精品解析：山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高二下学期第四次质量检测（6月）数学试题

2023级高二第四次质量检测数学试题 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，，因此， 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可. 【详解】易知， 所以. 故选：A. 3. 已知函数，且，则实数的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可； 【详解】令，解得或由此解得， 故选：D 4. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的求导法则及复合函数的求导法则逐项求导即可. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 故选：C. 5. “”是“函数的定义域为R”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出“函数的定义域为R”时对应a的范围，记为集合B, 记集合,利用集合法进行判断. 【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立. i.时，对任意恒成立； ii. 时，只需，解得：； 所以. 记集合,. 因为A B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：B. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐个求导即可发现周期规律，根据规律计算即可得解. 【详解】因为，所以，，，， 由，则. 故选：D. 7. 已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A. （0，1）和（4，+∞） B. （0，2） C. （﹣∞，0）和（1，4） D. （0，3） 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数图象，求出f′（x）﹣f（x）＜0成立的x的范围即可． 【详解】根据导函数和函数的关系可判断两函数如图： 结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0， 所以， 故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减， 故选：A 8. 实数满足，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用其单调性判定即可. 【详解】设，则，令，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 由条件可知， 且，，，故有， 如下图所示，作出函数简图，可知，由， 故选：D 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定为“，” C. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 D. 若函数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】 对于A，利用两函数的定义域相同，对应关系相同时才是同一个函数判断；对于B，特称命题否定为全称命题，改量词否结论即可；对于C，利用充分条件和必要条件的定义判断；对于D，直接求函数的值即可 【详解】解：对于A， 和定义域都为，而，对应关系不相同，所以两个函数不是同一个函数，所以A错误； 对于B，“，”的否定为“，”，所以B正确； 对于C，由，得，因为当时，一定成立，而时，不一定有，所以“”是“”的必要不充分条件，所以C错误； 对于D，因为，所以，所以D正确， 故选：BD 10. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可. 【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增， 所以，故A对， 若，则，得，故B错， 若，则或，因，所以或，故C正确， 因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，若，其中，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B． 【详解】因为，所以， 令，解得或， 当时，或，所以单调递增区间为和； 当时，，所以单调递减区间为， 的图象如右图所示， 设，则，，故A错误； 又，所以， 即， 对照系数得，故选项C正确； ，故选项D正确； 因为，所以，解得，故选项B正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数在区间上的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】判定函数的单调性即可得出结果. 【详解】由和在区间上单调递增，可知在区间上单调递增，故. 故答案为： 13. 已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可. 【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为； 当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴. i.若，则二次函数的最小值为. 要使的值域为R，只需：，解得：. 所以； ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为. 要使的值域为R，只需：，解得：. 所以； 综上所述：实数t的取值范围是. 故答案为： 14. 已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝_______. 【答案】2. 【解析】 【分析】设A（x1，b），B（x2，b），则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，表示出x1，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a＝1，再求得b和a+b． 【详解】设A（x1，b），B（x2，b），可设x1＜x2， 则2x1+3＝ax2+lnx2＝b， ∴x1（ax2+lnx2﹣3）， ∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2， 令y＝（1a）xlnx， 则y′＝1•（x＞0）， 由|AB|的最小值为2， 可得2﹣a＞0， 函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， ∴x时，函数y取得极小值，且为最小值2， 即有（1a）•ln2，即得ln0 解得a＝1， 由x2＝1， 则b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1， 可得a+b＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了两函数图象间的距离最小值的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，是综合题． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 若函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的表达式； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，即，求出函数解析式即可. （2）有分段函数解析式，画出函数图像，根据函数图形的单调区间，列出参数的不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，因为函数是奇函数，故，满足条件； 当时，， 由是奇函数，得， 所以， 【小问2详解】 由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减区，要使在上不单调， 则，解得． 或，解得． 所以实数的取值范围是 16. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心. （1）若长为，把蒙古包的体积表示为的函数； （2）求蒙古包体积的最大值. 【答案】（1），其中. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用柱体和锥体体积公式求得的函数表达式. （2）利用导数求得体积的最大值. 【小问1详解】 正六边形的边长（0）， 底面积， 于， 其中. 【小问2详解】 ， ， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，. 综上，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为. 17. 已知函数，且． （1）求及的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）是奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，进而求出和；（2）定义法求解的奇偶性；（3）对参变分离得到，利用基本不等式求出的最小值，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 ，解得：． 所以， 故． 【小问2详解】 是奇函数． 证明如下：的定义域为， ， 所以是奇函数． 【小问3详解】 ，即， 整理得:， 两边同乘以，得， 当时，，所以上式等价于． 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是． 18. 已知函数的图像在点处的切线为． （1）求函数的解析式； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据求出即可得解； （2）作差构造函数，利用导数可证不等式成立； （3）参变分离后，构造函数，利用导数求出函数的最值即可得解. 【详解】（1）， 由已知得，解得，故. （2）令，由得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴，从而. （3）对任意的恒成立对任意的恒成立. 令， ∴ 由（2）可知当时，恒成立 令，得；得. ∴的增区间为，减区间为，∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2）分类讨论，答案见解析. （3）1 【解析】 【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得； （2）求导，分，讨论可得； （3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得. 【小问1详解】 的定义域为， 当 时，， 令，解得 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 所以在时取得极大值为，无极小值． 【小问2详解】 因为 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 因为对任意，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 设，则． 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即． 当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 因为，所以， 故整数的最小值为1． 【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二第四次质量检测数学试题 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，且，则实数的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数的定义域为R”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数f（x）与其导函数f'（x）图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A. （0，1）和（4，+∞） B. （0，2） C. （﹣∞，0）和（1，4） D. （0，3） 8. 实数满足，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定为“，” C. 已知，则“”是“”充分不必要条件 D. 若函数，则 10. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 11. 已知函数，若，其中，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数在区间上的最小值是______． 13. 已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________． 14. 已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝_______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 若函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数表达式； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 16. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心. （1）若长为，把蒙古包的体积表示为的函数； （2）求蒙古包体积的最大值. 17. 已知函数，且． （1）求及的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围． 18. 已知函数图像在点处的切线为． （1）求函数的解析式； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $