精品解析：青海西宁二中教育集团2025-2026学年第二学期高一数学期中考试试卷

西宁二中教育集团2025-2026学年第二学期 高一年级数学学科期中考试卷 一、单选题（共8小题，每题5分） 1. 已知，，是虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 2. 下列命题中正确的是（ ）。 A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； 若，则，成立，但不一定成立，故B错误； 若，则四点可能共线，故C错误； 由相等向量的定义可知，D正确. 3. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 解得， 又因为，所以 4. 直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（ ） A. 7个部分 B. 14个部分 C. 6个部分 D. 12个部分 【答案】B 【解析】 【分析】首先由三角形三条边所在直线将平面所分成的部分，再想象空间的部分. 【详解】如图，将一个三角形各边延伸可将平面分为7个部分，则直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成个部分. 5. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，. 所以. 因为，所以. 由投影向量公式可得在上的投影向量 所以在上的投影向量为. 6. 在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示： 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 7. 已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B. 圆台的侧面积是 C. 若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D. 圆台的体积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆台的高，利用圆台的结构特征求解判断A；求出圆台侧面积判断B；求出圆台外接球半径求解判断C；求出圆台体积判断D. 【详解】由圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，得圆台的高为：， 对于A，圆台的轴截面是底角为的等腰梯形，A错误； 对于B，圆台的侧面积为，B错误； 对于C，依题意，球心在两底面圆的圆心确定的直线上，设球心到上底面的距离为，球半径为， 则，解得，该球的表面积为，C错误； 对于D，圆台体积为 ， D正确. 8. 在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. ，则为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的三角形有两个 D. 若的面积为，则 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理判断A；由题意可得或，从而得为等腰三角形或直角三角形，即可判断B；由题意可得，即可判断C；由余弦定理及面积公式，求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，故A正确； 对于B，因为，所以 或 ， 由于,所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为，故三角形有两个，故C正确； 对于D，因为， 又因为，所以，所以，又因为，所以，故D正确. 二、多选题（共3小题，每题6分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种 B. 若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 D. 若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线，则这两条直线可能相交，也可能异面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间中两直线的位置关系逐项验证即可求解. 【详解】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在长方体中， 当所在直线为，所在直线为时，与相交， 当所在直线为，所在直线为时，与异面， 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线， 则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确. 10. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，的虚部为，A错； 对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错； 对于C选项，的共轭复数为，C对； 对于D选项，因为，， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对. 故选：CD. 11. 已知 P，Q是单位圆O上不同的两点，且向量与的夹角为，则正确的有（ ） A. 为单位向量 B. 为单位向量 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由已知得， 所以，故A错误； 由 ，故，故 B正确； 由，故C正确； 由已知得，故 D 正确. 三、填空题（共3小题，每题5分） 12. 若点，，，且，，三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使， 即：，解得：，所以. 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 14. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里． 【答案】 【解析】 【分析】先作示意图，求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求即可. 【详解】如图所示，，， ，． 在中，由，又海里， 所以，解得（海里）， 在中，由余弦定理可得， 又海里， 则（海里）． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用三角形的面积公式求解. （2）（方法一）联立方程组计算出的值，利用余弦定理求出，从而求出的周长.（方法二）由余弦定理及，求出，从而求出的周长. 【小问1详解】 因为 ，所以. 因为，所以的面积为. 【小问2详解】 （方法一）由，得或， 由余弦定理，得 ， 解得. 故的周长为. （方法二）由余弦定理 ， 得 ， 解得. 故的周长为. 16. 如图，在菱形中，，． （1）若，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算，将  用基底  表示，对比系数求出  的值即可求解； （2）将  和  均用基底  表示，结合菱形性质及数量积运算律求解． 【小问1详解】 由题意，在菱形中，，因为，所以为的中点， 则，因为，所以， 因此， 又因为 ，且  不共线， 所以 ， 故 ． 【小问2详解】 因为四边形  为菱形，且  ， 所以  ，且  ， 由向量加法法则可知 ． 由（1）知 ， 所以 . 17. 如图，在圆锥中，过高上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的另一个底面的圆心与重合，称该圆柱为圆锥的内接圆柱． （1）若底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为，高为的内接圆柱． ①求与的关系式； ②求内接圆柱侧面积的最大值． （2）若圆锥的高为 ，底面直径为，一只蚂蚁从底面圆周上的点出发绕着圆锥侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1） ① ② （2） 【解析】 【分析】（1）①记与圆柱的上底面交于点，连接、，则 ，可得出，代入数据可得结果；②求出圆柱的侧面积，利用基本不等式求解. （2）求出母线长，并作出圆锥侧面展开图，利用两点间线段最短求解即得. 【小问1详解】 ①记与圆柱的上底面交于点，连接、，则 ，则， 即，整理可得 ，所以与的关系式为 . ②已知，当且仅当 ， 即时取等号，则， 因此圆柱的侧面积 ， 即时，圆柱的侧面积取最大值. 【小问2详解】 由高的长为 ，底面直径为， 得圆锥母线 ， 把圆锥的侧面沿母线剪开展开在平面内，得如图所示的扇形， 显然圆弧的长为，因此， 在中，，所以，因此， 所以蚂蚁爬行的最短距离是. 18. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求，再求，最后根据定义求解即可； （2）先求，再求，最后根据定义求解即可； （3）由题意可得，从而得，利用换元法及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由题意可得， 所以 所以, 所以 ， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 令， 则 ， 当且仅当时等号成立， 即的最小值. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若 是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得 则.由，得， 所以，则. 因为，所以. 【小问2详解】 （i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 故. （ii）由余弦定理，得 结合，得. 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ， 则. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中教育集团2025-2026学年第二学期 高一年级数学学科期中考试卷 一、单选题（共8小题，每题5分） 1. 已知，，是虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ）。 A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若，则 3. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（ ） A. 7个部分 B. 14个部分 C. 6个部分 D. 12个部分 5. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B. 圆台的侧面积是 C. 若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D. 圆台的体积为 8. 在中，内角所对的边为，下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. ，则为等腰三角形 C. 若，，，则符合条件的三角形有两个 D. 若的面积为，则 二、多选题（共3小题，每题6分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种 B. 若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 D. 若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线，则这两条直线可能相交，也可能异面 10. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 11. 已知 P，Q是单位圆O上不同的两点，且向量与的夹角为，则正确的有（ ） A. 为单位向量 B. 为单位向量 C. D. 三、填空题（共3小题，每题5分） 12. 若点，，，且，，三点共线，则______. 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 14. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 16. 如图，在菱形中，，． （1）若，求的值； （2）若，，求． 17. 如图，在圆锥中，过高上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的另一个底面的圆心与重合，称该圆柱为圆锥的内接圆柱． （1）若底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为，高为的内接圆柱． ①求与的关系式； ②求内接圆柱侧面积的最大值． （2）若圆锥的高为 ，底面直径为，一只蚂蚁从底面圆周上的点出发绕着圆锥侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 18. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若 是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $