精品解析：海南省海口黄冈金盘学校2024-2025学年高二下学期阶段性教学检测（四）数学试题

海南省海口市龙华区海口黄冈金盘学校2024-2025学年高二下学期阶段性教学检测（四）数学试题 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：选择性必修第二册第五章和选择性必修第三册第六、七章． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可． 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：B． 2. 小明前往海南旅游，其住宿的酒店提供早餐，早餐包括种面食和种素菜作为主食，种水果作为餐后甜点．若小明决定从主食中选择种面食和种素菜，并在餐后挑选种水果，则他不同的用餐种类有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，小明不同的用餐种类为种. 故选：C. 3. 若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 4 6 8 A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列的性质求，再由期望公式计算即可. 【详解】因为， 所以或（舍去）， 所以， 故选：A 4. 函数图象上一点到直线：的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，点是函数上与直线平行的切线的切点，根据斜率求出点坐标，再由点到直线距离公式求得最短距离. 【详解】函数，导数为， 设，则，所以， 带入原函数得，此时到直线：的距离最短， 最短距离. 故选：D. 5. 某新能源汽车公司生产的电池容量（单位：千瓦时），且．若质检部门随机抽检块电池，则恰好有块电池的容量在千瓦时以上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正态密度曲线的对称性可求得，若质检部门随机抽检块电池，其中容量在千瓦时以上的电池块数服从二项分布，由此可得结果. 【详解】因为，所以由正态密度曲线的对称性可知， 若质检部门随机抽检块电池，其中容量在千瓦时以上的电池块数为，则， 由二项分布的概率公式可得. 故选：C. 6. 已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ） A. [0，1] B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【详解】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 7. 若小李上班选择乘坐电动车、汽车、地铁以及其他交通工具的概率分别为，．已知乘坐这些交通工具能按时到达上班地点的概率分别为，．一天小李随机选择一种交通工具，则他能按时到达上班地点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用乘坐每种交通工具的概率乘以对应按时到达上班地点的概率，再求和即是总概率. 【详解】根据题意，小李随机选择一种交通工具能按时到达上班地点的概率是： . 故选：B. 8. 已知，则被8除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】两边求导数，赋值令可转化为求被8除的余数，根据二项展开式可转化为求被8除的余数. 【详解】已知， 两边取导数可得，， 令，可得， 而， 所以被8除的余数即为被8除的余数， 而被8除的余数为2， 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 2025海南国际康养产业博览会设有“气候治疗和气候康养产业合作”“食品营养健康”“森林康养产业发展”“医药大健康企业跨境出海”四大平行论坛．已知某医药公司的4位人员参与论坛，且每个人只能选一个论坛，则下列结论正确的有（ ） A. 每个论坛都有人员参与的情况共有24种 B. 有论坛没人参与的情况共有256种 C. 恰有1个论坛没人参与的情况共有144种 D. 4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况有20种 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据排列数，可得其正误；对于B，利用正难则反的解析思路，可得其正误；对于C，根据分步乘法原理以及分组分配的解题思想，可得其正误；对于D，根据分类加法原理以及分组分配，可得其正误. 【详解】对于A，每个论坛都有人员参与的情况数为，故A正确； 对于B，人参加四个论坛，每人只能去一个的总的情况数为， 则有论坛没人参加的情况数为，故B错误； 对于C，恰有1个论坛没人参与的情况数为，故C正确； 对于D，4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况数为，故D错误. 故选：AC. 10. “杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律．如图，下列说法正确的是（ ） A. 杨辉三角中第行的数字个数是偶数 B. 当为质数时，第行除首尾外的所有数都能被整除 C. 第行所有数的平方和等于第2n行最中间的数 D. 第行的数字交替加减后的和恒为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”，结合组合数公式，二项式定理，组合数的性质，判断选项． 【详解】在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和， 对于A在“杨辉三角”第行的数字个数为奇数，错误； 对于B．当为质数时，第行除首尾外的所有数形式为：，其中， 因为为质数，能整除，但不能整除， 而是整数，所以一定包含因子，所以能被整除，正确； 对于C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为， 而二项式展开式的通项公式，，， 当时，，则的系数为， 所以，正确； 对于D．根据二项式定理，，对时，为0，而非1，选项错误 故选：BC． 11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，取，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 是曲线的对称中心 C. 切线的方程为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，通过判断单调性，极值情况可得零点情况；对于B，验证是否等于2，可完成判断；对于C，由题可得斜率及所过点，据此可得切线方程；对于D，由题目信息可得，据此可完成判断. 【详解】对于A，，， .则在上单调递增，在上单调递减. 则为极大值，为极小值，又注意到， .则存在， 使，即函数有三个零点，故A正确； 对于B，注意到 ， 则图象关于对称，故B正确； 对于C，由题可得，，则切线方程为： ，故C正确； 对于D，由C分析，对于，令， 则，， 则，令， 则，故D错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某面包生产厂商计划生产麦麸纤维面包，并研究分析小麦麸皮的添加对面包口感的影响，厂商决定进行一次感官评定来比较未添加麸皮与添加麸皮的面包的粗糙度，以决定是否在面包中添加麸皮．若在10块面包中有4块添加麸皮，现从中随机取两次，每次取一块，取后不放回．已知第一次取到的是未添加麸皮面包，则第二次取到是添加麸皮面包的概率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式列式计算得解. 【详解】设“第一次取到的是未添加麸皮面包”，“第二次取到的是添加麸皮面包”， 则，，因此， 所以所求概率为 故答案为： 13. 二项式的展开式中的系数是______________． 【答案】28 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于1，求出的值，即可求得的系数． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 故的系数为， 故答案为：． 14. 已知函数在上单调递增，则的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，结合题意得出，进而可得出，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】因为， 则， （i）若，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，不合乎题意； （ii）若，由可得或， ①若，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为，不合乎题意； ②若，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为，不合乎题意； ③当时，对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 此时函数在上为增函数，合乎题意，所以，故， 所以，令，，则， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为， 故. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知每年的3月15日为国际消费者权益日，一家网上智能手表销售平台在3月15日这天对市场上20块不同批次的同款智能手表进行了随机抽检，其中5块存在缺陷．若采用不放回的方式随机抽取3块进行检测，设随机变量表示抽取的3块手表中缺陷产品的数量． （1）求的分布列； （2）计算的期望； （3）若检测改为有放回抽样（每次抽检后放回），此时的期望是否改变？请说明理由． 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 3 （2）； （3）的期望不变，理由如下： 若改为有放回抽样，则， 故此时的期望， 所以的期望不变. 【解析】 【分析】（1）根据不放回的条件，由超几何分布求概率得出分布列即可； （2）由分布列求随机变量的期望即可； （3）由题意，可利用二项分布求期望，比较即可. 【小问1详解】 依题意，可能取值为， 则； . 故的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】由（1）知，， 故的期望为. 【小问3详解】 略 16. 当前，以深度求索（DeepSeek）等为代表的人工智能技术创新不断取得突破性的进展．已知语料库实时处理数据时，数据量（万条）与系统延迟（秒）的关系为． （1）讨论系统延迟最小的临界数据量； （2）当时，若要求延迟不超过20秒，求数据量的最大值（取整数）． 参考数据：3.0910． 【答案】（1）若，则系统延迟最小的临界数据量为； 若，则不存在系统延迟最小的临界数据量. （2）21万条 【解析】 【分析】（1）求导，研究其单调性，求出其最值即可； （2）根据单调性求出的整数解. 【小问1详解】 由题意得，， 令，解得， ①若，当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值； ②若，当时，， 所以在上单调递增，没有最小值. 综上，若，则系统延迟最小的临界数据量为； 若，则不存在系统延迟最小的临界数据量. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 又19.，20.， 故延迟不超过20秒时，数据量的最大值为21万条. 17. 已知的展开式中二项式系数之和为128． （1）求展开式中系数绝对值最大的是第几项？ （2）从展开式的项中随机抽出3项，取出的3项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法？ 【答案】（1）第6项 （2）种 【解析】 【分析】(1)先由二项式系数之和公式求的值，再把展开式中系数绝对值转化为的展开式中系数，再结合不等式求解即可. (2) 由通项可知展开式中有理项共有3项，无理项有5项，再利用分类分步计数原理即可求得结果. 【小问1详解】 依题意，， 解得， 的展开式中系数绝对值最大的项等价于的展开式中系数最大的项． 设的展开式中第项系数最大， 则，即 又，所以，即第6项系数最大， 所以展开式中第6项系数的绝对值最大． 【小问2详解】 展开式的通项， 令，解得，即展开式中的有理项共有3项，无理项有5项， 所以从展开式中的所有项中任取3项，取出的3项中既有有理项也有无理项的取法共有种. 18. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）设， 则， 因为且在上单调递增， 又， 所以存在唯一的，使得， 即． 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，然后构造新函数，通过求导研究其单调性来证明不等式； （2）先对函数求导，再根据是极小值点这一条件，分析导数在两侧的正负情况，从而确定实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 令， 因为在上单调递增， ①当时，，存在，使得时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意. ②当时，，存在，使得时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意. ③当时，， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以，即恒成立， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意． 综上，的取值范围为. 19. 二进制是计算机技术中广泛采用的一种进位制，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．二进制数是由0和1组成，通过不同的排列表示不同的数值．记一个位二进制数为，首位可以为0． （1）（i）对于二进制数，求中数字1的个数比中数字1的个数多1的二进制数的个数； （ii）在随机生成一个二进制数时，0和1独立生成，且生成数字1的概率为，生成数字0的概率为，求和各有1个数字1的概率，并确定为何值时，这个概率取得最大值？ （2）记另一个不同的位二进制数为，若，记．证明：． 【答案】（1）（i）； （ii）当时，概率取得最大值 （2）证明： 位二进制数的， 位二进制数一共有个． ， 的可能取值为 当时，二进制数有位取值不同，有位取值相同， 又，所以二进制数，剩余位上有位取值不同，位取值相同， 故共有种情况， ， 随机变量的分布列为 1 2 3 … … ， . 【解析】 【分析】（1）（i）根据分类加法和分步乘法计数原理，先分类讨论，根据1的个数分情况，最终求出有多少种不同的情况.（ii）根据二项分布，写出对应事件的概率，根据函数最值与函数导数的关系，求出导函数单调性，判断函数最值. （2）根据题目条件，设出参数，判断两个二进制数在相同位置上取值相同和不同分别有多少，求出分布列，写出期望，根据二项式定理中所有项二项式系数和的求法，证明不等式. 【小问1详解】 （i）设中有个1，则中有个1， 的可能取值为0，1，2， 当时，有0个，有1个1，二进制数的个数为； 当时，有1个，有2个1，二进制数的个数为； 当时，有2个，有3个1，二进制数的个数为， 故二进制数的个数为 （ii）根据题意，和各有1个数字1的概率为， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，概率取得最大值. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市龙华区海口黄冈金盘学校2024-2025学年高二下学期阶段性教学检测（四）数学试题 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：选择性必修第二册第五章和选择性必修第三册第六、七章． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 小明前往海南旅游，其住宿的酒店提供早餐，早餐包括种面食和种素菜作为主食，种水果作为餐后甜点．若小明决定从主食中选择种面食和种素菜，并在餐后挑选种水果，则他不同的用餐种类有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 4 6 8 A. B. C. 7 D. 4. 函数图象上一点到直线：的最短距离为（ ） A. B. C. D. 5. 某新能源汽车公司生产的电池容量（单位：千瓦时），且．若质检部门随机抽检块电池，则恰好有块电池的容量在千瓦时以上的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ） A. [0，1] B. C. D. 7. 若小李上班选择乘坐电动车、汽车、地铁以及其他交通工具的概率分别为，．已知乘坐这些交通工具能按时到达上班地点的概率分别为，．一天小李随机选择一种交通工具，则他能按时到达上班地点的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则被8除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 2025海南国际康养产业博览会设有“气候治疗和气候康养产业合作”“食品营养健康”“森林康养产业发展”“医药大健康企业跨境出海”四大平行论坛．已知某医药公司的4位人员参与论坛，且每个人只能选一个论坛，则下列结论正确的有（ ） A. 每个论坛都有人员参与的情况共有24种 B. 有论坛没人参与的情况共有256种 C. 恰有1个论坛没人参与的情况共有144种 D. 4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况有20种 10. “杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律．如图，下列说法正确的是（ ） A. 杨辉三角中第行的数字个数是偶数 B. 当为质数时，第行除首尾外的所有数都能被整除 C. 第行所有数的平方和等于第2n行最中间的数 D. 第行的数字交替加减后的和恒为1 11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，取，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 是曲线的对称中心 C. 切线的方程为 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某面包生产厂商计划生产麦麸纤维面包，并研究分析小麦麸皮的添加对面包口感的影响，厂商决定进行一次感官评定来比较未添加麸皮与添加麸皮的面包的粗糙度，以决定是否在面包中添加麸皮．若在10块面包中有4块添加麸皮，现从中随机取两次，每次取一块，取后不放回．已知第一次取到的是未添加麸皮面包，则第二次取到是添加麸皮面包的概率为______________． 13. 二项式的展开式中的系数是______________． 14. 已知函数在上单调递增，则的最大值为____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知每年的3月15日为国际消费者权益日，一家网上智能手表销售平台在3月15日这天对市场上20块不同批次的同款智能手表进行了随机抽检，其中5块存在缺陷．若采用不放回的方式随机抽取3块进行检测，设随机变量表示抽取的3块手表中缺陷产品的数量． （1）求的分布列； （2）计算的期望； （3）若检测改为有放回抽样（每次抽检后放回），此时的期望是否改变？请说明理由． 16. 当前，以深度求索（DeepSeek）等为代表的人工智能技术创新不断取得突破性的进展．已知语料库实时处理数据时，数据量（万条）与系统延迟（秒）的关系为． （1）讨论系统延迟最小的临界数据量； （2）当时，若要求延迟不超过20秒，求数据量的最大值（取整数）． 参考数据：3.0910． 17. 已知的展开式中二项式系数之和为128． （1）求展开式中系数绝对值最大的是第几项？ （2）从展开式的项中随机抽出3项，取出的3项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法？ 18. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围． 19. 二进制是计算机技术中广泛采用的一种进位制，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．二进制数是由0和1组成，通过不同的排列表示不同的数值．记一个位二进制数为，首位可以为0． （1）（i）对于二进制数，求中数字1的个数比中数字1的个数多1的二进制数的个数； （ii）在随机生成一个二进制数时，0和1独立生成，且生成数字1的概率为，生成数字0的概率为，求和各有1个数字1的概率，并确定为何值时，这个概率取得最大值？ （2）记另一个不同的位二进制数为，若，记．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $