2025年中考数学复习训练　 翻折综合探究

中考特色专题 翻折综合探究 正方形翻折问题 1.(2025·江苏省南通市·模拟题)如图，在正方形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点，连接并延长交于点． 依题意补全图形，并证明； 判断是否为线段的中点，说明理由； 用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2.(2024·江苏省南通市·模拟题)如图，正方形中，点在边上不与端点，重合，点关于直线的对称点为点，连接，设． 求的大小； 过点作，垂足为，连接． 求证：； 连接，若，求的值． 3.(2025·浙江省杭州市·其他类型)正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点． 当时，求的度数用含的式子表示； 点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； 若，求的值． 4.(2024·江苏省南通市·模拟题)如图，正方形中，点在边上不与端点，重合，点关于直线的对称点为点，连接，设． 求的大小； 过点作，垂足为，连接． 求证：； 连接，若，求的值． 5.(2024·江苏省南通市·模拟题)如图，是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．    补全图形，求的大小； 用等式表示线段之间的数量关系，并证明； 连接，是的中点，，若点从点运动到点，直接写出的最大值． 矩形翻折问题 6.(2024·江苏省南通市·模拟题)在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想操作：如图，在，上分别取一点，，将沿直线翻折，得到． 猜想：当时，．    请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 如图，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当时，点恰好落在矩形的对角线上．请求出图中线段的长度； 【拓广延伸】 丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当时，过点作交射线于点，若，则的长是多少？请解答这个问题． 7.(2024·江苏省南通市·模拟题)问题情境：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平，也为折痕；点为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点落在原矩形所在平面的点处． 问题解决： 如图，若点在线段上，延长交于点，求证：为等边三角形； 如图，若点在线段上，求的值； 矩形中，，，直线交的延长线于点若，求线段的长． 8.(2025·江苏省徐州市·其他类型)问题情境 如图，折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平；继续沿过点的直线折叠，点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平，的对应边交于点． 初步探究 四边形的形状是_______； 深入探究 用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； 拓展延伸 设交于点，，求的面积． 9.(2023·江苏省南通市·模拟题)如图，矩形中，，， 点是边上一点，将沿直线翻折，得到． 如图，当平分时，求的长； 如图，连接，当时，求的面积； 点为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长． 菱形翻折问题 10.(2024·江苏省南通市·模拟题)如图，菱形中，，，点是线段上一点不含端点，将沿翻折，的对应边与相交于点． 当时，求的长； 若是等腰三角形，求的长； 若，求的取值范围． 1.【答案】【小题】 解：补图如答图， 由折叠可知，，， ． ， ． ． ， ． ． 即； 【小题】 解：是线段的中点． 证明：如答图，连接交于点． ，两点关于对称， 垂直平分． ． ， 是的中位线． ． 即． 又， 四边形是平行四边形． ． ，， ． 是线段的中点． 【小题】 解：． 证明：如答图，过点作，交于点． 设正方形的边长为，， 则，． 在中，由勾股定理，得， ． 解得． ． ，， ． ． 即．   【解析】  补图，由折叠知，，，由中点和正方形性质得，，即得；     连接交于点根据轴对称，得，得，可得四边形是平行四边形，得，即得是线段的中点；   过点作，交于点，设正方形的边长为，，则，，根据，得，，即得． 2.【答案】【详解】解：如图，连接， 点关于直线的对称点为点， ，， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ； 证明：如图，连接，， 四边形是正方形， ，， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， 由知， ， ； 解：如图，连接，， 四边形是正方形， ，， 由知：， ，， ， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点关于直线的对称点为点， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ，  ；   【解析】【分析】连接，根据点关于直线的对称点为点，得到，，从而得到，即可求出，，根据正方形得到，即可得到答案； 连接，，根据正方形性质得到，，根据得到，从而得到点，点，点，点四点共圆，即可得到证明；连接，，根据四边形是正方形得到，，结合可得和均为等腰直角三角形，易得，从而得到，结合三角函数即可得到答案； 本题主要考查正方形的性质与折叠，三角形全等的判定与性质，三角函数的应用，解题的关键是作辅助线根据性质找到相等关系量． 3.【答案】【详解】如图中，设交于点．  四边形是正方形， ，， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，是定值． 理由：如图中，连接，．  四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 同法可证，， ， ， ， ， ， ， ； 如图中，当时， ， ， ， ， ， ， ．   【解析】【分析】根据翻变换的性质可以得到，加上对顶角相等得到的，从而得到∽，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到，加上对顶角相等得到的证明出：∽，最终得到对应角相等得出结果． 如图中，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论； 证明是等边三角形，可得结论． 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 4.【答案】【详解】解：如图，连接， 点关于直线的对称点为点， ，， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ； 证明：如图，连接，， 四边形是正方形， ，， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， 由知， ， ； 解：如图，连接，， 四边形是正方形， ，， 由知：， ，， ， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点关于直线的对称点为点， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ，  ；   【解析】【分析】连接，根据点关于直线的对称点为点，得到，，从而得到，即可求出，，根据正方形得到，即可得到答案； 连接，，根据正方形性质得到，，根据得到，从而得到点，点，点，点四点共圆，即可得到证明；连接，，根据四边形是正方形得到，，结合可得和均为等腰直角三角形，易得，从而得到，结合三角函数即可得到答案； 本题主要考查正方形的性质与折叠，三角形全等的判定与性质，三角函数的应用，解题的关键是作辅助线根据性质找到相等关系量． 5.【答案】【详解】解：补全图形如图，    线段与关于直线对称， ，， ， ， ， 为； 解：，证明如下： 如图，连接，，连接交于，    由对称的性质可得，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， 又， ， ，解得， ； 解：如图，连接，，交点为，    由正方形的性质可得，，为的中点， ，， 又是的中点， 是的中位线， ， 由题意知，在以为圆心，以为半径的的圆上运动， 在以为圆心，以为半径的的圆上运动，如图， 当三点共线时，最大， ， 最大值为．   【解析】【分析】补全图形如图，由线段与关于直线对称，可知，，则，，根据，计算求解即可； 如图，连接，，连接交于，由对称的性质可得，，，，则，，是等腰直角三角形，，，，由，证明，则，计算求解即可； 如图，连接，，交点为，则，，是的中位线，，由题意知，在以为圆心，以为半径的的圆上运动，则在以为圆心，以为半径的的圆上运动，如图，当三点共线时，最大，根据，计算求解即可． 本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，中位线，圆，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6.【答案】【详解】解：甲小组的猜想正确． 理由：四边形为矩形， ， ， 折叠， ， 又， ， ； 在中，，， ， 折叠， ，， 由可知， ，， ， ， ， 同理， ； 当点在下方时，如图，延长交于点， 同可证． ， ， ． ． ， 由可得， ． ， ． 设，则， ，， ， ， ， ， ； 当点在下方时，设交于点，如图． 同可得，． ． ， ， ， ； 综上或．   【解析】【分析】根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，根据平行线的判定得出得出； 根据勾股定理得出，根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，证明，得出，证明，同理证明，根据中位线的性质得出结果即可； 分两种情况进行讨论：当点在下方时，当点在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 7.【答案】【详解】解：四边形为矩形． ，， ， 由折叠得到， ， ， ， ， 由题意可知，， ， ， ， 又， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形． 解：设交于点，，则， 由折叠得： ， ， 由同理可证：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如图，设直线交边于点， ， ， ， 设，则， ， 同可得， ， 在中，， ， 解得：舍去，， ．   【解析】【分析】由矩形的性质得，，由折叠的性质得，由等腰三角形的判定及性质得，由平行线分线段成比例定理得，从而可得，由线段垂直平分线的性质定理得，即可得证； 设交于点，，则，由勾股定理得 ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由此可求，由正切的定义即可求解； 设直线交边于点，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，则，，由勾股定理即可求解． 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数等，掌握相关的判定方法及性质，利用辅助未知数用方程思想进行求解是解题的关键． 8.【答案】【解答】解：折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 故答案为：正方形； ． 证明：连接， 四边形是矩形， ． 由折叠知，，． 四边形是正方形， ． ． 在和中， ≌ ， ， ； ≌， ，． ． 正方形中，， ． 设，则． 由勾股定理得，，即， 解得， 即． 过点作于， ， ，． ， ， ． ．   【解析】【分析】由折叠的性质得出，由正方形的判定可得出结论； 连接，证明≌ ，得出，则可得出结论； 求出设，则由勾股定理求出，过点作于，求出，则可得出答案． 9.【答案】【详解】解：四边形是矩形， ， 折叠， ， 平分， ， ， ； 如图所示，延长交的延长线于点， 四边形是矩形， ， ， 折叠， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得：， ，， 设边上的高为，则， ， 的面积； 当点三点共线时，分两种情况： 当在的延长线上时， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ； 当在线段上时， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； 综上所述，的长为或．   【解析】【分析】根据折叠的性质以及平分，得出，根据勾股定理，含度角的直角三角形的性质，得出，即可求解； 延长交的延长线于点，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； 分两种情况，当在的延长线上时，证明，当在线段上时，分别讨论即可求解． 本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 10.【答案】【详解】菱形中，， 是等边三角形，，， ， 由折叠得 在中， ， 是等腰直角三角形， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时 由知，， 当时，如图， 综上，的长为或或； 过点作于，作于    由折叠得 又 点在上 的最大值为，当 即点与点重合时，的值最小为 的取值范围为   【解析】【分析】根据菱形的性质以及折叠的性质可得是等边三角形，，，，，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质可得，即可得的长； 分两种情况：当时，当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可； 过点作于，作于，根据三角形的面积公式可得，则，由得，由点在上可得的最大值为，当，即点与点重合时，的值最小为，可得，即可得的取值范围． 本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，分类思想的运用是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$