专题1.4（1） 用一元二次方程解决问题（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.4（1） 用一元二次方程解决问题（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2. 会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力； 3. 能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 二、【知识梳理】 【知识点1】列方程解应用题的一般步骤： 审：认真审题，理解题意，找出题目中的等量关系，注意找关键词。 设：根据题目要求，选择合适的未知数，可直接设未知数，也可间接设未知数，注意要带单位。 列：依据等量关系，列出一元二次方程，要确保方程两边的单位一致。 解：运用适当的方法解一元二次方程，如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等。 检：一是检验方程的解是否正确，二是检验解是否符合实际意义，如实际问题中的人数、长度、面积等不能为负数或小数（根据具体情况）。 答：写出实际问题的答案，包括单位。 【知识点2】常见实际问题的数量关系： ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（起始量，是终止量，是平均增长率，增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数= 十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 三、【题型目录】 【题型一】传播问题...................................................................2 【题型二】增长率问题.................................................................2 【题型三】图形面积问题...............................................................3 【题型四】数字问题...................................................................4 【题型五】商品销售问题...............................................................4 【题型六】动点运动问题...............................................................5 【题型七】工程问题+行程问题..........................................................6 【题型八】握手+循环赛问题............................................................7 【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题.........................................7 【题型十】其他问题...................................................................7 四、【题型展示与方法点拨】 【题型一】传播问题 【例题1】（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【变式1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【题型二】增长率问题 【例题2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，则平均每年增产的百分率为 【题型三】图形面积问题 【例题3】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． （1）求此时花圃边的长； （2）花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【变式1】（2025·新疆喀什·模拟预测）在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 【题型四】数字问题 【例题4】（24-25九年级上·广东·开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ． 【题型五】商品销售问题 【例题5】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 【变式1】．（24-25九年级上·山东青岛·期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价 ． 【题型六】动点运动问题 【例题6】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：______，______．（用含t的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 【题型七】工程问题+行程问题 【例题7】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． （1）若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【变式2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 【题型八】握手+循环赛问题 【例题8】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： （1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； （2）求这次比赛共有多少个选手参加？ 【变式1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题 【例题9】（2025·上海·中考真题）解方程：． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）分式方程的根为（   ） A．或2 B．或1 C． D．2 【变式2】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 【题型十】其他问题 【例题10】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． （1）求每张电影票的原定零售票价； （2）为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 【变式1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4（1） 用一元二次方程解决问题（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2. 会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力； 3. 能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 二、【知识梳理】 【知识点1】列方程解应用题的一般步骤： 审：认真审题，理解题意，找出题目中的等量关系，注意找关键词。 设：根据题目要求，选择合适的未知数，可直接设未知数，也可间接设未知数，注意要带单位。 列：依据等量关系，列出一元二次方程，要确保方程两边的单位一致。 解：运用适当的方法解一元二次方程，如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等。 检：一是检验方程的解是否正确，二是检验解是否符合实际意义，如实际问题中的人数、长度、面积等不能为负数或小数（根据具体情况）。 答：写出实际问题的答案，包括单位。 【知识点2】常见实际问题的数量关系： ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（起始量，是终止量，是平均增长率，增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数= 十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 三、【题型目录】 【题型一】传播问题...................................................................2 【题型二】增长率问题.................................................................3 【题型三】图形面积问题...............................................................5 【题型四】数字问题...................................................................7 【题型五】商品销售问题...............................................................9 【题型六】动点运动问题..............................................................10 【题型七】工程问题+行程问题.........................................................13 【题型八】握手+循环赛问题...........................................................15 【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题........................................17 【题型十】其他问题..................................................................18 四、【题型展示与方法点拨】 【题型一】传播问题 【例题1】（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）第三轮将又有448人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 解：（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或（舍）． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 【变式1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 【题型二】增长率问题 【例题2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）平均每次降价的百分率为；（2）售货员的方案对顾客更优惠，理由见分析 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设平均每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据题意直接计算可得出答案． 解：（1）解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， ∴平均每次降价的百分率为； （2）解：售货员的方案对顾客更优惠，理由如下： ， ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握后利润与原利润和增长次数的关系，是解题的关键． 10月份的月利润300万元，11月份和12月份利润的平均增长率为，11月份和12月份的利润合计为800万元，列方程即可． 解：∵11月份和12月份利润的平均增长率为，10月份的利润300万元， ∴11月份的利润万元， ∴12月份的利润万元， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，则平均每年增产的百分率为 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，牢记年均增长率的计算公式是解题的关键． 根据年均增长率的计算公式，列方程即可． 解：设平均每年增产的百分率为x． 根据题意得： 解得 （不合题意，舍去） 即平均每年增产的百分率为， 故答案为： 【题型三】图形面积问题 【例题3】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． （1）求此时花圃边的长； （2）花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）花圃边的长为4米；（2）花圃的面积不能达到，理由见分析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 解：（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 【变式1】（2025·新疆喀什·模拟预测）在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：D． 【变式2】（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 故答案为： 【题型四】数字问题 【例题4】（24-25九年级上·广东·开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 【答案】这个两位数是68 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为，然后根据题意列出方程，解方程即可求出结果． 解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为， 根据题意，得：， 整理得， 解得，（舍去） ∴ 答：这个两位数是68． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 解：设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 【变式2】（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 解：设这个数为，则有 ， ， ， 解得． 故答案为：． 【题型五】商品销售问题 【例题5】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 【答案】（1）；（2）当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 解：（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 把点和代入，得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得． 解得，． ∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴． ∴不符合题意，舍去． 答：当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元． 【变式1】．（24-25九年级上·山东青岛·期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，明确题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 解：根据题意可得：， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价 ． 【答案】25元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用平均每天售出的件数每件盈利每天的利润列出方程解答即可． 解：设每件衬衫应降价元． 根据题意得：， 整理，得， 解得，， 题目要求尽快减少库存，而选择降价越多则销售量越大， 取， 即若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价25元． 故答案为：25元． 【题型六】动点运动问题 【例题6】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：______，______．（用含t的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）时，的长度等于；（3）存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 解：（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 解：由题意得，， ∴， 在中，，，，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 【答案】0.5或5 【分析】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为，分两种情况，当时，，，，利用求出t，求出的长，利用求解即可． 解：平行四边形的长宽之比为， 当时，， ∴， ∵点的速度为， ∴秒， 设Q的速度为， ∴，解得， 当， ∴， ∴秒， ∴， ∴， ∴Q点运动的速度或5cm/秒． 【题型七】工程问题+行程问题 【例题7】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． （1）若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】（1）B生产线至少加工6小时；（2）a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 解：（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 【答案】24 【分析】本题一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 【题型八】握手+循环赛问题 【例题8】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： （1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； （2）求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】（1）；（2）45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 解：（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 【变式1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了21场比赛”是解决本题的关键．设参加这次比赛的有x个班级，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故足球友谊赛的总场数为场，从而可建立方程解答． 解：设参加这次比赛的有x个班级，由题意得 ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程． 解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴参加此次“哈洽会”的公司有家， 故答案为：． 【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题 【例题9】（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）分式方程的根为（   ） A．或2 B．或1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查解分式方程，解一元二次方程，利用了转化的思想，熟练掌握知识点是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解：， ， ， ， ， ， 或， 解得：或， 经检验，当时，，则是增根； 当时，，则原分式方程的解为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的化简，根据题意可把原方程变成，根据分式的化简步骤一步步得到即可； 解：由题意得：， 两边同时乘以y得： 故答案为： 【题型十】其他问题 【例题10】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． （1）求每张电影票的原定零售票价； （2）为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 【答案】（1）每张零售电影票的原定价为元；（2）原定零售票价平均每次的下降率为 【分析】本题主要考查了分式方程和一元二次方程的实际应用， （1）设每张零售电影票的原定价为x元，根据“在原定零售票价基础上每张降价元，这样按原定票价需花费元购买的门票张数，现在只花费了元”列方程，即可求解； （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m，根据“原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元”列方程求解即可． 解：（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得， ， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， 故每张零售电影票的原定价为元． （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 即原定零售票价平均每次的下降率为． 【变式1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用勾股定理，关系是解答本题的关键． 根据题中所给的条件可知，竿的长度为x尺，门高为尺，门宽为尺，运用勾股定理即可列出关于x的一元二次方程． 解：∵设门对角线长为x尺， ∴竿的长度为x尺，门高为尺，门宽为尺， 根据题意得：， 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$