精品解析：上海市浦东新区上海海事大学附属北蔡高级中学2024-2025学年高一下学期6月期末测试数学试题

2024-2025学年海大附中高一第二学期期末测试卷 一、填空题（3*12=36） 1. 是第_________象限的角． 2. 若，，那么在方向上的数量投影为__________. 3. 直线，若，，则的位置关系是________． 4. 函数，的值域是_____． 5. 已知平面向量，若，则___________． 6. 已知i为虚数单位，若，则的取值范围为__________. 7. 函数的对称轴方程是_______ 8. 若是关于的方程的根，则__________． 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 10. 已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是__________填序号 11. 已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 12. 如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是______． 二、单选题（3*4=12） 13. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. i C. D. 14. 已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“的夹角是钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 利用三角函数图象，求出中的取值范围（ ） A. ， B. ， C. D. ， 16. 如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（8+10+10+12+12） 17. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 18. 如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 19. 如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 . （1）设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): （2）施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 20. 如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求点与平面的距离． 21. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年海大附中高一第二学期期末测试卷 一、填空题（3*12=36） 1. 是第_________象限的角． 【答案】一 【解析】 【分析】由确定终边相同的最小正角所在象限，即可得. 【详解】由，即与的终边相同，故为第一象限角. 故答案为：一 2. 若，，那么在方向上的数量投影为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由投影数量的定义即可求解. 【详解】在方向上的数量投影为. 故答案为：. 3. 直线，若，，则的位置关系是________． 【答案】相交、平行或异面 【解析】 【分析】作出正方体，利用线面垂直的性质判断即可. 【详解】我们引入正方体，若设， 由正方体性质得面，所以满足，， 此时一定有，，则的位置关系是相交， 若设，由正方体性质得， 也有，但，则的位置关系是平行， 若设，此时满足，， 由正方体性质得面，所以， 故不平行，且它们不相交，故的位置关系是异面. 故答案为：相交，平行或异面 4. 函数，的值域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性可求得其值域. 【详解】因为余弦函数在上单调递减， 故当时，，即. 因此，函数，的值域是. 故答案为：. 5. 已知平面向量，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可求x，继而可求. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，所以． 故答案为：. 6. 已知i为虚数单位，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数z在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数z在复平面内对应点Z的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 是点Z到定点的距离， 而，所以圆C外， ， 所以的取值范围为， 故答案为：. 7. 函数的对称轴方程是_______ 【答案】， 【解析】 【分析】根据诱导公式化简函数，利用正弦函数的对称性，整体代换即可求解. 【详解】， 令，得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故答案为：，. 8. 若是关于的方程的根，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先化简，再将代入方程，根据复数为零列式可求，即可得 【详解】化简． 因为是方程的根， 将代入方程得． 展开， 则，即． 所以，解得，， 则． 故答案为：4. 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 10. 已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是__________填序号 【答案】①② 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】①，，由平行公理得出，故①正确； ②，，由面面平行的性质得出，故②正确； ③，或，故③错误； ④，或，故④错误． 故答案为：． 11. 已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【答案】或 【解析】 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 12. 如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】，把向量内积通过投影转化为三角函数问题 【详解】 设,则,作交OC的延长线于点 由余弦定理 所以,即 ,因为,所以 所以 所以 故答案为 ： 二、单选题（3*4=12） 13. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. i C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法乘法运算即可求解. 【详解】， 故选：B 14. 已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“的夹角是钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据是平面向量的基底，确定的关系，再结合数量积的定义进行判断. 【详解】因为是同一平面内所有向量的一个基底，所以不共线. 所以由，因为不共线，所以且，即为钝角.所以“”是“的夹角是钝角”的充分条件； 由的夹角是钝角，所以“”是“的夹角是钝角”的必要条件. 综上可得：在是同一平面内所有向量的一个基底时，“”是“的夹角是钝角”的充要条件. 故选：B 15. 利用三角函数图象，求出中的取值范围（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D 16. 如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【详解】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下： (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 三、解答题（8+10+10+12+12） 17. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为零可求答案； （2）根据纯虚数的特征可求答案； （3）根据第四象限内点的特征可求答案. 【小问1详解】 由z是实数，得，解得，或． 【小问2详解】 由z是纯虚数，得解得． 【小问3详解】 由z在复平面内对应的点在第四象限，得 由解得或；由解得， 所以m的取值范围为． 18. 如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，则为与平面所成的角，求出各边长，利用得到答案. 【小问1详解】 点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 19. 如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 . （1）设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): （2）施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 【答案】（1）的长为米. （2）的长为米，. 【解析】 【分析】（1）设的长为米，利用三角函数的关系式建立等式关系，求解即可得到结论； （2）利用正弦定理和余弦定理，建立方程关系，即可得到结论. 【小问1详解】 设的长为米，则 ，， 因为，所以，则， 即，解得：米. 故的长为米. 【小问2详解】 由题设， 由正弦定理得，即米， 所以，则米， 又，则， 故的长为米，. 20. 如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求点与平面的距离． 【答案】（1）证明：设与交于点，则是中点，如图，连接，又是中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）设与交于点，证明，然后由线面平行判定定理得证线面平行； （2）证明是异面直线与所成的角或其补角，再在中求出此角即得； （3）证明平面，得的长等于到平面的距离，求出此线段长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以是异面直线与所成的角或其补角， 由已知，，所以， 所以异面直线与所成的角是； 【小问3详解】 是正方形，所以， 又是长方体，因此平面， 而平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以的长等于到平面的距离， 正方形的边长为1，则． 21. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系. 【答案】（1）最大值为，的取值集合为 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 若，，则， 当时，即，，函数有最大值， 函数的最大值为，对应的取值集合为； 【小问2详解】 ， 令，所以， 所以，， 即，，所以； 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 所以 ， 此时存在满足，，， 当且仅当时等号成立， 所以， 即，， 所以成立， 且， 则， ， 当时有最小值， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $