精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高一下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（ ） A. 90 B. 89 C. 88 D. 88.5 4. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 6. 某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ） A. 0.8 B. 0.675 C. 0.74 D. 0.82 8. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 B. 若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线 C. 若，则点Q的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球的半径为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级抽取200人，则k的取值是______． 13. 已知中，与相交于点P，则的面积为__________． 14. 在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示. （1）求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由. 17. 的内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若，求锐角的面积的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求； ①； ②； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高一下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，求出，结合复数的几何意义可得. 【详解】由，得：，，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径，母线为，外接球的半径为，依题意求出、，即可得，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得， 可知， 所以圆锥的外接球球的表面积. 故选：C. 3. 以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（ ） A. 90 B. 89 C. 88 D. 88.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】从小到大排序这10个数据为72，78，80，81，83，86，88，90，91，92， 因为，所以这10个成绩的第75百分位数是第8个数90. 故选：A. 4. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 故若，，则，故B正确； 对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 故若，，则，故C正确； 对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确； 故选：A 5. 已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由共线定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得. 【详解】因为与同向共线，所以存在使得， 即， 又向量不共线，所以，解得（舍去）或. 故选：A 6. 某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，结合图形，利用三角形的性质，再根据正弦定理列式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，， 在中，， ， 由正弦定理得，即， ，所以米.， 故选：B 7. 从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ） A. 0.8 B. 0.675 C. 0.74 D. 0.82 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可. 【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人， 从乙队中抽取人， 这人答对题目的平均数为， 所以这人答对题目的方差为. 故选：D. 8. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用三角恒等变换化简得，得，代入化简得，结合基本不等式求最小值. 【详解】，得， 即， 中，，由，则，，所以， ， 由正弦定理， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C；解方程可判断D. 【详解】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确； 对于B，取，此时，但，故B错误； 对于C，若，则，故，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 故选：AC. 10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D. 【详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 B. 若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线 C. 若，则点Q的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.根据平面的性质，作出截面，即可判断A，根据线面平行的性质定理，结合A的判断，判断B，根据勾股定理求点的轨迹，判断C，首先求外接圆的半径，并根据平面，求三棱锥外接球的半径，即可判断D. 【详解】取的中点，连结，因为，所以平面截正方体所得截面为四边形， ，所以四边形是等腰梯形，故A正确； B.因为平面，且平面，且平面平面， 所以，则点在上，当点在的中点时，此时，故B错误； C.因为，，所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的， 所以轨迹长为，故C正确； D.三棱锥和三棱锥是同一个棱锥， 中，，则，则外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥的外接球的半径，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级抽取200人，则k的取值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义计算即可. 【详解】由题意可得，解之得. 故答案为：2. 13. 已知中，与相交于点P，则的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求得是中点，再利用三角形面积的倍分关系及三角形面积公式求解. 【详解】在中，令，则， 又三点共线，则，解得， 因此. 故答案为：2 14. 在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出； （2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为是纯虚数，所以， 由，解得或， 由得，且，故. 【小问2详解】 因为对应的点位于第三象限，所以， 所以解得的取值范围是. 16. 近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示. （1）求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由. 【答案】（1），中位数为74，平均数为72.5 （2）方案一受到奖励的商家更多，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各组频率之和等于1，列出方程求出，利用中位数定义和平均数公式分别计算即得； （2）按照方案一要求，利用频率分布直方图先求出平均日利润超过78百元的商家所占的比率，再求对应的商家数目；方案二只需取前，即前200个商家家，比较即得结论. 【小问1详解】 由题意可知，解得. 设中位数为，则，解得，所以中位数为74， 平均数为 【小问2详解】 由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为， 方案二受到奖励的商家的个数为， 因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多. 17. 的内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若，求锐角的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和，可求解，求出； （2）是锐角三角形和（1）得到，再由三角形的面积和正弦定理求出，求出面积范围. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，由（1）知且，可得， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 又由正弦定理且， 所以， 因为，所以， 故，则， 所以， 即面积的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明，即可证明； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，转化为求与所成角的余弦值，利用图形的几何性质，结合余弦定理，即可求解；（ⅱ）根据线面角的定义，构造线面角，即可求解. 【小问1详解】 如图，因为点是正方形的对角线的中点，所以三点共线，连结， 点是对角线的交点，所以是的中点，是的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 （ⅰ）连结， 若二面角的大小为， 则平面平面，且平面平面， ，且平面， 所以平面，平面， 所以， 又因为，所以，则， 又，， 异面直线与所成的角为与所成的角，为或其补角， 中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （ⅱ）取的中点，连结，因为，所以， 所以平面， 连结，为直线与底面所成的角， 因为底面边长为1，， 所以,， , 所以. 所以直线与平面所成角的大小为. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求； ①； ②； （2）若向量，求证：； （3）记，且满足，求的最大值. 【答案】（1）5；0 （2）证明如下： 因为向量，且向量， 则， 所以， 同理， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）设，并表示出，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为，，且， 所以； 又，，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设为锐角时，由，得或， 当为锐角，时， 故当时，取到最大值； 当为钝角时，由，得， 当为钝角，， ， 当，即时，取得最大值， 所以取得最大值. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $