精品解析：广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次段考数学试卷

2024-2025学年广东省惠州一中高一（下）第二次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合相等向量逐项计算判断作答. 【详解】设， 对于A，，则，无解，A不是； 对于B，，则，解得，B是； 对于C，，则，无解，C不是； 对于D，，则，无解，D不是. 故选：B 2. 如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的加法法则求解. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得. 故选：B. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将已知等式进行化简求出，再求出的共轭复数即可. 【详解】已知，等式两边同时乘以得到. 将右边展开，移项可得，即. 且.所以.则 故选：C. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 因为 所以， 则 故选：B. 5. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出长方体的体积，利用锥体的体积公式计算出阳马的体积，即可求得阳马与长方体的体积之比. 【详解】设阳马的体积为，长方体的体积为， 由图2可知，阳马是底面为矩形，高为的四棱锥，则， 长方体的体积为，因此，. 故选：B. 6. 已知平面向量满足在方向上的投影为1，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 与有关 【答案】C 【解析】 【分析】由投影的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】由在方向上的投影为1可知， 又，故，而， 所以. 故选：C． 7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 8. 已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出棱长为的正四面体的外接球半径，再求出圆锥的内切球半径，由正四面体能在圆锥内任意转动，所以列不等式求解即可. 【详解】棱长为的正四面体如图所示， 则正方体的棱长为，体对角线长为， 所以棱长为的正四面体的外接球半径为. 如图，在圆锥中，设圆锥母线长为，底面圆半径为， 因为侧面积为，所以，即. 因为，所以，所以. 取轴截面，设内切圆的半径为， 则，解得， 即圆锥的内切球半径为. 因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即， 所以正四面体的最大棱长为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（ ） A. B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则的最大值为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的模，向量的位置关系，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，因为，可得，所以B错误； 对于C中，由，因为，可得，即 又因为，可得， 联立方程组，可得，解得，所以C正确； 对于D中，由，可得， 因为，可得，即， 表示以为圆心，半径为的圆， 可得，则原点到圆上点的最大距离为，即的最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是1 B. 直三棱柱的外接球表面积是 C. 三棱锥的体积与点的位置有关 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由柱体体积公式计算直三棱柱的体积验证选项A；由直三棱柱的结构特征求外接球半径和表面积验证选项B；判断三棱锥的底面积和高的特征验证选项C；把侧面和侧面展开在一个平面上求的最小值验证选项D. 【详解】直三棱柱中，，，，如图所示， 直三棱柱的体积为，故A选项正确； 直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为，外接球表面积是，故B选项正确； O是与的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误； 把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确. 故选：ABD 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出结果. 【详解】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以，过点作，垂足为，则易知且， 在Rt中，，，所以，故正四棱台的高为. 故答案为：. 13. 如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为和，且测得，则M，N间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理得出，再应用余弦定理计算即可求解． 【详解】在中，，， 由正弦函数：，， 在中，，， 由正弦函数：，则， 在中，已知，，， 由余弦定理： ， ，所以，M，N间的距离为 故答案为： 14. 在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【详解】解：因为复数对应的点为 且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上 又，所以为圆的直径，即关于原点对称 所以 因为 所以 又，， 则 所以 即的最大值为，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数，为虚数单位. （1）若，求； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入的值，再去计算即可. （2）先将进行化简，因为是纯虚数，说明实部为0，且虚部不为0，从而求出，再求出模. 【小问1详解】 当时，，. 【小问2详解】 ， 因为其为纯虚数，则，解得， 则，. 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，且. （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】（1）12 （2）， 【解析】 【分析】（1）据直观图还原平面图形ABCD为一个直角梯形，再利用直角梯形的面积公式求解； （2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，再结合圆柱和圆锥的表面积和体积公式求解． 【小问1详解】 根据题意，将直观图还原成平面图形即得直角梯形如图， 因为，，且， 所以，，，且，， 故原平面图形为直角梯形，故其面积为； 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图， 其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5， 所以几何体的表面积为， 几何体的体积为. 17. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）证明：； （2）如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）证明：由条件及正弦定理得， 所以，即， 因为，所以，即， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件和正弦定理，结合三角恒等变换即可证明； （2）由a、b、c的关系结合余弦定理可求cosC及sinC，根据三角形面积公式可得b与CD的一个关系式，再利用余弦定理得b与CD的另外一个关系式，联立即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及条件知， 所以， 从而得. 设， 则，得.① 由余弦定理得，所以，② 由①②，得，所以， 所以的周长为. 18. 已知锐角的角的对边分别为，若是线段上一点，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，且为内角的角平分线，求的最大值. （3）若是线段上靠近点的三等分点，，求AD的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式，辅助角公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小； 由三角形的面积，可得的值，再由角平分线可得面积的表达式，可得的表达式，再由基本不等式可得的最大值； 由向量的表示可得的表达式，由正弦定理可得的表达式，由辅助角公式及锐角三角形的性质可得的最大值． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 在中，， 可得， 又因为，可得，即， 又因为，可得， 解得. 【小问2详解】 因为的面积为，可得， 即，得， 又因为为内角的角平分线， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 【小问3详解】 因为D是线段BC上靠近点B的三等分点，， 可得, 即，两边平方可得 . 由余弦定理可得，即，则 所以. 由正弦定理可得， ，，得， 化简得， 则. 又因为，则 此时， 整理化简得. 在锐角三角形中，，所以. 则，故，则. 即的最大值为. 19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】（1）， （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【小问1详解】 因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； 【小问2详解】 因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省惠州一中高一（下）第二次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（    ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B的大小为（ ） A. B. C. D. 或 5. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量满足在方向上的投影为1，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 与有关 7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 8. 已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（ ） A. B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则的最大值为. 10. 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是1 B. 直三棱柱的外接球表面积是 C. 三棱锥的体积与点的位置有关 D. 的最小值为 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为__________. 13. 如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为和，且测得，则M，N间的距离为______. 14. 在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数，为虚数单位. （1）若，求； （2）若是纯虚数，求. 16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，且. （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 17. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）证明：； （2）如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长. 18. 已知锐角的角的对边分别为，若是线段上一点，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，且为内角的角平分线，求的最大值. （3）若是线段上靠近点的三等分点，，求AD的最大值. 19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $