精品解析：江苏省连云港市灌云县等2地2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

2024-2025学年高二第二学期第二次阶段检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题中只有一个是符合题目要求） 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. -2 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的四则运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，整理出复数代数形式的标准形式，得到答案. 【详解】. 故选：B． 【点睛】本题考查复数的基本概念和复数的四则运算，属于基础题. 2. 在的展开式中常数项是（ ） A. 1120 B. 160 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理得到通项公式，从而确定常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 故常数项为. 故选：D 3. 已知事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的乘法公式及条件概率公式计算即可. 【详解】由条件概率公式知：， 则. 故选：D. 4. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 用电量/度 24 34 38 64 若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（ ） A. 68度 B. 52度 C. 12度 D. 28度 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定数据，求出样本的中心点，进而求出预测值. 【详解】由表格知 根据经验回归直线必过，得， 因此经验回归方程为，当时，． 所以当气温为时，预测用电量约为68度. 故选：A 5. 甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们两人至多一次击中靶的概率是（   ） A. 0.56 B. 0.44 C. 0.5 D. 0.06 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件及独立事件乘法公式计算即可. 【详解】他们两人至多一次击中靶的对立事件为他们两人都击中靶， 所以他们两人至多一次击中靶的概率是. 故选：B 6. 已知盒中有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中6个白球和4黑球.从盒中一次随机地取出2个球，其中至少有1个白球的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】依题意，至少有1个白球的概率为. 故选：C 7. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 59 B. 60 C. 61 D. 62 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出2×2列联表，即可由卡方公式求解即可. 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 2k 没接种 k 合计 3k 则的观测值为：， 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关， 于是，即，即， ∴，∴. 故选：D． 8. 2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 132 B. 144 C. 150 D. 168 【答案】C 【解析】 【分析】分学生甲、乙选的景点没有其他人选与有其他人选两大类，采用先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】若学生甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙）， 当为时，则有种选法； 当为（其中为甲、乙）时，则有种选法； 若学生甲、乙选的景点有其他人选，则分组方式为或（其中为甲、乙与另一学生）， 当为时，则有种选法； 当为（其中为甲、乙与另一学生）时，则有种选法； 综上可得一共有种不同的选法. 故选：C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若事件互斥，则 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法可判断A；根据相关系数r的概念可判断B；根据二项分布期望公式计算可判断C；根据随机变量分布列概率之和为1，列式计算即可判断D. 【详解】对于A，若事件互斥，则，故A正确； 对于B，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故B错误； 对于C，用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率， 则随机变量服从， 所以，解得，故C正确； 对于D，因为， 即，解得，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，在正方体中，，为正方形的中心，为棱的中点，点在线段上（不包含端点）运动，点在正方形内（包括边界）运动，且平面，下列说法正确的有（ ） A. 与一定异面 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 与不可能垂直 【答案】BC 【解析】 【分析】取为的中点，结合中位线的性质可判断A选项；将、延展为同一个平面，可知当、、三点共线时，取最小值，结合平面几何相关知识可判断B选项；取、的中点、，求出点的轨迹为线段，可得出面积的最小值，结合锥体的体积公式可判断C选项；取为的中点，利用等腰三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、，则为的中点， 当为的中点时，由于四边形为正方形，则也为的中点， 此时，，A错； 对于B选项，易知是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形， 且， 将、延展为同一个平面，如下图所示： 当、、三点共线时，取最小值， 在和中，，，， 所以，，所以，， 因为，，则为的中点，且， 则，， 所以，的最小值为，B对； 对于C选项，分别取、的中点、，连接、、、， 因为，，、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 又因为，，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，，则四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，故平面平面， 当点时，平面，则平面， 所以，点的轨迹为线段， 当点与点重合时，点到直线的距离取最小值， 此时，的面积取最小值，且最小值为， 则，即三棱锥体积的最小值为，C对； 对于D选项，因为，同理可得，即， 当点为线段的中点时，， 又因为，此时，，D错. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状； （2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解. 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B. C. 记第10行的第个数为，则 D. 记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用的展开式的二项式系数计算，对于B，利用性质计算即可；对于CD，代入，利用二项式定理计算即可. 【详解】对于A，第2024行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1012个数为，第1014个数为，由于，故A正确； 对于B，由可得 ，故B不正确； 对于C，第行的第个数为， 因为 ， 所以 ，故C正确； 对于D，第行的第个数为， 则，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则__________． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性及已知概率得出概率. 【详解】随机变量X服从正态分布，且， 则. 故答案为：. 13. 有三个袋子，1号袋子中装有2个红球、1个黑球，2号袋子中装有3个红球、1个黑球，3号袋子中装有2个红球、2个黑球.现从中随机取一个袋子，再在该袋子中随机取出一个球，则取得的球是黑球的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算机可得出答案. 【详解】记事件为取到第号袋子，事件为取到黑球，所以 . 故答案为：. 14. 已知中，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为，则，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥中，平面，设与面所成角为， 又的最大值是，所以，解得， 即PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为， 如下图，直角三角形△ABQ中，所以，又， 所以重合，则，则的外接圆圆心M为AB的中点， 又平面，从而外接球的球心O为PB的中点， 外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）或； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用等差数列通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； （2）根据裂项相消计算求和结合不等式的性质证明. 【小问1详解】 由，，得，解得， 由，，所以，所以或， 当时，此时； 当时，此时； 综上可得数列的通项公式为或； 【小问2详解】 因为，所以，， 则， 所以 所以 16. 已知甲盒中有1个红球，2个蓝球，乙盒中有5个红球，4个蓝球，这些球除了颜色外完全相同. （1）从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，求这3次中取出2次红球的概率； （2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）先求每次从甲盒中取出红球的概率，然后利用独立重复试验的概率即可求解； （2）确定随机变量的所有可能取值，求出每个值对应的概率，可得分布列，即可求得数学期望. 【小问1详解】 设“每次从甲盒中取出红球”，“这3次中取出2次红球”. 则，. 【小问2详解】 所有可能的取值为0，1，2，3 ，， ， 0 1 2 3 . 17. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 解法一：， 在中，，即， ，， ，又， 底面，底面， ，平面且相交于， 平面，又平面， 平面平面. 解法二：. 如图，建立空间直角坐标系，，， 则，， 设是平面的法向量，则，可取， 设是平面的法向量，则，可取， 所以，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）法一，先证明，再证明平面，利用面面垂直的判定定理得证；法二，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面和平面的法向量证明； （2）法一，过作分别平行于，连结，作交于点，连结，证明，说明为平面与平面的夹角，求解得答案；法二，建系求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 解法一：在直角梯形中，因为，解得， 过作分别平行于，连结，作交于点，连结， ，且都在面内， 平面， 平面，又平面， ，又，平面且交于， 平面，又平面， ， 为平面与平面的夹角或其补角， 在中，，, ，由等面积法解得，又， . 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）解法二：在直角梯形中，解得， 如图，建立空间直角坐标系，，， 平面的法向量为，又， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，， 设平面与平面夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线经过的点以及渐近线方程即可联立方程求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，根据两点距离公式以及弦长公式可求解，即可代入化简求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故双曲线方程为 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率存在，设直线方程为， 联立可得， 由韦达定理可得， 由于，化简得， 故， , 故， 故，平方可得， 解得或， 由于与的两支分别交于，两点，故， 当时，代入不符合，故舍去， 将其代入，经检验符合， 综上可得 【点睛】关键点点睛：利用两点斜率公式以及弦长公式求解. 19. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】（1）是函数的一个1度点；不是函数的1度点 （2）证明如下： 设，， 则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当（*）． 设，则当时，，故在区间上严格增． 因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点． （3）或 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求； （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕； （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【小问1详解】 设，则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点， 该切线过点，故， 令，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，也时最小值，且， 故无解，点不是函数的一个1度点 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 对任意，曲线在点处的切线方程为． 故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解． 设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点． 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求． 若，因为， 由或时得严格增；而当时，得严格减． 故在时取得极大值，在时取得极小值． 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求． 故两个不同的零点当且仅当或． 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或． 综上，的全体2度点构成的集合为或． 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二第二学期第二次阶段检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题中只有一个是符合题目要求） 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. -2 C. D. 2 2. 在的展开式中常数项是（ ） A. 1120 B. 160 C. D. 3. 已知事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 用电量/度 24 34 38 64 若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（ ） A. 68度 B. 52度 C. 12度 D. 28度 5. 甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们两人至多一次击中靶的概率是（   ） A. 0.56 B. 0.44 C. 0.5 D. 0.06 6. 已知盒中有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中6个白球和4黑球.从盒中一次随机地取出2个球，其中至少有1个白球的概率为（   ） A. B. C. D. 7. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 59 B. 60 C. 61 D. 62 8. 2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 132 B. 144 C. 150 D. 168 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若事件互斥，则 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则 D. 已知随机变量的分布列为，则 10. 如图，在正方体中，，为正方形的中心，为棱的中点，点在线段上（不包含端点）运动，点在正方形内（包括边界）运动，且平面，下列说法正确的有（ ） A. 与一定异面 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 与不可能垂直 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B. C. 记第10行的第个数为，则 D. 记第行的第个数为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则__________． 13. 有三个袋子，1号袋子中装有2个红球、1个黑球，2号袋子中装有3个红球、1个黑球，3号袋子中装有2个红球、2个黑球.现从中随机取一个袋子，再在该袋子中随机取出一个球，则取得的球是黑球的概率是__________. 14. 已知中，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的体积为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 16. 已知甲盒中有1个红球，2个蓝球，乙盒中有5个红球，4个蓝球，这些球除了颜色外完全相同. （1）从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，求这3次中取出2次红球的概率； （2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望. 17. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率. 19. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $