精品解析：河北省保定市部分学校2024-2025学年高二下学期6月期末模拟检测数学试题

河北省2025年高二年级第二学期期末模拟检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数及对数的运算求值即可. 【详解】根据题意得，， 故选：B. 2. 已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法即可化简集合，再利用，即可得出结果. 【详解】由题意得 ，又 ，且 ， 所以需满足 ， 解得 . 故选：C. 3. 已知不等式成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的单调性，可得，解不等式即可. 【详解】 ， 即 ，即 ，故不等式的解集为 ， 故选：D. 4. AI模型正在改变着我们的工作和生活方法，某机构为了了解对DeepSeek的使用情况与性别的关系，随机调查了人，得到如下列联表（单位：人）： 性别 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 男性 女性 合计 依据小概率值的独立性检验认为对DeepSeek的使用情况与性别有关系，则的最小值为（ ） （附：，，） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 【答案】D 【解析】 【分析】根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和去比较，计算即可得出结果. 【详解】将列联表中的数据代入公式计算得 ， 解得 48.726，又 ， 所以 的最小值为 51 . 故选：D. 5. 设随机变量，若，则（ ） ［附：若随机变量，则，，］ A. 0.15865 B. 0.3173 C. 0.02275 D. 0.0027 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为随机变量 ，又因为 ， 则 ，解得 ， 所以 ， 故选：A. 6. 已知某停车场一排有10个停车位，已经有一辆停在左边第二个位置，现又有3辆汽车需要停放，停放之后要求这3辆汽车的两边都有空位，则停放的方法有（ ） A. 4种 B. 20种 C. 24种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】利用插空法可得答案. 【详解】假设车位是可以移动的， 先把三辆车分别放在8、9、10车位上， 然后把有三个车位移出来，再放到第3、4、5、6、7车位之间的产生空位上， 则停放的方法有种. 故选：C. 7. 如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（ ） A. 124 B. 185 C. 220 D. 330 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知问题转化为 根据组合数性质计算即可. 【详解】根据题意可知：这些数分别为 ， 则由 逐步应用得： ， 所以这些数和为 330. 故选：D. 8. 已知，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用排列数与组合数公式依次计算即可判断各选项. 【详解】对于选项A，显然 ，故 正确； 对于选项B，因为 ，所以 或 ， 计算可得 (舍去) 或 ，故 正确； 对于选项C，由 ，计算可得 ， 所以 (舍) 或 或 ，故 不正确； 对于选项D， ，故 D 不正确. 故选：AB. 10. 已知随机事件，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件，条件概率的概率公式逐项计算即可得. 【详解】因为随机事件 和 满足 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 . 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则函数的极小值点是1 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 D. 若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，首先对原函数求导，然后判断函数的单调性，从而确定极小值点；对于选项B，令找到拐点就是对称中心；对于选项C，首先设切点坐标，然后求出斜率以及切线方程，根据该切线经过，可得出关于的表达式，然后构造函数求出函数的单调区间，进而确定有三个根时的取值范围；对于选项D，根据已知可得只有一个零点在内，进而计算即可确定的取值范围. 【详解】对于 时， 的定义域为 ，令 ，得 或 1， 当 时， ； 当 (-3，1)时， ， 故函数 的极大值点为 -3，极小值点为 1，故 正确； 对于 ， 故函数 的图象关于点 中心对称，故 错误； 对于 ，设切线在曲线 上的切点为 ， 此切线的斜率为 ， 所以切线方程为 ， 化简可得 ， 因为切线过点，所以 有三个解， 设 ，分析函数 的图象可得 ， 所以 ，故 正确； 对于 ，其图象对称轴为 ， 若函数 在上存在唯一的极值点， 则只有一个零点在内，因为图象的对称轴为 ， 所以 ， ， 即 且 ，解得 ，故 正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中的系数为20，则实数的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】写出二项式的展开式通项，结合指定项系数求参数值即可. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 令，得，故，可得. 故答案为：4. 13. 若定义在上的函数满足是偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知推导是周期为4奇函数，且，再利用周期性、奇函数性质及对称性求函数值. 【详解】由题设，则， 由函数的图象关于点中心对称，则， 即，则有，即， 所以为上的奇函数，则， 由可得，故， 即4为的周期.又，，则， 于是. 故答案为：2 14. 已知曲线的一条切线为，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点，利用导数几何意义求切线方程，结合已知切线得，进而有，利用导数求右侧的最大值，即可得. 【详解】由题设，若切线与曲线切点为， 所以切线方程为，即， 所以，则， 令，则， 当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，即最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列． （1）求展开式中二项式系数和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）由等差中项的性质及组合数公式列方程求得，进而可得二项式系数和； （2）根据二项式性质知第4、5项的二项式系数最大，写出展开式通项，即可得对应项； （3）应用不等式法求系数绝对值最大项的，写出对应项. 【小问1详解】 由题设且，则，故， 所以，则展开式中二项式系数和； 【小问2详解】 由（1）知，二项式共有8项，故其第4、5项的二项式系数最大， 又二项式展开式通项为，， 所以二项式系数最大的项为，； 【小问3详解】 由（2），系数绝对值最大，即最大，， 故，，则，可得，则， 所以，当时系数绝对值最大，则. 16. 某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参加一项活动，记男生的人数为． （1）求的分布列和数学期望； （2）现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动． ①求两次活动中恰好有一人都参加的概率； ②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率． 【答案】（1）分布列见解析，期望为2； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据已知有的可能取值为，应用超几何分布的概率求法得到分布列，进而求期望； （2）①应用组合数及古典概型的概率求法求概率；②根据题设分析知第二次这两名男生也参加，另一名从其它4人中选1人，应用组合数及古典概型的概率求法求概率. 【小问1详解】 由题设的可能取值为，则，，， 所以的分布列如下： 1 2 3 ； 【小问2详解】 ①由题意，6个人中有1个人参加两次活动有种， 再从5人中选2人参加第一项活动，最后从3人中选2人参加另一项活动， 所以两次活动中恰好有一人都参加的概率； ②第一次有两名男生参加，第二次这两名男生也参加，且另一名从其它4人中选1人，所以对应概率. 17. 已知函数在上满足，且当时，；当时，． （1）求的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）在R上单调递减，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【小问1详解】 令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； 【小问2详解】 在R上单调递减，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知R上单调递减，得证. 【小问3详解】 令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 18. 某农科研究所想要研究某种农产品的亩产量（单位：吨）与施肥量（单位：千克）之间的关系，通过调研得到一些数据如下表： 施肥量 5 7 9 11 13 15 亩产量 6 8 11 12 已知且，且，的相关系数，说明，满足线性回归． 参考数据：，，参考公式：，，． （1）求的值； （2）求关于的回归直线方程； （3）若施肥量为9，11时的残差分别为，，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由得到，再由平均数的求法列方程，即可得； （2）根据已知可得、，结合（1）及已知得，再应用最小二乘法求回归直线方程； （3）由（2）所得方程估计，对应数据，再由残差的求法求残差，即可得. 【小问1详解】 ，可得， 所以，则，即； 【小问2详解】 由，且， 所以，可得，结合，，，所以， 则， ， 所以，则， 所以回归直线为； 【小问3详解】 当，，则， 当，，则， 所以. 19. 已知函数，． （1）求函数在上的最大值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用三角恒等变换结合基本不等式可求最大值； （2）问题转化为方程在有两个根，利用导数研究函数的单调性及最值即可确定参数范围； （3）构造、，利用导数确定两函数在上的符号，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，， 由，得，故， 所以，此时， 当且仅当，即时取等号，所以在上的最大值为. 【小问2详解】 由题设有两个零点，即方程在有两个根. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 因为时，，时，，且时， 所以，当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程在有两个根. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 令，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以，即恒成立. 令，则， 所以在上单调递增，故，即恒成立， 综上，，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省2025年高二年级第二学期期末模拟检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A B. 或 C. D. 或 3. 已知不等式成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. AI模型正在改变着我们的工作和生活方法，某机构为了了解对DeepSeek的使用情况与性别的关系，随机调查了人，得到如下列联表（单位：人）： 性别 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 男性 女性 合计 依据小概率值的独立性检验认为对DeepSeek的使用情况与性别有关系，则的最小值为（ ） （附：，，） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 5. 设随机变量，若，则（ ） ［附：若随机变量，则，，］ A. 0.15865 B. 0.3173 C. 0.02275 D. 0.0027 6. 已知某停车场一排有10个停车位，已经有一辆停在左边第二个位置，现又有3辆汽车需要停放，停放之后要求这3辆汽车的两边都有空位，则停放的方法有（ ） A. 4种 B. 20种 C. 24种 D. 120种 7. 如图所示“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（ ） A. 124 B. 185 C. 220 D. 330 8. 已知，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知随机事件，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则函数的极小值点是1 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 D. 若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在展开式中的系数为20，则实数的值为________． 13. 若定义在上的函数满足是偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则________． 14. 已知曲线的一条切线为，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列． （1）求展开式中二项式系数和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项． 16. 某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参加一项活动，记男生人数为． （1）求的分布列和数学期望； （2）现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动． ①求两次活动中恰好有一人都参加概率； ②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率． 17. 已知函数在上满足，且当时，；当时，． （1）求的值； （2）判断并证明函数单调性； （3）若，求不等式的解集． 18. 某农科研究所想要研究某种农产品的亩产量（单位：吨）与施肥量（单位：千克）之间的关系，通过调研得到一些数据如下表： 施肥量 5 7 9 11 13 15 亩产量 6 8 11 12 已知且，且，的相关系数，说明，满足线性回归． 参考数据：，，参考公式：，，． （1）求的值； （2）求关于的回归直线方程； （3）若施肥量为9，11时的残差分别为，，求的值． 19. 已知函数，． （1）求函数在上的最大值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$