2025年辽宁省中考冲刺数学专项试卷：（特殊）平行四边形与圆

（ 特殊）平行四边形与圆 重点知识回顾 知识点 1 平行四边形的性质及判定 ✦ 性质 边 两组对边分别平行且相等，如 AB∥CD，AB = CD 两组对角分别相等，邻角互补，如∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC， 角 ∠ ABC+∠BCD = 180° 两条对角线互相平分，如 OA=OC，OB=OD 对角线 对称性 周长 是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 C = 2（a+b） S = ah 面积 ✦ 判定 边 （ （ （ 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； 2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点 2 矩形、菱形、正方形的性质及判定 性质 判定 1 2 .对边平行且相等； .四个角都是直角； 1.有一个角是 90°的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.四条边都相等的四边形是菱形. 矩形 3.对角线互相平分且相等. 1 2 .对边平行且四条边都相等； .对角线互相垂直且平分； 菱形 3.每条对角线平分一组对角. .对边平行且四条边都相等； 正方形 2.四个角都是直角； 1 1.一个角是直角的菱形是正方形； 2.一组邻边相等的矩形是正方形； 3 4 .对角线互相垂直平分且相等； .每条对角线平分一组对角. 3.对角线垂直平分且相等的四边形是正方形. ✦ 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 知识点 3 圆周角定理及其推论 1 2 .定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. .推论: 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点 4 圆内接四边形的性质 1 2 .圆内接四边形对角互补，如图，∠A+∠BCD=180°，∠B+∠D=180°； .圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，如图,∠DCE=∠A. 知识点 5 切线的性质及判定 .切线的性质 1 数量关系：圆心到切线的距离等于半径； 位置关系：切线垂直于过切点的半径. 2 .切线的判定 直线与圆有公共点，连半径，证垂直； 直线与圆无公共点，作垂线，证半径. 3 .切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图，过⊙O 外一点 P 可以引两条切线 PA、PB，则 PA=PB，PO 平分∠APB. 易错点/方法梳理/解题技巧 易错点 1：四边形的表示，顶点字母有顺序性，不能随意乱写；反之，给定的四边形要按字母顺序画. 易错点 2：平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；而矩形、菱形、正方形既是中心对称图形也是轴对 称图形. 易错点 3：平行四边形注意与三角形面积求法的区分，平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系. 易错点 4：平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，体现转化思想. 易错点 5：正方形中含 45°角，这个模型要熟练掌握很多几何部分的难题都是它的变式. 易错点 6：弦所对的圆周角有两种情况，两条平行弦之间的距离也要考虑两种情况. 易错点 7：垂径定理是圆中求线段长的重要定理，垂直于弦的直径也可以是满足条件的半径、弦心距. 易错点 8：切线的判定方法有两种:已知半径证垂直、已知垂直证半径，后一种证法是没有切点的，不能一上 来就连圆心，硬说是半径. 易错点 9：“图中无圆，心中有圆”，关于隐圆问题，要注意挖掘题中一些可以构造辅助圆的条件. 原创题练习 1 .(2024 广东黑白卷)正方形 ABCO 与 Rt△DEO 的位置如图所示，已知∠AOD＋∠COE＝α，则∠DOC 的度数 为（ ） 第 1 题图 α α A.90°－α B.90°＋α C.90°－2 D.90°＋2 2 .(2024 陕西黑白卷)如图，A，B，C，D 分别为⊙O 上的点，已知∠ABD＝∠ACB＝32°，则∠BDO 的度数为 （ ） 第 2 题图 C. 28° .(2024 甘肃黑白卷)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝2，E 为矩形 ABCD 内部一点，连接 BE，EC，AE， 当 BE⊥EC，AB＝AE 时，BE 的长为________． A. 24° B. 26° D. 32° 3 第 3 题图 4 .(2024 湖南长沙黑白卷)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 BC＝OC.点 E 为 OB 的中点，过点 E 作 OC 的平行线，交 BC 于点 F.在 EF 的延长线上取一点 G，使得 FG＝EF.连接 EC，BG，CG. (1)求证：四边形 ECGB 是矩形； (2)若 BD＝12，EG＝5，求 AB 的长． 第 4 题图 5 .(2024 江苏徐州定心卷)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点 O 作 OD⊥AB，交 BC 于点 E，连接 AC，CD，且∠D＝2∠ABC. (1)判断 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 OD＝5，CD＝3，求 BC 的长． 第 5 题图 答案解析 1 .C 【解析】∵四边形 ABCO 是正方形，△DEO 是直角三角形，∠DOE＝90°，∴∠AOC＝90°，∠AOD＋ α ∠ DOC＋∠DOC＋∠COE＝180°.∵∠AOD＋∠COE＝α，∴2∠DOC＝180°－α，∴∠DOC＝90°－ . 2 2 .B 【解析】如解图，连接 OA，OB，∵∠ABD＝∠ACB＝32°，∴∠AOD＝∠AOB＝2∠ACB＝64°，∴∠BOD ＝ 128°，∵OB＝OD，∴∠BDO＝1 80°－128° ＝26°. 2 第 2 题解图 【解析】如解图，过点 A 作 AF⊥BE 于点 F，∴ .3 10 3 5 1 ∠ ∠ AFB＝90°，由题意，得 AB＝AE＝3，∠CEB＝90°，∴EF＝BF＝ BE，∠ECB＋∠EBC＝90°，∵∠EBC＋ 2 BF AB 3 EBA＝90°，∴∠EBA＝∠ECB，∴△ABF∽△BCE，∴ ＝ ＝ ，设 CE＝2x，则 BF＝3x，∴BE＝6x，在 CE BC 2 Rt△BCE 中，(2x)2＋(6x)2＝22，解得 x＝ 0(负值已舍去)，∴BE＝ 1 6 10 3 10 ＝ . 10 10 5 第 3 题解图 4 .(1)证明：∵点 E 为 BO 的中点，EF∥OC， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 点 F 为 BC 的中点， BF＝CF， FG＝EF， BC 与 EG 互相平分， 四边形 ECGB 为平行四边形， BC＝OC，点 E 为 BO 的中点， CE⊥BO，即∠CEB＝90°， 四边形 ECGB 为矩形； (2)解：∵BD＝12，点 O 为 BD 的中点， 1 1 ∴ ∵ ∴ BO＝ BD＝ ×12＝6， 2 2 点 E 为 BO 的中点， 1 1 BE＝ BO＝ ×6＝3， 2 2 由(1)得四边形 ECGB 为矩形， ∴ BC＝EG＝5， ∴ ∵ 在 Rt△CEB 中，CE＝ BC2－BE2＝ 52－32＝4， DE＝BD－BE＝12－3＝9， ∴ ∵ 在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋CE2＝ 92＋42＝ 97， 在平行四边形 ABCD 中，AB＝DC， ∴ AB＝ 97. 5 .解：(1)CD 与⊙O 相切， 理由：如解图，连接 OC， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∠AOC＝2∠ABC，∠D＝2∠ABC， ∠AOC＝∠D. OD⊥AB， ∠DOA＝90°，∴∠AOC＋∠COD＝90°， ∠D＋∠COD＝90°， ∠OCD＝90°， OC 是⊙O 的半径， CD 与⊙O 相切； (2)如解图，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，则∠CFO＝90°， ∴ ∵ ∴ ∠CFO＝∠OCD＝90°， ∠AOC＝∠D， △CFO∽△OCD， OF CF OC ∴ ∵ ＝ ＝ ， DC OC DO OD＝5，CD＝3， ∴ ∴ 在 Rt△OCD 中，OC＝ OD2－CD2＝4， OF CF 4 12 16 ＝ ＝ ，解得 OF＝ ，CF＝ ， 3 4 5 5 5 1 2 32 ∴ ∴ BF＝OB＋OF＝4＋ ＝ ， 5 5 2 ） ＋（ 2 3 2 16 5 16 5 5 在 Rt△BCF 中，BC＝ BF2＋CF2 ＝ （ ） ＝ . 5 第 5 题解图 学科网（北京）股份有限公司 $$