2025年重庆市第一中学校中考数学三模试卷

2025年重庆一中中考数学三模试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 2．（4分）下面的气象图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列抽样调查中，选取样本合适的是（　　） A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学课程的喜欢情况进行调查 B．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学的防火意识进行调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末对商场的平均日营业额进行调查 D．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数的观众所看电影的评价情况进行调查 4．（4分）如图，若△ABC∽△ADE，且AB：AD＝1：2，则△ABC的面积与△ADE的面积之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：8 5．（4分）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（1，﹣6） B．（1，6） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3） 6．（4分）估算1的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 7．（4分）如图所示都是由同样大小的〇按一定的规律组成的，其中第1个图形中共有3个〇，第2个图形中有5个〇⋯⋯按此规律，第8个图形中〇的个数是（　　） A．15 B．17 C．19 D．21 8．（4分）如图，BC是⊙O的切线，切点为B，点A是⊙O上一点，连接OA，OC和AB，OC与AB交于点D，若CD＝CB，∠BAO＝20°，则∠OCB的度数为（　　） A．42° B．43° C．40° D．35° 9．（4分）如图，在正方形ABCD的边BC上有一点F，连接AF，交对角线BD于点E，过点E作HG⊥AF，分别交AB，CD于点G，H，若AG＝2BF，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，W＝A+B，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且W≤4．例如，当n＝2，a1＝0时，整式M：a2x2+a0，则A＝a2+a0，B＝2，W＝a2+a0+2．下列说法： ①当n＝0时，满足条件的整式M共有4个； ②当W＝3时，满足条件的所有整式M的和为3x+4； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为　 　 ． 12．（4分）如图，AB∥CD，CA⊥ED，若∠EAB＝50°，则∠ACD＝　 　 度． 13．（4分）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　 　 ． 14．（4分）若x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解，则2a3﹣7a2+4a的值为　 　 ． 15．（4分）如图，平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D在⊙O上，线段CF为直径，连接BD，与CF相交于点E，已知CF＝10，sin∠BCD，则BD＝　 　 ；延长CF交AD于点H，连接HB，若，则HB的长为　 　 ． 16．（4分）我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数．记.如1386满足13+86＝99，所以1386是“长久”数，；如2772，满足27+72＝99，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数A＝5000+400x+40+y（1≤x≤2，1≤y≤9且x，y均为整数）是“长久数”，则F（A）＝　 　 ；已知四位自然数B＝1000a+100b+400+10c+d（1≤a≤8，1≤b，c，d≤9且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为　 　 ． 三、解答题：（本大题9个小题，第17，18题各8分，其余每小题8分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC． （1）用尺规完成以下基本作图：作AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F，交AC于点O，连接AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）． （2）已知：在矩形ABCD中，EF为AC的垂直平分线，求证：四边形AECF为菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴①　 　 ∴∠BAC＝∠DCA ∵EF是AC的中垂线 ∴EF⊥AC且②　 　 ∴在△AOE和△COF中 ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴③　 　 又∵AO＝CO ∴四边形AECF是平行四边形 又∵④　 　 ∴平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 19．（10分）先化简，再求值：，其中． 20．（10分）为了了解学生对中国传统文化的掌握情况，某校举办了传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩进行收集、整理、描述、分析（成绩用x来表示，且均为整数，共分为四个等级：A.48≤x≤50；B.46≤x＜48；C.44≤x＜46；D.0≤x＜44），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在A组的数据是： 48，50，50，50，48，49，50，50，49，50，48，50 七八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 48 a 50 35% 八年级 48 49 b 45% 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有500名学生参加了此次传统文化知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的学生共多少人？ 21．（10分）列方程（组）或不等式（组）解决问题． 2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元． （1）若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？ （2）第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了元，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值． 22．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，对角线AC＝12，动点P沿A→B→C以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接PQ，BQ，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为y1，菱形ABCD的面积与△ABQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 23．（10分）如图，甲、乙两名外卖小哥同时从A餐厅出发，分别向B、C两个小区和F、E两个小区送餐，最后到达位于A餐厅正东方向的D餐厅再次取餐．甲外卖小哥沿A餐厅北偏东30°方向行驶一定距离到达B小区，再沿正东方向行驶4千米到达C小区，最后沿东南方向行驶一定距离到达D餐厅．乙外卖小哥沿A餐厅的正南方向行驶4千米后到达F小区，再沿南偏东30°方向行驶4千米后到达E小区，最后沿东北方向行驶一定距离到达D餐厅．（参考数据：） （1）求A、D两餐厅之间的距离；（结果保留根号） （2）甲，乙外卖小哥均到达D餐厅后，求乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了多少千米？（结果保留小数点后一位） 24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过点B（﹣1，0）和点C（3，0），与y轴交于点A，连接AB，AC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥AC于点H，点M为抛物线对称轴上一点，过点M作MN⊥y轴，垂足为N，连接PM，NC，当线段PH取最大值时，求P的坐标和PM+MN+NC的最小值； （3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新抛物线y′，点E为新抛物线与x轴的左交点，连接AE，点M是新抛物线上的一个动点，连接EM，当满足∠ACO+∠AEM+∠ABQ＝135°时，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点M的坐标，写出求解过程． 25．（10分）如图所示，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，点H是CD边上一点，将线段DH绕着D点逆时针旋转90°，得到线段DA，连接AC，AH，BH． （1）如图1，延长AH交BC于E，当点P在线段BC上时，连接PH，若HP为△BHE的角平分线，∠ABH＝α，求∠CHP的度数（用α的代数式表示）； （2）如图2，当点P在线段AB上时，连接PH，PC，若HP为△BHD的角平分线，∠BPC＝∠CHB，求证：； （3）如图3，点P为△ABC内一点，连接PC，PD，且∠CPD＝60°，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，若，求MN的最小值． 2025年重庆一中中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B A B B C A B 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【答案】A 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣2025的相反数是2025． 故选：A． 2．（4分）下面的气象图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义对选项分析判断可知： A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意． 故选：B． 3．（4分）下列抽样调查中，选取样本合适的是（　　） A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学课程的喜欢情况进行调查 B．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学的防火意识进行调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末对商场的平均日营业额进行调查 D．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数的观众所看电影的评价情况进行调查 【答案】D 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【解答】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学课程的喜欢情况进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误； B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学的防火意识进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误； D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确． 故选：D． 4．（4分）如图，若△ABC∽△ADE，且AB：AD＝1：2，则△ABC的面积与△ADE的面积之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：8 【答案】B 【分析】根据“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”求解． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴（）2＝（）2． 故选：B． 5．（4分）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（1，﹣6） B．（1，6） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3） 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，分别求解即可． 【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣6，则反比例函数的图象一定经过的点（1，﹣6），故此选项符合题意； B、当x＝1时，y＝﹣6，则反比例函数的图象一定不经过的点（1，6），故此选项不符合题意； C、当x＝﹣2时，y＝3，则反比例函数的图象一定不经过的点（﹣2，﹣3），故此选项不符合题意； D、当x＝2时，y＝﹣3，则反比例函数的图象一定不经过的点（2，3），故此选项不符合题意， 故选：A． 6．（4分）估算1的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】先将1化简为1，再进行估算即可得出答案． 【解答】解：1＝211， 因为， 所以12， 所以21＜3， 即21＜3， 故选：B． 7．（4分）如图所示都是由同样大小的〇按一定的规律组成的，其中第1个图形中共有3个〇，第2个图形中有5个〇⋯⋯按此规律，第8个图形中〇的个数是（　　） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【分析】由于图①〇有3个＝2×1+1，图②〇有5个＝2×2+1，图③〇有7＝2×3+1，第n个图形有的个数是2n+1把n＝8代入求出即可． 【解答】解：∵图①〇有3个＝2×1+1， 图②〇有5个＝2×2+1， 图③〇有7＝2×3+1， ∴第n个图形有的个数是2n+1， 当n＝8时，2×8+1＝17个， 故选：B． 8．（4分）如图，BC是⊙O的切线，切点为B，点A是⊙O上一点，连接OA，OC和AB，OC与AB交于点D，若CD＝CB，∠BAO＝20°，则∠OCB的度数为（　　） A．42° B．43° C．40° D．35° 【答案】C 【分析】连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BC，根据等腰三角形的性质求出∠OBA，进而求出∠CBD，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∵OA＝OB，∠BAO＝20°， ∴∠OBA＝∠BAO＝20°， ∴∠CBD＝90°﹣20°＝70°， ∵CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD＝70°， ∴∠OCB＝180°﹣70°×2＝40°， 故选：C． 9．（4分）如图，在正方形ABCD的边BC上有一点F，连接AF，交对角线BD于点E，过点E作HG⊥AF，分别交AB，CD于点G，H，若AG＝2BF，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点H作HM⊥AB，连接AH，利用全等三角形的判定和性质可得AG＝GE＝AF，再利用四点共圆得到△AHE为等腰直角三角形，即可得到，最后利用相似三角形的性质即可解答． 【解答】解：如图，过点H作 HM⊥AB，连接AH， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABF＝90°，AD＝AB＝BC， ∵HM⊥AB， ∴四边形ADHM为矩形， ∴AD＝MH＝AB， ∵AF⊥HG， ∴∠AGE+∠BAF＝∠AGE+∠MHG，即∠BAF＝∠MHG， ∴△ABF≌△HMG（AAS）， ∴MG＝BF， ∵AG＝2BF， ∴AM＝MG＝BF， ∴DH＝BF， ∵AD＝AB，∠ADH＝∠ABF＝90°， ∴AH＝AF＝HG， ∵∠ADH＝∠AEH＝90°， ∴A，D，H，E四点共圆， ∴∠ADE＝∠AHE＝45°， ∴△AHE为等腰直角三角形， ∴AE＝EH，， ∵BG∥DH， ∴△BGE∽△DHE， ∴， 故选：A． 10．（4分）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，W＝A+B，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且W≤4．例如，当n＝2，a1＝0时，整式M：a2x2+a0，则A＝a2+a0，B＝2，W＝a2+a0+2．