专题1.2（1） 一元二次方程的解法——直接开平方法和配方法（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.2（1） 一元二次方程的解法——直接开平方法和配方法（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】 【知识点1】直接开方法解一元二次方程 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 【知识点2】一元二次方程的解法---配方法 （1）配方法的概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； （2） 配方法的理论依据：完全平方公式； （3） 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　①把原方程化为的形式； 　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【知识点3】配方法的应用 （1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法配成完全平方，从而比较出大小. （2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 【题型目录】 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法.............................................2 【题型二】解一元二次方程——配方法...................................................2 【题型三】配方法的基本应用——求最值.................................................2 【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合）..................................2 【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合）........................................3 【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合）..........................................3 【题型七】解一元二次方程（配方法+转化思想+规律问题）.................................4 【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合）......................................4 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 ★【例题1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：． ★【变式1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：． ★【变式2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【题型二】解一元二次方程——配方法 ★【例题1】．（23-24九年级上·全国·课后作业）（二次项系数为1）用配方法解方程：． ★【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）（二次项系数不为1）用配方法解方程：． ★【变式2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型三】配方法的基本应用——求最值 ★【例题1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 ★【变式1】（23-24九年级上·江苏·期中）已知代数式的最小值为，则的值为 ． ★【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）设为实数，求代数式的最小值． 【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合） ★【例题1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： （1）（用直接开平方法） （2）（用配方法） ★【变式1】用指定方法解下列一元二次方程． （1） （直接开平方法） （2） （配方法） ★【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期中）解方程 （1） （2）（用配方法） 【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合） ★★【例题1】（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． ★★【变式1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 ★★【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． （1）的友好方程是___________； （2）互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； （3）如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合） ★★【例题1】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    ★★【变式1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是 ． ★★【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为 ． 【题型七】解一元二次方程（配方法+转化思想+规律问题） ★★【例题1】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． ★★【变式1】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，若第n个图形需要黑色棋子的个数是440个，则n的值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 ★★【变式2】（21-22九年级·江苏南京·自主招生）已知，，则 ． 【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合） ★★【例题1】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， （1）模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； （2）若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． ★★【变式1】（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为 ． ★★【变式2】（2023·江苏盐城·二模）若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图像的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点、，若一次函数图像上的“零点”为点C，则当为等腰三角形时，k的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2（1） 一元二次方程的解法——直接开平方法和配方法（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】 【知识点1】直接开方法解一元二次方程 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 【知识点2】一元二次方程的解法---配方法 （1）配方法的概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； （2） 配方法的理论依据：完全平方公式； （3） 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　①把原方程化为的形式； 　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【知识点3】配方法的应用 （1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法配成完全平方，从而比较出大小. （2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 【题型目录】 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法.............................................2 【题型二】解一元二次方程——配方法...................................................3 【题型三】配方法的基本应用——求最值.................................................4 【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合）..................................5 【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合）........................................8 【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合）.........................................10 【题型七】解一元二次方程（配方法+转化思想+规律问题）................................14 【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合）.....................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 ★【例题1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解知识点，解题的关键是利用直接开平方法将方程转化为两个一元一次方程． 先对原方程进行移项，得到完全平方式等于一个常数的形式，再利用直接开平方法求解． 解：， 移项，得， ， ，． ★【变式1】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可． 解：， 开方得， ∴或， ∴，． ★【变式2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了偶次方的非负性，根据平方根的定义即可判断，利用偶次方的非负性是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴这个一元二次方程没实数根， 故选：C． 【题型二】解一元二次方程——配方法 ★【例题1】．（23-24九年级上·全国·课后作业）（二次项系数为1）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】把方程化为，开方化为一元一次方程，求解； 解：移项得， 配方得，即， 开方得． ∴，． 【点拨】本题考查配方法求解一元二次方程；掌握配方的步骤是解题的关键． ★【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）（二次项系数不为1）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】将一元二次方程化成的形式，再用直接开平方法，即可求解． 解：， ， ， ， 则，． ★【变式2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 【题型三】配方法的基本应用——求最值 ★【例题1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据，可以得到，然后可以得到，进而得到，再设，即可得到，然后即可写出的最大值，从而可以得到的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最大值． 解：， ， ， ， 设，则， 则， 的最大值为， 即的最大值为， 故选：B． ★【变式1】（23-24九年级上·江苏·期中）已知代数式的最小值为，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法及一元二次方程的求解．将代数式配方成，即可求解． 解：∵ ∴的最小值为， ∴ 整理得： 解得： 故答案为： ★【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）设为实数，求代数式的最小值． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式和平方式的非负性求解即可． 解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为1． 【点拨】本题考查配方法的应用、平方式的非负性，熟记完全平方公式，重新组合利用公式求解是解答的关键． 【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合） ★★【例题1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： （1）（用直接开平方法） （2）（用配方法） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； 解：（1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． ★★【变式1】用指定方法解下列一元二次方程． （1） （直接开平方法） （2） （配方法） 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； 解：（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． ★★【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·期中）解方程 （1） （2）（用配方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． （1）先移项，再将系数化为1，最后根据直接开平方法求解即可； （2）先移项，再将系数化为1，最后根据配方法求解即可． 解：（1）解：， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合） ★★【例题1】（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 解：当时， ， ∴， 当时， ， 解得（舍去）或． 综上所述，x的值为或19． 故答案为：或19． ★★【变式1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关键．分和两种情况，分别计算即可． 解：当，即时， ， 解得， 当，即时， ， 解得， 综上，的值为或， 故选：A． ★★【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． （1）的友好方程是___________； （2）互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； （3）如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【答案】（1）；（2）1或；（3） 【分析】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友好方程”的定义． （1）直接根据新定义求解即可； （2）设这个公共根为，可得，有，可解得或； （3）由的两个根为，知，故，，即可得的两根为． 解：（1）解：根据定义的友好方程是； 故答案为：； （2）设这个公共根为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）∵的两个根为， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴的两根为． 【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合） ★★【例题1】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【分析】如图，连接，，由全等三角形判定（）可以证得，得到，进而得到，再根据题意及勾股定理求出的值，即可得出答案． 解：如图，连接，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 又，为矩形的对角线， ， 是直角三角形，，， ， 移项得， 配方得， ， 解得，或 ， ， ， 故答案为：17．    【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键． ★★【变式1】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是 ． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理可得，，然后得到，，结合证明出平行四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，设，表示出，然后根据矩形的面积公式表示出四边形的面积，然后根据配方法结合平方的非负性求解即可． 解：如图， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ，且， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 ∵，，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积． ∵ ∴ ∴四边形的最大面积是4． 故答案为：4． 【点拨】此题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理，配方法的应用等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． ★★【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为 ． 【答案】 【分析】连接、．首先证明，设，则，，，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用配方法解决最值问题． 解：连接、．    四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设， 则，， ， ， 当时，则，此时有最小值， 即时，， ∴有最小值，最小值为， 故答案为：． 【题型七】解一元二次方程（配方法+转化思想+规律问题） ★★【例题1】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的运算、解一元二次方程，熟练掌握分式的运算法则和配方法解一元二次方程是解题的关键．根据题意，用分别表示出至，再由得出关于的方程，解方程求出的值即可． 解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 配方得：， 解得：，， 经检验：，都是分式方程的解， 的值为或． 故答案为：或． ★★【变式1】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，若第n个图形需要黑色棋子的个数是440个，则n的值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形变化规律，得出棋子数量与边数的关系是解题关键，结合前四个图形，得出图形与棋子个数的关系，求出n即可． 解：结合图形，第1个图形是， 第2个图形是，第3个图形是， 按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是． ∵第n个图形需要黑色棋子的个数是440个， ， 解得：（不合题意舍去）． 故选：B． ★★【变式2】（21-22九年级·江苏南京·自主招生）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的化简求值．由条件得出，，再将方程去分母合并整理得，然后两边同时除以得，再利用配方法求得方程的解，注意舍去不合题意的解． 解：∵，∴，， ∵， ∴，即， ∴， 两边同时除以得，即， 配方得，即， 解得或， ∴或（舍去）， 故答案为：． 【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合） ★★【例题1】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， （1）模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； （2）若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质． （1）根据题意把方程进行配方即可求解； （2）先根据配方法求出、，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． 解：（1）解： 即， ， 解得：，； （2） 即 ， 解得， 将，代入一次函数，得， 令，则；令，则，解得； 该函数与轴的交点为，于轴的交点为 一次函数的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为． ★★【变式1】（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解． 解：∵点在一次函数图象上， ∴ ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． ★★【变式2】（2023·江苏盐城·二模）若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图像的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点、，若一次函数图像上的“零点”为点C，则当为等腰三角形时，k的值为 ． 【答案】或或 【分析】设，分，，三种情况，根据两点间距离公式、等腰三角形的性质分别列式求解即可． 解：、， ， 一次函数图像上的“零点”为点C， 设， 为等腰三角形时有下列三种情况： 当为腰，且点A为顶点时，， ，， ， 解得，， 当时，点C的坐标为， ， 解得， 当时，点C的坐标为， ， 解得； 当为腰，且点B为顶点时，， ，， ， 解得，， 当时，点C的坐标为， 不在一次函数图像上，故不合题意，舍去； 当时，点C的坐标为， 此时点A与点C重合，故不合题意，舍去； 当为底边，点C为顶点时，， 此时点C在线段的垂直平分线上， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， ， 解得， 综上可知，k的值为或或． 故答案为：或或． 【点拨】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方程等，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，注意分情况讨论，避免漏解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$