精品解析：辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一下学期6月阶段测试数学试题

2024-2025学年度下学期高一年级6月份阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题 1. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （ ） A. B. C. D. 3. 平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 5. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 6. 点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（ ） A. 1 B. C. D. 7. 定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是 A. B. C. D. 8. 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 为了得到函数的图像，只需将图像上的所有点（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 C. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 D. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 10. 长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 平面 C. 的最小值为 D. 以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若函数则函数的最小值为 三、填空题 12. 在复数范围内，记方程的两根为，则___________． 13. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4cm的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________． 14. 若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在中，，，若P为的布洛卡点，且，则BC的长为______． 四、解答题 15. 已知:复数，其中为虚数单位. （1）求及； （2）若，求实数a，b的值. 16. 在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. （1）当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； （2）求 的余弦值； （3）是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 17. 如图，设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，且，点D是外一点，. （1）求角B的大小； （2）求四边形面积的最大值. 18. 如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面. （1）在上，，求证：平面平面； （2）若，且，求的值； （3）求三棱锥体积的最大值. 19. 函数的最小正周期为，且． （1）若，求的对称轴； （2）证明：存在，； （3）若在的零点从小到大依次为，记表示不超过的最大整数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期高一年级6月份阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题 1. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先化简计算，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：. 2. 近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出、，根据周期求出，再由求出，即可得解. 【详解】依题意，解得， 又，所以，所以， 所以，又， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：A 3. 平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】， ， ， 故选：D 【点睛】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题. 4. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解. 【详解】由为四棱台的斜高. 设四棱台的高为，则， 所以四棱台的体积为：. 故选：C 5. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据有且仅有3个零点列出不等式求解. 【详解】， 令，得，. 由有且仅有3个零点得： ，化简得. 故选：D. 6. 点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四面体体积的等积性求得内切球半径，由球的性质可知：当，与圆相切时，最大，结合圆的切线性质，结合锐角三角函数定义、正切二倍角公式、正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设正四面体的棱长为，正四面体的内切球的球心为，顶点在底面的射影为， 显然在线段上，该正四面体内切球的半径为， 如图，为正三角形的中心，则， ， 由三棱锥的等体积得，即， 解得， ， 由球的性质可知：当，与圆相切时，最大， 如图所示：， 由圆的切线长定理可知：， 在中，， 最大时，最小，因为， 所以此时为的中点，即有， 正四面体的内切球的球心为，显然也是该正四面体的外接球的球心， 所以， 因此，， ， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用球的几何性质即当，与圆相切时，最大，结合圆的切线性质求解. 7. 定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量及可得：两点的横坐标相等，将不等式恒成立问题转化成：时，恒成立，转化成：.，记：，即可求得，问题得解。 【详解】作出函数图像，它的图象在上的两端点分别为：, 所以直线的方程为： 设是曲线上的一点，，其中 由，可知三点共线， 所以点的坐标满足直线的方程， 又,,则 所以两点的横坐标相等. 故 函数在上满足“范围线性近似” 所以时，恒成立. 即：恒成立. 记，整理得：， ，当且仅当时，等号成立。 当时， 所以，所以. 即： 所以该函数的线性近似阈值是： 故选：B 【点睛】本题主要考查了新概念定义及转化能力，还考查了三点共线的向量表示，考查了对勾函数性质，考查计算能力及分析能力，属于难题。 8. 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面，平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面，则，， ，平面，则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，，则球的半径， 又四棱锥的表面积为， 由得： ， 即， 故即，解得， 故， ，， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和. 二、多选题 9. 为了得到函数的图像，只需将图像上的所有点（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 C. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 D. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 【答案】BD 【解析】 【分析】首先将化成，然后利用先平移后伸缩与先伸缩后平移两种方法得到答案. 【详解】， 把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像； 或者把的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像， 再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像， 故选：BD． 10. 长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 平面 C. 的最小值为 D. 以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算的边上的高后可判断A的正误，可证平面平面，从而可平面，故可判断B的正误，利用平面展开图结合余弦定理可求的最小值，故可判断C的正误，D中判断出交线的形状结合计算可判断D的正误. 【详解】 对于A，因为在长方体中，，， 故，故为等腰三角形， 而，故为锐角， 故的最小值为的边上的高，设高为， 则，故， 故的最小值为，故A错误. 对于B，由长方体的性质可得， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，而平面，故平面， 故B正确. 对于C，如图，将、放置在一个平面中， 则的最小值即为，而， ， 因为、均为锐角，故，， 故， 故，故C正确. 对于D，以A为球心，为半径的球面与侧面的交线为个圆弧， 该圆弧的圆心为，半径为，故弧长为，故D成立. 故选：BCD. 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若函数则函数的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系，根据向量线性运算可判断A；对于B，取AB的中点为M，则，两式平方相减，结合正八边形的对称性取最大值时点P位置，然后利用坐标求解；对于C，根据投影向量公式求解可得；对于D，利用坐标运算表示出函数，根据二次函数性质可得. 【详解】如图所示，以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系， 设，则在中，由余弦定理可得， 整理得， 因为 . 对于A，因为， 所以，A错误； 对于B，取AB的中点为M，则， 则， 两式相减得， 由正八边形的对称性可知，当点P与点E或点F重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以，的最大值为，B正确； 对于C，， 所以， 所以在方向上的投影向量为，C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以 ， 当时，函数取得最小值，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：本题解答的关键在于：第一，建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解；第二，设，利用a表示坐标，到最后再进行代换，减少计算量；第三，利用对称性分析点P位置. 三、填空题 12. 在复数范围内，记方程的两根为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两复数根，再根据复数的减法运算及复数的模的公式即可得解. 【详解】在复数范围内，已知是方程的两根， 即，， 不妨取，， ． 故答案为：． 13. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4cm的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱锥的边长直接计算出正四棱锥的表面积，利用等体积法计算出正四棱锥的内切球的半径，并计算出正四棱锥的高，由此可得出结果. 【详解】正四棱锥的表面积为， 如下图所示： 设正四棱锥底面的中心为点，则平面， , 设正四棱锥的内切球球心为O，球的半径为r， 又由 ， 所以， 所以， 故答案为： 14. 若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在中，，，若P为的布洛卡点，且，则BC的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得，进而求得，也即是. 【详解】，所以为锐角，为锐角， 所以. 由于，所以，设，则， ， 为锐角，则. 由于， 所以，所以①， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 即，由正弦定理得， 即，解得，则为锐角， 由解得， 在三角形中，由余弦定理得， 所以， 在三角形中，由正弦定理得， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用. 四、解答题 15. 已知:复数，其中为虚数单位. （1）求及； （2）若，求实数a，b的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法和除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式计算即可； （2）先根据复数的四则运算化简左边，再根据复数相等的定义即可得解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， 得:，解得. 16. 在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. （1）当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； （2）求 的余弦值； （3）是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意的，根据在三角形中可求得答案； （2）根据三角形中余弦定理运算公式可求得答案； （3）设，其中，根据，可得，分类讨论可求得的范围. 【小问1详解】 因为是等腰梯形，，，点为线段中点 所以，则，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，如图所示.作轴于点,,可得, ， ，, 所以点的坐标为 【小问2详解】 在中，， 所以, 因此的余弦值； 【小问3详解】 设，其中． 若，则， 即，可得． 若，则不存在， 若，则故． 17. 如图，设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，且，点D是外一点，. （1）求角B的大小； （2）求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边后应用余弦定理求得角后可得角大小； （2）设，由面积公式得面积，由余弦定理求得，然后可得正三角形的面积，从而得出四边形的面积，再逆用两角差的正弦公式化简函数后利用正弦函数性质得最大值． 【小问1详解】 由，再由正弦定理得，， 得，即 故，所以，又，故. 【小问2详解】 设，则， 在中，， 由（1）知为正三角形，故， 故， 因为，故即时，. 18. 如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面. （1）在上，，求证：平面平面； （2）若，且，求的值； （3）求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1） 如下图所示： 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，，、平面， 所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证得平面，再结合已知条件与面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）过点在平面内作交于点，连接，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出，然后在平面内，利用平面向量的基本定理和共线向量的基本定理可求得的值； （3）分析可得，求出的面积以及点到平面的距离，利用锥体的体积公式结合基本不等式可求得三棱锥体积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点在平面内作交于点，连接， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，，、平面， 所以平面平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，，则为的中点， 因为，且正三棱锥的棱长均为， 则，，， 所以，， ， 因为，所以，，则存在，使得， 即， 因为、不共线，则，解得. 综上所述，. 【小问3详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 设点在平面上的射影为点，则为等边的中心， 由正弦定理可得，则， 所以， 因为，所以，点到平面的距离， 点到直线的距离为， 所以，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故三棱锥体积的最大值为. 19. 函数的最小正周期为，且． （1）若，求的对称轴； （2）证明：存在，； （3）若在的零点从小到大依次为，记表示不超过的最大整数，求． 【答案】（1）； （2）原命题相当于证明，在上的最大值大于等于 由（1），， 其中满足，. 令，得，又， 则， 故存在，使， 此时，当且仅当时取等号， 则命题得证； （3）. 【解析】 【分析】（1）化简后，可得，通过讨论，可得与均不为0，然后利用辅助角公式可得，最后结合题意可得，即可得答案； （2）即证在上的最大值大于等于； （3）由（1）可得零点表达式为，然后通过讨论可得答案. 【小问1详解】 .因最小正周期为，则. 若，则，则，与题意矛盾； 若，则，则， 但，则，则. 综上，与均不为0， 则 ， 其中满足，. 则. 由. 则，令. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1），，其中满足， 由， 则，. 令.令. 则，最小可取1， 此时，，依次类推可得， 注意到，， ，则此时. 综上，. 【点睛】关键点睛：第一问所涉字母较多，化简时要考虑全面，以免出现错误；第二问为含有存在量词命题的证明，常设法去找到满足题意的元素；第三问，对于取整函数，常将所求放于两个相邻的整数之间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $