为6的正因数，从而可求出答案. 【详解】因为，且，所以为6的正因数， 所以，或2，或3，或6， 所以， 故答案为： 10．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 【答案】 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然数组成的集合为. 故答案为：. 11．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则集合 ．（用列举法表示） 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为集合，集合，则集合中的元素有， 所以. 故答案为： 12．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合 . 【答案】且 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据平面直角坐标系各象限中点的特点结合集合的描述法表示即可得出答案. 【详解】平面直角坐标系中第二象限的所有点的横坐标都,小于0，纵坐标都大于0， 平面直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合为且， 故答案为：且. 13．（22-23高一上·上海嘉定·期中）方程的解的集合用列举法表示为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据方程的解，利用列举法表示即可. 【详解】由可得， 所以方程解集为. 故答案为： 14．（22-23高一上·上海杨浦·期中）若集合为偶数，用列举法表示集合 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】直接用列举法写出集合即可. 【详解】因为集合为偶数 故列举法表示集合 故答案为： 15．（22-23高一上·上海长宁·期中）所有正奇数组成的集合用描述当表示为 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据正奇数的性质进行求解即可. 【详解】因为正奇数除以，余数为， 所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为， 故答案为： 16．（22-23高一上·上海浦东新·期中）当时，关于的方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合 【分析】求出方程的解，表示成解集的形式即可. 【详解】解：由，即，因为，所以， 解得， 所以方程的解集为. 故答案为： 17．（22-23高一上·上海浦东新·期中）用描述法表示除以3余1的所有整数组成的集合 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合 【分析】描述法表示集合即为,为元素的性质,根据这个概念写出集合即可 【详解】被3除余1的所有整数可表示为， 故答案为： 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【知识点】区间的定义与表示、描述法表示集合 【分析】利用区间表示法来表示数集即可. 【详解】（1） （2）,所以不等式所有解的集合是 19.用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【知识点】区间的定义与表示 【分析】（1）由区间的概念表示； （2）求出不等式的解集后，由区间概念表示． 【详解】（1）由题意区间为； （2）由得，解集为． 20.已知集合． (1)若中只有1个元素，求实数的取值范围； (2)若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、方程与不等式 【分析】（1）按方程是一次方程，二次方程讨论，即可求出实数的取值范围； （2）由根与系数的关系知，且，从而得到方程，即可求得或，再代入求集合A即可. 【详解】（1）解：当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 故实数的取值范围为； （2）（2）∵关于的方程存在两个不相等实根， ∴， 且， 则， 即， 故或， 当时，， 当时，． 1．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（    ） ①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集Q是一个数域． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】集合新定义 【分析】根据数域定义逐一验证即可. 【详解】由定义可知，，即0是任何数域中的元素，①正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，②正确； 记则，但，故③错误； 易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确. 故选：C 2．定义集合运算，若，，则所有元素之和为（    ） A．48 B．54 C．40 D．36 【答案】C 【知识点】集合新定义、描述法表示集合 【分析】根据题意，先算出，进而将元素求和即可. 【详解】由题意，，则所有元素和为：2+3+6+9+8+12=40. 故选：C. 3．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【解析】首先求出二元一次方程组的解，再写出其解集； 【详解】解：因为，所以 所以方程组的解集为 故选：C 4．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论. 【详解】因为， 所以为的正约数，且， 所以或或或， 所以或或或， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）方程组的解集为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】通过解方程组求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 解得或， 所以方程组的解为或， 所以方程组的解集为. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】由，，即可求出的值构成的集合． 【详解】，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 集合， 故答案为：． 7．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若集合有且仅有一个元素，则实数 ． 【答案】0或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，即， 综上所述，或. 故答案为：0或. 8．（23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解. 【详解】由可知， 所以只能取，又，所以， 即集合中的元素为，故列举法表示为. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海静安·期中）已知集合，，则 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合的定义集体即可。 【详解】因为,，所以. 故答案为： 10．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）试用列举法表示集合： ； 【答案】 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】根据一元一次不等式结合集合的描述法分析求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 11．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若集合，则 【答案】0 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合中元素与集合的关系即可列式求解. 【详解】解：，则，无解，或，解得. 故答案为：0. 12．（22-23高一上·上海松江·期中）定义集合运算，设集合，则集合 . 【答案】 【知识点】集合新定义 【分析】结合已知条件，利用列举法即可求解. 【详解】由题意可知， ①当时，则； ②当，时，； ③当，时，. 综上所述，. 故答案为：. 13．（22-23高一上·上海静安·期中）用列举法表示集合 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】由，．可得，1，2，分别计算出即可得出． 【详解】解：，．，1，2，又 ，0，3． 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【知识点】集合新定义、列举法求集合中元素的个数 【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可. 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 15．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知方程的两个根为、，求的值； （2）设，求方程的解集. 【答案】（1）3；（2）或 【知识点】描述法表示集合、方程与不等式 【分析】（1）由韦达定理得到，，进而求解即可； （2）分，，，四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由韦达定理得，，， 所以； （2）当时，方程为，即，恒成立； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，即，恒成立. 综上所述，方程的解集为或. 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）分、、讨论，解方程可得答案； （2）利用韦达定理求出，再分、讨论求出集合即可. 【详解】（1）由得， 当时，解得， 当时，，方程无解， 当时，解得， 综上所述，当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）因为关于的方程存在两个不相等实根, 所以，得，或， 且， 所以， 解得， 当时，由解得，或，所以集合； 当时，由解得， 所以方程无解，所以集合； 综上所述，当时，集合； 当时，集合. 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【知识点】列举法求集合中元素的个数、列举法表示集合 【分析】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数. 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 【答案】(1) (2)存在，； (3)答案见解析 【知识点】集合新定义、方程与不等式、列举法表示集合 【分析】（1）令，解方程组，即可求出； （2）将代入，得到，求使方程无解即； （3）由（2）知，，得，求出使得为正整数的，再求出对应的即可. 【详解】（1）当时，方程组为，解得，所以. （2）将代入，得，整理得， 当时，方程无解，即. （3）由，则， 由（2）知，，得， 因为为正整数，所以为正整数，解得或或， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 19．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得； （2）先由①②得，进而可得； （3）先证，可得，，进而得，再结合可证. 【详解】（1）正确，理由如下： 由①知，，由②可得，， 由③可得. （2）证明：由①知，由题意， 所以由②可知，又，所以即证. （3）证明： ，由②可知，由③可知，， 所以，即，所以， 由（2）结论可知，即，即证 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$