精品解析：江苏省连云港市东海县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中学业质量监测 七年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 2. 每到四月杨絮如雪花般漫天飞舞，据测定，杨絮纤维的直径约为，其中数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是二元一次方程的一个解，则的值等于（ ） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 5. 如图，木盘还有最后一块没有拼完，小明想用平移的方式移动拼木拼满木盘，小明应该选择的拼木是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程组，则（ ） A B. C. 2 D. 4 7. 从前，一位庄园主把一块边长为的正方形土地租给租户李老汉．第二年，他对李老汉说：“我把这块地的一边增加，相邻的另一边减少，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得李老汉的租地面积会（ ） A. 减少 B. 减少 C. 增加 D. 保持不变 8. 如图，在中，，的面积为15，平分，若、分别是、上的动点，点关于的对称点是点，连接、、，由角的轴对称性可得．则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 若有意义，则实数a取值范围是_______． 10. 已知，用含式子表示，则______． 11. 由于我们把和叫做完全平方公式，所以我们常把多项式及叫做完全平方式．若是完全平方式，则的值为______． 12. 若x n =3，则 x 2n =___________ 13. 如图，若与关于直线对称，则的度数为______． 14. 如图，将沿方向平移到，若，之间距离为4，，则等于______． 15. 计算______． 16. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将ΔBDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数是_______． 17. 已知关于、的二元一次方程，当取每一个不同值时，都表示一个不同的方程，若这些方程有一个公共解，则这个公共解是______． 18. 如图，在中，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置（1），得到点，点在直线上；将位置（1）的三角形绕点顺时针旋转到位置（2），得到点，点在直线上；将位置（2）的三角形绕点顺时针旋转到位置（3），得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，第2025次旋转得到点，则______． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 化简与计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 解下列方程组： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上．在网格中完成下列画图： （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，画出平移后的； （2）画出以为对称轴的轴对称图形； （3）把以点为旋转中心，顺时针旋转90°，画出旋转后． 23. 如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： （1）在图1中，作的平分线； （2）在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 24. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算______； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下证明： 设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试用这种方法证明下面这个等式：． 25. 已知是关于、的二元一次方程组． （1）求方程组的解（用含的式子表示）； （2）若方程组的解也满足方程，求的值； （3）若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 26. 【阅读思考】我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． 【归纳证明】观察图2中阴影部分面积的不同计算方法，请你写出一个、、三者之间的等量关系式是______，并说明理由： 【理解内化】应用“归纳证明”中的结论，尝试解决以下问题： 已知，，求的值； 【迁移应用】我市某公园有一块空地，如图3所示，其中、、、都是正方形，为了改善环境，增加美的效果，吸引更多的市民前来观光游览，公园管理员决定在每块区域都种上不同的花草．经测量：，，正方形的面积，求阴影区域的面积． 27. 【操作思考】将一副直角三角板（分别含和角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期中学业质量监测 七年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法则，合并同类项法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不是同类项，不能合并，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘除，合并同类项．解题的关键是熟练掌握相关运算法则，正确的计算． 2. 每到四月杨絮如雪花般漫天飞舞，据测定，杨絮纤维的直径约为，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．将写成（，n为正整数）的形式即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 整理得：， 故选：B． 4. 已知是二元一次方程的一个解，则的值等于（ ） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．把代入中得到，据此可得答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，木盘还有最后一块没有拼完，小明想用平移的方式移动拼木拼满木盘，小明应该选择的拼木是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键． 根据平移前后，图形的大小，形状和方向都不反生改变，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，应该选择的拼木是： 故选D． 6. 已知方程组，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法两个方程相减，再利用整体法求解即可． 【详解】解：， 得：， 两边同时除以2得：， 故选：B． 7. 从前，一位庄园主把一块边长为的正方形土地租给租户李老汉．第二年，他对李老汉说：“我把这块地的一边增加，相邻的另一边减少，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得李老汉的租地面积会（ ） A. 减少 B. 减少 C. 增加 D. 保持不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．分别求出变化之后长方形土地的面积与原来正方形土地的面积的差即可解题． 【详解】解：， ∴李老汉的租地面积会减少， 故选B． 8. 如图，在中，，的面积为15，平分，若、分别是、上的动点，点关于的对称点是点，连接、、，由角的轴对称性可得．则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 根据题意得出，，可知当三点共线，且时，的值最小，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解： ∵平分，点关于的对称点是点，， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为5， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 若有意义，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据0次幂的底数的规则即可得出答案． 【详解】解：因为除了0以外，其他任何数的0次幂都为1，0的0次幂没有意义， 所以，即． 故答案为： 【点睛】本题考查了0次幂的底数的规则，掌握这一知识点是解题的关键． 10. 已知，用含的式子表示，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程．把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11. 由于我们把和叫做完全平方公式，所以我们常把多项式及叫做完全平方式．若是完全平方式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，利用完全平方式的特征解答即可．熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 【详解】解：是完全平方式，是完全平方式， ． 的值为． 故答案为：． 12. 若x n =3，则 x 2n =___________ 【答案】9 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵xn =3， ∴x2n=（xn）2=32=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则． 13. 如图，若与关于直线对称，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，根据轴对称的性质可，再根据和的度数即可求出的度数．熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键． 【详解】解：与关于直线对称， ， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，将沿方向平移到，若，之间距离为4，，则等于______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据题意，得出平移的距离，再结合的长即可解决问题．熟知图形平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题知， ，之间距离为4，沿方向平移到， ， ． 故答案为：10． 15. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将ΔBDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数是_______． 【答案】35° 【解析】 【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题． 【详解】解：， ， 是由翻折得到， ， ， ， 解得． 故答案为：35°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17. 已知关于、的二元一次方程，当取每一个不同值时，都表示一个不同的方程，若这些方程有一个公共解，则这个公共解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解的定义，根据题意先给值随便取两个值，然后代入方程，从而能够求出、的值，然后把、的值代入方程进行验证，能使左边和右边相等就是方程的解．要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是代入法． 【详解】解：当每取一个值时就得到一个方程，而这些方程有一个公共解， 值随便取两个值， ，方程为， ，方程为， 解得，， 把，代入方程得， 这个公共解是． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置（1），得到点，点在直线上；将位置（1）的三角形绕点顺时针旋转到位置（2），得到点，点在直线上；将位置（2）的三角形绕点顺时针旋转到位置（3），得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，第2025次旋转得到点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题．根据题意可知，旋转三次为一组，得到的长度即可． 【详解】解：由题意得，将绕着点顺时针转到位置①，得到点，此时， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点， 此时， 将位置②三角形绕点顺时针旋转到位置③，得到点， 此时， 根据题意可知，旋转三次为一组， 又， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 化简与计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，即可解答； （3）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （4）利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 解：， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，13 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和单项式乘多项式．先利用完全平方公式和单项式乘多项式，计算出最简结果，然后把，代入，即可求解． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上．在网格中完成下列画图： （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，画出平移后的； （2）画出以为对称轴的轴对称图形； （3）把以点为旋转中心，顺时针旋转90°，画出旋转后． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握平移作图、旋转作图，是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向右平移9个单位，再向下平移4个单位找出对应点、、即可； （2）分别将以为对称轴找出对应线段、即可． （3）分别将以为中心顺时针旋转找出对应线段、即可． 【小问1详解】 解：，如图所示： 【小问2详解】 解：，如图所示： 【小问3详解】 解：，如图所示： ． 23. 如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： （1）在图1中，作的平分线； （2）在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②10 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、作垂线，中垂线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图即可； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ； 【小问2详解】 解：①如图，折痕即为所求； ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 故答案为：10． 24. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算______； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下证明： 设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试用这种方法证明下面这个等式：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘法则． （1）根据已知条件中的新定义进行解答即可； （2）设，，，然后根据已知条件中的定义写成幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，从而证明即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：1； 【小问2详解】 证明：设，，， ，，， ， ， ， ，即． 25. 已知是关于、的二元一次方程组． （1）求方程组的解（用含的式子表示）； （2）若方程组的解也满足方程，求的值； （3）若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【答案】（1）； （2）； （3）7 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把m看做已知数，利用加减消元法求出解即可； （2）把方程组的解代入方程计算即可求出m的值； （3）将代数式变形为，根据题意得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为：； 小问2详解】 解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得； 小问3详解】 解：∵ ， ∵是个定值， ∴， ∴， ∴ ． ∴这个定值为7． 26. 【阅读思考】我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． 【归纳证明】观察图2中阴影部分面积的不同计算方法，请你写出一个、、三者之间的等量关系式是______，并说明理由： 【理解内化】应用“归纳证明”中的结论，尝试解决以下问题： 已知，，求的值； 【迁移应用】我市某公园有一块空地，如图3所示，其中、、、都是正方形，为了改善环境，增加美的效果，吸引更多的市民前来观光游览，公园管理员决定在每块区域都种上不同的花草．经测量：，，正方形的面积，求阴影区域的面积． 【答案】[归纳证明]，理由见解析；[理解内化] ；[迁移应用] 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． [归纳证明]用代数式分别表示图2中各个部分的面积，根据各个部分的面积与总面积之间的关系进行解答即可； [理解内化]利用进行计算即可； [迁移应用]设，，由题意得阴影部分的面积为，正方形的面积为，，根据求出的值即可． 【详解】解：[归纳证明]图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个长方形的面积和为，所以有， 故答案为：； [理解内化]，， 根据前面证明公式， ； [迁移应用]设，，则阴影部分的面积为，正方形的面积为， ，即， ， ，即， ， 即阴影部分的面积为． 27. 【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②或；（3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的有关计算，一元一次方程，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用角平分线的概念即可解答； （2）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （3）分两种情况，即重合前或重合后，两种情况，逐一解答即可． 【详解】解：（1）、分别是三角板和三角板的角平分线， ， ， 故答案为：； （2）①当时， ； ②当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或； （3）存在， ， 解得， 当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转， ， 当重合前， 可得， 解得； 当重合前， 可得， 解得； 综上，存在点使，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$