精品解析：广东中山市华侨中学2025-2026学年高一下学期4月一段考数学试题

2025-2026学年广东省中山市华侨中学高一下学期4月一段考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，逆用和角的余弦公式化简即得. 【详解】依题意，原式. 故选：C 2. 已知向量.若存在，使得，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的模长运算可得，即可根据数量积的坐标运算结合三角恒等变换得，进而可求解； 或者利用向量数量积的性质判断同向共线，即可得求解. 【详解】方法一：由得,即， 所以，则.又，， 所以，即. 方法二：由得，所以向量同向共线， 所以.又，所以. 故选：B. 3. 已知矩形，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的各边的边长，再利用余弦定理即可. 【详解】在矩形，，为中点，为靠近的三等分点，则， 如图所示， 则，，， 在中，利用余弦定理可得，， . 故选：C. 4. 在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；A，B分别以，为起点同时开始运动，经过后，动点A，B的坐标分别为，，则的最小值为（ ） A. -2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角函数的性质及运算. 【详解】由题意可知，则，结合二次函数的性质可知， 当时，取得最小值. 故选：D. 5. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 6. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 7. 已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，再利用互补的角的余弦值相加等于0，即可求得答案. 【详解】由已知六边形的边长及到各个顶点的长度均为2， 由图可知，同理， ．又 ， 又由图知，， ． 所以． 故选：A. 8. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中， 由，得，而， 因此，即，则即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 （ ） A. B. 函数的零点为 C. 函数图象的对称轴为直线 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，，则，所以， 又由，解得， 因为，所以，所以，所以A正确. 令，解得， 可得函数的零点为，所以B错误. 令，解得， 所以函数图象的对称轴为直线，所以C正确. 由，则，因为的值域为， 所以，解得，即实数的取值范围为， 所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D. 【详解】， ，故A错误； 以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，则， 则， ，故B正确； ， 三点共线，，即，故C正确. ， ， ， ， ， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，是边的中点，则______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据向量的加减法法则有:，,此时. 考点：1.向量的加法及其几何意义；2.向量的减法及其几何意义；3.平面向量数量积的运算． 13. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则边长的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量加法的运算性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】 ， 由解得或（舍去）， ，. 故答案为： 14. 已知函数在区间上单调递减，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】依题意可得为的一个对称中心，可得满足，再由单调区间可求解. 【详解】易知， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心； 所以，即； 又在区间上单调递减，所以，解得； 当时，此时，满足题意. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）求在上的投影向量的坐标； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算； （2）因在上的投影向量为，代入（1）中求得的，，计算和即得； （3）根据两向量的数量积大于0，且两向量不共线,列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 由于与的夹角为， 所以，即，解得， 则，，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，在上的投影向量为， 即在上的投影向量的坐标为； 【小问3详解】 由（1）知，，则， ， 由于与所成的角是锐角， 所以,即：， 解得且，即实数的取值范围为. 16. 已知向量 ，函数. （1）若，，求的值； （2）若函数（）在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由，结合的范围以及平方关系得出的值，由结合两角差的余弦公式求解即可； （2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由，即， 因为 ，所以， 所以， ． 【小问2详解】 由题意得， 当时，可得， 依题意，需使，，即，解得或， 故正数的取值范围为 . 17. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量； （2）将（1）中函数的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把整个图像向左平移个单位长度，得到的图像，已知，，问在的图像上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）对表达式进行恒等变换求得，然后根据伴随向量的定义即可求解； （2）先求出，然后设，再根据结合数量积可得到关于的方程，最后讨方程的全部解即可. 【小问1详解】 我们有 ， 故的伴随向量. 【小问2详解】 由（1）知， 设. 一方面，若满足条件，则由，，知，. 再由，知，即. 此即，即. 从而，这表明，故. 另一方面，当时，有，此时，故，所以此时的满足条件. 所以满足条件的点存在，仅有一个. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，对一般方法难以使用的方程，可以通过不等式等方式确定方程的解. 18. 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可； （2）设，利用向量的共线求出即可得解； （3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解. 【小问1详解】 依题意， ， ； 【小问2详解】 因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； 【小问3详解】 由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若函数，判断的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） 根据二倍角公式与和差化积恒等式得： . （2） 左边 ， 右边 . 由，得， 所以. （3） 仅有一个零点. 显然，下面证明当时，. . 当时，， 因此， 即当时，. 所以仅有1个零点. 【解析】 【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可. （2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明. （3）易得，再证明当时，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省中山市华侨中学高一下学期4月一段考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量.若存在，使得，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知矩形，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；A，B分别以，为起点同时开始运动，经过后，动点A，B的坐标分别为，，则的最小值为（ ） A. -2 B. C. D. 5. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 6. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 52 8. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 （ ） A. B. 函数的零点为 C. 函数图象的对称轴为直线 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 11. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，是边的中点，则______． 13. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则边长的值为______. 14. 已知函数在区间上单调递减，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）求在上的投影向量的坐标； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16. 已知向量 ，函数. （1）若，，求的值； （2）若函数（）在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围． 17. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量； （2）将（1）中函数的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把整个图像向左平移个单位长度，得到的图像，已知，，问在的图像上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 18. 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）求； （3）设，求的取值范围． 19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若函数，判断的零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $