2025年中考数学专题复习训练　 几何最值问题探究

几何最值问题探究 (类型一：线段和最值→将军饮马） 1.如图，在矩形中，，若点、分别是线段，上的两个动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.如图，，点、分别是射线、上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，四边形的面积为______． (类型二：单线段最值→垂线段最短) 3.如图，在中，，，，为斜边上一动点，过点分别作交于点，作交于点则的最小值为______． (类型三：费马点最值问题) 4.法国数学家费马提出：在内存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时的值为费马距离．经研究发现：在锐角中，费马点满足，如图，点为锐角的费马点，且，，，则费马距离为______． 5.定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点． 如图，若点是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为          ； 如图，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：点是的费马点； 应用探究：已知有、、三个村庄的位置如图所示，能否在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站的位置，并证明该位置满足设计要求． (类型四：数形结合) 6.“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． 求代数式的最小值． 解题思路：如图，为线段上一动点，分别过，作，，连接，已知，，设，则，，则问题转化成求的最小值． 上述的最小值为__________； 用几何构图法求代数式的最小值； 用几何构图法解方程． (类型五：逆等线问题) 7.综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点不含端点，且． 【初步尝试】如图，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． (类型六：隐问题圆) 8.【学习心得】学习完圆这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”这类题目主要是两种类型． 类型一，“定点定长”如图，在中，，，是外的一点，且，求的度数． 解：若以点定点为圆心，定长为半径作辅助请你在图上画圆，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ______填写具体数值 类型二，“定角定弦”如图，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的长的最小值． 解：． ． ， ， ______，定角 点在以定弦为直径的上易求得的长的最小值为______． 【问题解决】 如图，在矩形中，，，是边上的一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为______． 【问题拓展】 如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足，连接，，交于点． 请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由 当点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． (类型七：阿氏圆) 9.【基础巩固】 如图，在中，为上一点，求证：． 【尝试应用】 如图，在菱形中，，分别为，上的点，且，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点若，，． 求：的长； 的长． 【拓展进步】 如图，在菱形中，，，以点为圆心作半径为的圆，其中点是圆上的动点，请直接写出的最小值． (类型八：胡不归问题) 10.如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接，交于点． 求二次函数的表达式； 当时，求点的坐标及的值； 在的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值． 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解． 过点作的垂线，使两边的线段相等，到点，过作垂直交于点，就是所求的线段． 【解答】 解：过点作的垂线，使两边的线段相等，到点，过作垂直交于点，和交于点， 则就是所求的线段和的最小值． 根据勾股定理得， 在直角三角形中，边上的高， 所以， 而， ，则． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查轴对称一最短路线问题，涉及轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的面积、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键  分别作点关于，的对称点，，连接分别交，，于点，，，此时周长等于最小，然后利用已知条件求解即可． 【解答】 解：如图，分别作点关于，的对称点，，连接分别交，，于点，，， 此时周长等于最小， ，平分， ， 由对称性知，，， 是等边三角形， ，， ，， ，， 由对称性知 ， ，， ， ， ，， ， ， ，  ． 3.【答案】  【解析】解：连接， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 当最小时，最小，当时，最小， ，，， ， 当时，的面积， ， ． 的最小值为． 故答案为：． 判定四边形是矩形，推出，当时，最小，由勾股定理求出，由三角形面积公式求出，即可得到的最小值为． 本题考查平行线的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，关键是判定四边形是矩形，由垂线段最短，得到当时，最小． 4.【答案】  【解析】解： 如图： ，， ，，， ，， ∽ ， 即 ． 故答案为：． 根据相似三角形的判定和性质，即可求解． 本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质． 5.【答案】； 证明：如图，作于，于，设与交点为． 与都是等边三角形， ，，， ， ≌， ，，， 又， ， ，， ，， ， ， 平分， ， ， 点是的费马点； 解：能，如第小题那样，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于一点，由小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站的位置． 证明：如图，设点是内一点，连接、、，并在同侧作等边与等边，连接． 与都是等边三角形， ，，， ， ≌， ，， ． 当、、、四点共线时，为最小值， 又， 这时，， ， 点是的费马点， 即当点是的费马点时，的值最小．  【解析】解：是等边三角形， ，， ． 点是等边的费马点， ， ， ， ≌， ， 点是三边垂直平分线的交点， ． ， ． 延长交于点，如图， ， ． 故答案为：； 见答案； 见答案． 根据证明≌得，从而点是三边垂直平分线的交点，延长交于点，根据度角的性质求出即可求解； 作于，于，设与交点为根据证明≌得，，，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； 分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于一点，该点即为所求的点，根据证明≌得，，从而可判断当、、、四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 本题考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 6.【答案】解： 如图，取线段，分别过、作，，且，，连接，则为的最小值， 过点作交的延长线于则四边形是矩形， ，， ， ， ． 如图，构造，于，当，，，， ， ， ， ， 方程的解是．  【解析】【分析】 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键． 由题意可得，即可求解 仿照例题，求出，即可求解 构造，于，，，设，则，， ，判断出，再由面积法得出方程，即可解答． 【解答】 解：如图中，为线段上一动点，分别过、作，，连接、已知，，设，则，，则问题转化成求的最小值． 过点作交的延长线于则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为， ，见答案． 7.【答案】解：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ≌， ， 四边形为平行四边形，理由如下： ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形   【解析】解：见答案； 见答案； 解：如图，过点作，使，连接、，，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， 又， ≌， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的值， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、旋转的性质、两点之间线段最短的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 证明≌，即可得到； 证明，，得出四边形为平行四边形； 过点作，使，连接、，，过点作交的延长线于点，先证明≌得出，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的值，再求出，然后在中，由，得出的最小值为． 8.【答案】； ；；   ；   ，，理由见解析； 点的运动路径长为．  【解析】解：在中，，，是外的一点，且， 点，点，点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， ， 故答案为：； 在中，，，， ， ， ， ， ， 点在以定弦为直径的上， 如图，连接交于点，此时最小， 点是的中点， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 最小值为， 故答案为：；； 如图，连接，， 点，点关于直线对称， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，有最小值， 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为， 故答案为：； ，；理由如下： 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ； 如图，连接，交于点， 点在运动中保持， 点的运动路径是以为直径的圆的， 点的运动路径长为． 根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可； 根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可； 根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可解答； 首先推导出≌，得到，，利用角的关系推导出，进而推导出； 连接，交于点，推导出点的运动路径是以为直径的圆的，进而得到点的运动路径长为． 本题属于圆的综合题，主要考查圆的定义、圆周角定理、弧长公式、全等三角形的判定与性质等周四点，熟练掌握圆的定义、构造辅助圆的基本方法是解题的关键． 9.【答案】证明：如图， ，， ∽， ， ． 解：如图，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ∽， ， ，，， ， ，， ； 四边形是菱形， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 由知：， ∽， ，即， ， ； ．  【解析】【分析】 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，解直角三角形，正确作出辅助线熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 证明∽，得出，则可得出结论； 连接，证明∽，从而得出，进一步求得结果； 可证明∽，从而，进而求得结果； 在上截取，可证得∽，进而得出，从而，当、、共线时，最小，此时在处，然后解，求出，即可求解． 【解答】 解：见答案； 见答案； 如图， 在上截取， ，， ∽， ， ， ， 当、、共线时，最小，此时在处， 作，交的延长线于， 在中，，， ，， 在中，，， ， 的最小值为． 10.【答案】把点的坐标为，点的坐标为代入得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； 二次函数的表达式为； 点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 轴， ，， ， ， 设，， ，，，， ， 解得，舍去，舍去， ， ，， ， ． 如图，作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则， ， ， ，此时最小， ， ， ， ． 的最小值为．  【解析】把点的坐标为，点的坐标为代入，解方程组即可得到结论； 由条件可得，设，则可表示、、、的长，得到关于的方程，解方程可求出点的坐标，求出、长，则的值可求； 作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，，此时最小，求出最小值即可． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$