下列说法： ①当n＝0时，满足条件的整式M共有4个； ②当W＝3时，满足条件的所有整式M的和为3x+4； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题侧重对题干中整式M、A、B、W定义的理解，同时需结合题干中的相关取值范围进行分类讨论，从而解出题目． 【解答】解：由题意可知：当n＝0时，整式M：a0，则A＝a0，B＝0，W＝a0+0＝a0． 又∵W≤4且W为正整数，∴M：a0＝1或2或3或4，∴说法①正确； 当W＝3时，即A+B＝3，且由题意可知A为正整数、B为自然数， ∴当A＝3，B＝0时，则n＝0，M＝a0，A＝a0＝3，故M＝3； 当A＝2，B＝1时，则n＝1，M＝a1x+a0，A＝a1+a0＝2， 当a1＝2、a0＝0时，M＝2x； a1＝1、a0＝1时，M＝x+1； 当A＝1，B＝2时，则n＝2，a1＝0，M＝a2x2+a0，A＝a2+a0＝1，则a2＝1、a0＝0，M＝x2； 故当W＝3时，满足条件的所有整式M的和为3+2x+（x+1）+x2＝x2+3x+4，∴说法②错误； 由题干中W≤4可得：A+B＝4或A+B＝3或A+B＝2或A+B＝1， 当A+B＝4时，A＝4，B＝0，则n＝0，M＝a0＝A＝4，共1种； A＝3，B＝1，则n＝1，M＝a1x+a0，A＝a1+a0＝3，则a1＝3、a0＝0，或a1＝2、a0＝1，或a1＝1、a0＝2，则M为3x或2x+1或x+2，共3种； A＝2，B＝2，则n＝2，a1＝0，M＝a2x2+a0，A＝a2+a0＝2，则a1＝2、a0＝0或a1＝1、a0＝1，则M为2x2或x2+1，共2种； A＝1，B＝3时，可分为： n＝2时，M＝a2x2+a1x+a0，A＝a2+a1+a0＝1，无解； n＝3时，a2＝0，a1＝0，M＝a3x3+a0，A＝a3+a0＝1，则a3＝1、a0＝0，此时M为x3，共1种； 当A+B＝3时，由说法②可得满足条件的所有整式M共4种； 当A+B＝2时， A＝2，B＝0，则n＝0，M＝a0＝A＝2，共1种； A＝1，B＝1，则n＝1，M＝a1x+a0，A＝a1+a0＝1，则a1＝1，a0＝0，M＝x，共1种； 当A+B＝1时，A＝1，B＝0，则n＝0，M＝a0＝A＝1，共1种； ∴满足条件的整式M共有14种，说法③错误； 综上，只有说法①正确，正确的个数是1个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】直接根据概率公式计算即可． 【解答】解：∵袋子中装有7个绿球和3个红球共10个球， ∴从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为． 故答案为：． 12．（4分）如图，AB∥CD，CA⊥ED，若∠EAB＝50°，则∠ACD＝　40　 度． 【答案】40． 【分析】由CA⊥ED得到∠EAC＝90°，则∠CAB＝90°﹣∠EAB＝40°，由平行线的性质推出∠ACD＝∠CAB＝40°． 【解答】解：∵CA⊥ED， ∴∠EAC＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠EAB＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB＝40°． 故答案为：40． 13．（4分）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　20%　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每月盈利的平均增长率是x， 根据题意得：5000（1+x）2＝7200， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴每月盈利的平均增长率是20%． 故答案为：20%． 14．（4分）若x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解，则2a3﹣7a2+4a的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】根据题意可得：a2﹣2a﹣1＝0，从而可得a2＝2a+1，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵x＝1是关于x的方程a2x2﹣2ax﹣1＝0的解， ∴a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2＝2a+1， ∴2a3﹣7a2+4a ＝2a（2a+1）﹣7（2a+1）+4a ＝4a2+2a﹣14a﹣7+4a ＝4a2﹣8a﹣7 ＝4（2a+1）﹣8a﹣7 ＝8a+4﹣8a﹣7 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 15．（4分）如图，平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D在⊙O上，线段CF为直径，连接BD，与CF相交于点E，已知CF＝10，sin∠BCD，则BD＝　　 ；延长CF交AD于点H，连接HB，若，则HB的长为　　 ． 【答案】． 【分析】过O作OP⊥BD于P，连接OD、OB，根据垂径定理和等腰三角形的性质，结合圆周角定理得到DP＝BP，∠BOP＝∠BOD，根据已知及正弦定义求得，进而可求得；过B作BQ⊥CD于Q，连接BF、DF，先利用圆周角定理和等腰三角形的性质求得∠BFC＝∠BDC＝∠BCF＝∠BDF＝45°，，∠BOF＝90°，利用锐角三角函数求得，然后利用平行四边形的性质推导出△DHC∽△FDB，利用相似三角形的性质求得HC＝12，进而在Rt△BOH中，利用勾股定理可求得． 【解答】解：过O作OP⊥BD于P，连接OD、OB，则DP＝BP，OD＝OB， ∴， ∵， ∴∠BOP＝∠BOD， ∵CF＝10，，线段CF为直径， ∴，， ∴， ∴， 过B作BQ⊥CD于Q，连接BF、DF， ∵BF＝BC，线段CF为直径， ∴，∠CBF＝90°， ∴∠BFC＝∠BDC＝∠BCF＝∠BDF＝45°，， ∴∠BOF＝90°， 在Rt△BCQ中，， 则， 在Rt△BQD中，则， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CHD＝∠BCF＝∠BDF， 又∵∠HCD＝∠DBF， ∴△DHC∽△FDB， ∴，即， ∴HC＝12， 在Rt△BOH中，OH＝HC﹣OC＝7，OB＝5， ∴， 故答案为：． 16．（4分）我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数．记.如1386满足13+86＝99，所以1386是“长久”数，；如2772，满足27+72＝99，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数A＝5000+400x+40+y（1≤x≤2，1≤y≤9且x，y均为整数）是“长久数”，则F（A）＝　59　 ；已知四位自然数B＝1000a+100b+400+10c+d（1≤a≤8，1≤b，c，d≤9且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为　7128　 ． 【答案】59；7128． 【分析】根据题意可得四位数A的千位数字为5，十位数字为4，当x＝1时，四位数A的百位数字为4，此时A不是“长久数”，则x＝2，进而可得58+40+y＝99，解得y＝1，则四位数A即为5841，；分当b≤5时，B的千位数字为a，百位数字为（b+4），十位数字为c，个位数字为d，当b≥6时，B的千位数字为（a+1），百位数字为b+4﹣10＝（b﹣6），十位数字为c，个位数字为d，两种情况求出对应的s、t，F（B），进而表示出，再根据是整数，且能被10整除推出b与c的关系式，据此讨论求解即可． 【解答】解：∵A＝5000+400x+40+y，1≤x≤2，1≤y≤9， ∴四位数A的千位数字为5，十位数字为4， 当x＝1时，四位数A的百位数字为4，此时A不是“长久数”， ∴x＝2， ∴四位数A的百位数字为8， ∵58+40+y＝99， ∴y＝1， ∴四位数A即为5841， ∴； 当b≤5时， ∵B＝1000a+100b+400+10c+d，且1≤a≤8，1≤b，c，d≤9， ∴B的千位数字为a，百位数字为（b+4），十位数字为c，个位数字为d， ∴s＝10a+c，t＝10（b+4）+d＝10b+d+40， ∴9（s+t）﹣90 ＝9（10a+c+10b+d+40）﹣90 ＝90a+90b+9c+9d﹣270 ＝90a+90b+9（10c+d）﹣81c﹣270， ∵10a+b+4+10c+d＝99， ∴10c+d＝95﹣10a﹣b， ∴9（s+t）﹣90＝90a+90b+855﹣90a﹣9b﹣8lc﹣270＝81b﹣8lc+585； ∵F（B） ＝10a+b+5， ∴， ∵能被10整除， ∴81b﹣8lc+585一定能被10整除， ∴81（b﹣c）+585一定能被10整除， ∴b﹣c＝5或b﹣c＝﹣5， 当b﹣c＝5时， ∵b≤5， ∴此时b＝5，c＝0，不符合题意； 当b﹣c＝﹣5时，则， ∵是整数， ∴18一定能被10a+b+5整除， ∴10a+b+5＝18， ∴a＝1，b＝3， ∴c＝8， ∴d＝2， ∴此时B为1782； 当b≥6时， ∵B＝1000a+100b+400+10c+d，且1≤a≤8，1≤b，c，d≤9， ∴B的千位数字为 （a+1），百位数字为b+4﹣10＝（b﹣6），十位数字为c，个位数字为d， ∴s＝10（a+1）+c＝10a+c+10，t＝10（b﹣6）+d＝10b+d﹣60， ∴9（s+t）﹣90 ＝9（10a+c+10+10b+d﹣60）﹣90 ＝90a+90b+9c+9d﹣540 ＝90a+90b+9（10c+d）﹣81c﹣540， ∵10（a+1）+b﹣6+10c+d＝99， ∴10c+d＝95﹣10a﹣b， ∴9（s+t）﹣90＝90a+90b+855﹣90a﹣9b﹣81c﹣540＝81b﹣81c+315； ∵F（B） ＝10a+b+5， ∴， ∵能被10整除， ∴81b﹣81c+315一定能被10整除， ∴81（b﹣c）+315一定能被10整除， ∴b﹣c＝5或b﹣c＝﹣5， 当b﹣c＝﹣5时， ∵b≥6， ∴c≥11，不符合题意； 当b﹣c＝5时，则， ∵是整数， ∴72一定能被10a+b+5整除， ∴10a+b+5＝72或10a+b+5＝36或10a+b+5＝24或10a+b+5＝18， 当10a+b+5＝72时，要满足B最大，则首先要满足a最大， ∴当a＝6时，b＝7， ∴c＝2， ∴d＝8， ∴此时B为7128； 当10a+b+5＝36或10a+b+5＝24或10a+b+5＝18时，此时a的值一定小于6， 综上所述，B的最大值即为7128； 故答案为：59；7128． 三、解答题：（本大题9个小题，第17，18题各8分，其余每小题8分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】10． 【分析】先求出不等式组的解集，再找出符合条件的整数解求和即可． 【解答】解：， 解不等式①得，x≥1， 解不等式②得，x≤4， ∴不等式组的解集为1≤x≤4， ∴不等式组的所有整数解为1，2，3，4， ∴不等式组的所有整数解和为1+2+3+4＝10． 18．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC． （1）用尺规完成以下基本作图：作AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F，交AC于点O，连接AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）． （2）已知：在矩形ABCD中，EF为AC的垂直平分线，求证：四边形AECF为菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴①　AB∥CD　 ∴∠BAC＝∠DCA ∵EF是AC的中垂线 ∴EF⊥AC且②　OA＝OC　 ∴在△AOE和△COF中 ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴③　AF＝CE　 又∵AO＝CO ∴四边形AECF是平行四边形 又∵④　AC⊥EF　 ∴平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【答案】（1）作图见解析； （2）AB∥CD；OA＝OC；AE＝CF；AC⊥EF． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）结合矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定填空即可． 【解答】（1）解：如图，直线EF即为所求． （2）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴①AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA ∵EF是AC的中垂线 ∴EF⊥AC且②OA＝OC， ∴在△AOE和△COF中 ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴③AE＝CF， 又∵AO＝CO ∴四边形AECF是平行四边形 又∵④AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：AB∥CD；OA＝OC；AE＝CF；AC⊥EF． 19．（10分）先化简，再求值：，其中． 【答案】a﹣2，﹣1． 【分析】根据多项式乘多项式、完全平方公式和多项式的除法计算，然后将a的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ＝a2﹣4a+3﹣a2+4a﹣4•（a﹣1）2 ＝a2﹣4a+3﹣a2+4a﹣4•（a﹣1）2 ＝a2﹣4a+3﹣a2+4a﹣4•（a﹣1）2 ＝a2﹣4a+3﹣a2+4a﹣4+a﹣1 ＝a﹣2， 当2﹣1＝1时，原式＝1﹣2＝﹣1． 20．（10分）为了了解学生对中国传统文化的掌握情况，某校举办了传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩进行收集、整理、描述、分析（成绩用x来表示，且均为整数，共分为四个等级：A.48≤x≤50；B.46≤x＜48；C.44≤x＜46；D.0≤x＜44），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在A组的数据是： 48，50，50，50，48，49，50，50，49，50，48，50 七八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 48 a 50 35% 八年级 48 49 b 45% 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：a＝　48　 ，b＝　50　 ，m＝　25　 ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有500名学生参加了此次传统文化知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的学生共多少人？ 【答案】（1）48，50，25； （2）八年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好，理由见解答．（答案不唯一）； （3）685人． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可求出a、b的值；用整体“1”分别减去其它三部分所占百分比可得m的值； （2）根据平均数、中位数、满分率的意义求解即可（答案不唯一）； （3）总人数乘样本中A等级人数所占比例即可． 【解答】解：（1）把七年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，故中位数a48， 八年级20名学生的竞赛成绩中50占45%，所以出现次数最多是50，故众数b＝50； m%＝1﹣5%﹣10%100%＝25%，即m＝25； 故答案为：48，50，25； （2）八年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好，理由如下： 虽然两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数和满分率均比七年级高，所以八年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好．（答案不唯一）； （3）600500685（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的学生共685人． 21．（10分）列方程（组）或不等式（组）解决问题． 2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元． （1）若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？ （2）第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了元，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值． 【答案】（1）购进酱香味卤鹅22只，麻辣味卤鹅18只； （2）m的值为2． 【分析】（1）设购进酱香味卤鹅x只，麻辣味卤鹅y只，根据某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，共花了774元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设第二批酱香味卤鹅购进n只，则第二批麻辣味卤鹅购进n只，根据第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，列出二元二次方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）设购进酱香味卤鹅x只，麻辣味卤鹅y只， 由题意得：， 解得：， 答：购进酱香味卤鹅22只，麻辣味卤鹅18只； （2）设第二批酱香味卤鹅购进n只，则第二批麻辣味卤鹅购进n只， 由题意得：， 解得：， 答：m的值为2． 22．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，对角线AC＝12，动点P沿A→B→C以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接PQ，BQ，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为y1，菱形ABCD的面积与△ABQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1），； （2）图象见解析，当0＜x＜4时，y1随x增大而增大，当4＜x＜8，y1随x增大而减小；当0＜x＜8时，y2值x增大而减小； （3）2.8＜x＜6.9． 【分析】（1）当点P在AB上时，过点Q作QH⊥AB于H，解Rt△ABO，求得，，由题意得：AQ＝1.5x，AP＝2.5x，解Rt△AQH，QH＝1.2x，AH＝0.9x，则PH＝AP﹣AH＝1.6x，则，故y1＝2x（0＜x≤4）；当点P在BC上时，此时CQ＝AC﹣AQ＝12﹣1.5x，BP＝2.5x﹣10，解Rt△QHC，QH＝9.6﹣1.2x，CH＝7.2﹣0.9x，则PH＝BC﹣CH﹣BP＝12.8﹣1.6x，再由勾股定理建立函数关系式即可得到y1＝16﹣2x（4＜x＜8）；如第一幅图，而建立求解函数关系式； （2）描点即可作图，根据一次函数与反比例函数的图象的性质即可作答； （3）当y1＞y2，即函数y1图象在函数y2图象上方时x的取值范围． 【解答】解：（1）当点P在AB上时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝10，AC⊥BD，，BD＝2BO， ∵AB＝10， ∴，则BD＝16， ∵在Rt△ABO中，sin，， 由题意得：AQ＝1.5x，AP＝2.5x， ∴在Rt△AQH中，QH＝AQ×sin∠OAB＝1.5x•5＝1.2x，， ∴PH＝AP﹣AH＝2.5x﹣0.9x＝1.6x， ∴， ∴y1＝2x（0＜x≤4）； 当点P在BC上时，此时CQ＝AC﹣AQ＝12﹣1.5x，BP＝2.5x﹣10， ∵BA＝BC， ∴∠BCO＝∠BAO， 在Rt△QHC中，，CH＝CQ×cos∠BCO＝（12﹣1.5x）×π＝7.2﹣0.9x， ∴PH＝BC﹣CH﹣BP＝10﹣（7.2﹣0.9x）﹣（2.5x﹣10）＝12.8﹣1.6x． ∴， ∴y1＝16﹣2x（4＜x＜8）； 如第一幅图： ， 综上：，； （2）画出函数图象为： 由函数图象可知，该函数有如下性质：当0＜x＜4时，y1随x增大而增大，当4＜x＜8，y1随x增大而减小；当0＜x＜8时，y2值x增大而减小； （3）由图象得，当y1＞y2，即函数y1图象在函数y2图象上方时，x的取值范围为2.8＜x＜6.9． 23．（10分）如图，甲、乙两名外卖小哥同时从A餐厅出发，分别向B、C两个小区和F、E两个小区送餐，最后到达位于A餐厅正东方向的D餐厅再次取餐．甲外卖小哥沿A餐厅北偏东30°方向行驶一定距离到达B小区，再沿正东方向行驶4千米到达C小区，最后沿东南方向行驶一定距离到达D餐厅．乙外卖小哥沿A餐厅的正南方向行驶4千米后到达F小区，再沿南偏东30°方向行驶4千米后到达E小区，最后沿东北方向行驶一定距离到达D餐厅．（参考数据：） （1）求A、D两餐厅之间的距离；（结果保留根号） （2）甲，乙外卖小哥均到达D餐厅后，求乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）A、D两餐厅之间的距离为（6+2）千米； （2）乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了5.7千米． 【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△FGE中求出FG，GE，在Rt△HDE中求出HD，即可得到结果； （2）分别计算出甲乙两外卖小哥行驶的路程，即可得到结果． 【解答】解：（1）如图，BC＝4千米，AF＝4千米，EF＝4千米， ∵在Rt△FGE中，EF＝4千米，∠EFG＝60°， ∴FG＝EF•cos∠EFG＝4×cos60°＝2（千米）， GE＝EF•sin∠EFG＝4×sin60°＝2（千米）， ∴AH＝FG＝2千米， ∵AF＝4千米， ∴HG＝AF＝4千米， ∴HE＝HG+GE＝（4+2）千米， ∵在Rt△HDE中，∠HED＝45°，∠EHD＝90°， ∴HD＝HE＝4+2（千米）， ∴AD＝AH+HD＝2+4+2（6+2）千米， 答：A、D两餐厅之间的距离为（6+2）千米； （2）∵在Rt△ABH中，AH＝2千米，∠BAH＝60°， ∴AB4（千米）， BH＝AH•tan∠BAH＝2×tan60°＝2（千米）， ∴CM＝BH＝2（千米）， ∵在Rt△CMD中，∠MCD＝45°， ∴CD2（千米）， ∴甲外卖小哥行驶的路程AB+BC+CD＝4+4+212.9（千米）， ∵在Rt△EDH中，HE＝4+2千米，∠HED＝45°， ∴ED42（千米）， ∴乙外卖小哥行驶的路程AF+FE+ED＝4+4+4218.6（千米）， ∵18.6﹣12.9＝5.7（千米）， ∴乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了5.7千米． 24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过点B（﹣1，0）和点C（3，0），与y轴交于点A，连接AB，AC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥AC于点H，点M为抛物线对称轴上一点，过点M作MN⊥y轴，垂足为N，连接PM，NC，当线段PH取最大值时，求P的坐标和PM+MN+NC的最小值； （3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新抛物线y′，点E为新抛物线与x轴的左交点，连接AE，点M是新抛物线上的一个动点，连接EM，当满足∠ACO+∠AEM+∠ABQ＝135°时，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点M的坐标，写出求解过程． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）； （3）（，）或（，）． 【分析】（1）待定系数法求解，将B和C坐标代入即可； （2）利用抛物线点的坐标特征表示出PH，进而利用最值问题求出P点坐标，然后做对称利用最短路径问题可得； （3）先求出平移之后的解析式，由∠ACO+∠AEM+∠ABO＝135°可推∠AEM＝∠BAO，所以，据此分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线过点过点B（﹣1，0）和点C（3，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵A（0，3），C（3，0）， ∴直线yAC＝﹣x+3， 作PE⊥x轴， ∴∠PEH＝∠ACO＝45°，则， ∴设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3）， ∴， ∴当时，， ∴， 将P沿MN的方向平移1个单位长度，得到， 作点C关于y轴的对称点C′（﹣3，0）， 连接P'C'， 则， ∴； （3）如图， 抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长， ∴新函数y'＝﹣x2﹣6x﹣8，E（﹣4，0）， ∴， ∵∠ACO+∠AEM+∠ABO＝135°， ∴∠ACO＝45°，∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠AEM＝∠BAO， ∴， 根据夹角公式：， 解得：或； ①联立：， 解得x1＝﹣4（舍），， ∴， ②联立：， 解得x3＝﹣4（舍），， ∴； 综上，点M的坐标为（，）或（，）． 25．（10分）如图所示，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，点H是CD边上一点，将线段DH绕着D点逆时针旋转90°，得到线段DA，连接AC，AH，BH． （1）如图1，延长AH交BC于E，当点P在线段BC上时，连接PH，若HP为△BHE的角平分线，∠ABH＝α，求∠CHP的度数（用α的代数式表示）； （2）如图2，当点P在线段AB上时，连接PH，PC，若HP为△BHD的角平分线，∠BPC＝∠CHB，求证：； （3）如图3，点P为△ABC内一点，连接PC，PD，且∠CPD＝60°，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，若，求MN的最小值． 【答案】（1）； （2）证明过程详见解答； （3）MN最小． 【分析】（1）可求得∠DAH＝∠AHD＝45°，进而得出∠AHE＝∠AHD＝45°，∠BHE＝∠ABH+∠DAH＝α+45°，∠PHE，进一步得出结果； （2）在BH上截取BE＝CH，连接PE，作PF⊥NH于F，设BH和CP交于点O，可证得△PBE≌△PCH，从而PH＝PE，进而证得△PFB≌△PDH，从而EF＝DH，进一步得出结果； （3）可依次求得AD、DH、AD、CD的值，作△CDP的外接圆O，连接OD，OB，作OE⊥CD于E，可求得DE的值，OD的值，∠ODE＝30°，∠BDO＝60°，进而得出∠BOD＝90°，OBOD＝2，从而得出当点P是OB与⊙O的交点时，BP最小＝OB﹣OP＝2，进而得出MN＝BP•sin∠CBD，进一步得出结果． 【解答】（1）解：∵线段DH绕着D点逆时针旋转90°， ∴∠ADH＝90°，AD＝DH， ∴∠DAH＝∠AHD＝45°， ∴∠AHE＝∠AHD＝45°，∠BHE＝∠ABH+∠DAH＝α+45°， ∵HP是△BHE的平分线， ∴∠PHE， ∴∠CHP＝∠CHE+∠PHE； （2）证明：如图1， 在BH上截取BE＝CH，连接PE，作PF⊥NH于F，设BH和CP交于点O， ∵∠BPC＝∠CHB，∠BOP＝∠COH， ∴∠PBE＝∠PCH，点P、B、C、H共圆， ∴∠DHP＝∠PBC，∠BCP＝∠PHB， ∵HP是△BHD的平分线， ∴∠DHP＝∠PHB， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴PB＝PC， ∴△PBE≌△PCH（SAS）， ∴PH＝PE， ∴EH＝2EF， ∵∠PFB＝∠BDC＝90°， ∴△PFB≌△PDH（AAS）， ∴EF＝DH， ∵∠ADH＝90°，AD＝DH， ∴DHAH， ∴EHAH， ∴BH﹣CH＝BH﹣BE＝EHAH； （3）解：如图2， ∵∠ADH＝90°，AH， ∴AD＝DHAH， ∴CD2， 作△CDP的外接圆O，连接OD，OB，作OE⊥CD于E， ∴∠DOE＝∠CPD＝60°，DECD＝1， ∴OD，∠ODE＝30°， ∴∠BDO＝∠BADC﹣∠ODE＝90°﹣30°＝60°， ∵BD， ∴ODBD， ∴∠BOD＝90°， ∴OBOD＝2， 当点P是OB与⊙O的交点时，BP最小， BP最小＝OB﹣OP＝2， ∵PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N， ∴MN＝BP•sin∠CBD， ∵∠BDC＝90°，CD＝2，BD， ∴BC， ∴sin∠CBD， ∴MN最小． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$