精品解析：河北省石家庄市等2地2024-2025学年高二下学期6月阶段测试数学试卷

2024—2025学年第二学期高二年级6月阶段测试卷 数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知5对数据的散点图如图，若去掉点，则下列说法正确的是（ ） A. 变量x与变量y呈正相关 B. 变量x与变量y的相关性变强 C. 残差平方和变大 D. 样本相关系数r变大 3. 的展开式中含的系数是（ ） A. 7 B. C. D. 4. 市医院用甲、乙两种疗法治疗某慢性病．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表，经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），则可以认为（ ） A. 两种疗法的效果存在差异 B. 两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 C. 两种疗法的效果没有差异 D. 两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 5. 某公司拟对其5个部门中的3个部门的负责人进行调整，被调整的3人将到其余部门任负责人（不在原部门），每个部门只有一个负责人，调整方案的种数为（ ） A. 10种 B. 20种 C. 36种 D. 56种 6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 5对数据，，，，绘制成散点图，其呈线性趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 5.4 B. 5.2 C. 6.4 D. 6.2 8. 向阳高中高二三个班级的50名学生参加某体能测试，其中1班10人，2班15人，3班25人，测试时每次都从尚未测试的学生中随机抽一位，测试完毕以后再选择下一位测试，则在这50名学生中，1班的所有学生先于其他两个班完成测试的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 已知y关于x的回归方程为，则样本点的残差为 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 若经验回归方程为，则当变量x增加1个单位时，平均增加3个单位 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，满足，则 C. 已知随机变量，最大，则k的取值为3或4 D. 若，，且，则C，D相互独立 11. 月饼象征着团圆和丰收，是中国的汉族传统美食之一，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的盒装月饼，已知甲箱中有3盒肉松月饼，2盒果蔬月饼和4盒冰皮月饼，乙箱中有3盒肉松月饼，3盒果蔬月饼和3盒冰皮月饼，则下列正确的是（ ） A. 从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是. B. 依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼，第一盒是肉松的条件下，第二盒是果蔬的概率是. C. 先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是. D. 先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个质点在数轴上在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动次．移动后，事件“质点位于”的概率为______． 13. 已知，则______． 14. 从、、、中随机抽取三个互不相同的数字，其样本方差的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市高二建模数学小组的7名学员中恰有4人来自建华中学，从这7名学员中随机选取2人，表示选取的人中来自建华中学的人数． （1）求的分布列； （2）求的数学期望和方差． 16. 以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关． （1）求只有C小组受到奖励的概率； （2）求受到奖励的小组数的期望值． 17. 在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． （1）甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； （2）根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 18. 近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在张家口某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的入住率，收费标准x与入住率y的散点图如图． x 50 100 150 200 300 350 t 90 65 45 30 20 20 （1）令，由散点图判断与，哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1） （2）根据第（1）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额） 参考数据：，，，，，，，，，，． 19. 某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理成下面的列联表， 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过30 不超过30 改造前 5 15 20 改造后 15 5 20 合计 20 20 40 （1）依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？ （2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元．现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：，，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率． （ⅰ）设一个生产周期内需保障维护的次数为，求一个生产周期内生产维护费； （ⅱ）求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （其中） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高二年级6月阶段测试卷 数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：C． 2. 已知5对数据的散点图如图，若去掉点，则下列说法正确的是（ ） A. 变量x与变量y呈正相关 B. 变量x与变量y的相关性变强 C. 残差平方和变大 D. 样本相关系数r变大 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的识别辨析、相关性、相关系数、残差平方和等概念对选项逐一判断即可. 【详解】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关性加强，且为负相关，所以B正确，A错误； 由于与的线性相关性加强，所以残差平方和变小，所以C错误， 由于与的线性相关性加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大， 而相关系数为负的，所以样本相关系数变小，所以D错误． 故选：B． 3. 的展开式中含的系数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得结果. 【详解】的展开式中的第项． 令，则，所以的系数为7． 故选：A． 4. 市医院用甲、乙两种疗法治疗某慢性病．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表，经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），则可以认为（ ） A. 两种疗法的效果存在差异 B. 两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 C. 两种疗法的效果没有差异 D. 两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的基本思想，通过比较计算得到的值与给定的临界值的大小关系，来判断两种疗法的效果是否存在差异. 【详解】零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 根据列联表中的数据，，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异．故选：C． 5. 某公司拟对其5个部门中的3个部门的负责人进行调整，被调整的3人将到其余部门任负责人（不在原部门），每个部门只有一个负责人，调整方案的种数为（ ） A. 10种 B. 20种 C. 36种 D. 56种 【答案】B 【解析】 【分析】先从5个部门负责人中选出不作调整的2人，再把余下的3个部门负责人调整到其他部门，结合组合数公式及分步乘法计数原理求解. 【详解】先从5个部门负责人中选出不作调整的2人，有种， 再把余下的3个部门负责人调整到其他部门，假设3个部门为A，B，C，对应的3个原负责人分别为a，b，c， 则a可以调整到B，C中的任一部门，有2种情况，假设a分到B部门，则b，c只1种情况，故有种情况， 所以调整方案共有种． 故选：B． 6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正太分布曲线的对称性来求解即可． 【详解】∵随机变量服从正态分布， ∴，又因为， 所以． 故选：A． 7. 5对数据，，，，绘制成散点图，其呈线性趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 5.4 B. 5.2 C. 6.4 D. 6.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，求出，代入方程即可求解. 【详解】由题意可得，， 又经过点， 所以，解得． 故选：． 8. 向阳高中高二三个班级的50名学生参加某体能测试，其中1班10人，2班15人，3班25人，测试时每次都从尚未测试的学生中随机抽一位，测试完毕以后再选择下一位测试，则在这50名学生中，1班的所有学生先于其他两个班完成测试的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率和互斥事件概率公式进行计算即可． 【详解】记“最后测试的学生来自2班”为事件B，“最后测试的学生来自3班”为事件C，显然事件B，C互斥， 记“1班参加测试的学生先于其他两班学生完成测试”为事件D，则． 当事件B发生时，只需考虑1，3两个班所有参加测试的学生中最后面试的那位来自3班， 则． 当事件C发生时，只需考虑1，2两个班所有参加测试的学生中最后测试的那位来自2班， 则． 所以． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 已知y关于x的回归方程为，则样本点的残差为 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 若经验回归方程为，则当变量x增加1个单位时，平均增加3个单位 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相关系数、残差及经验回归方程的知识逐项判断即可. 【详解】对于A，的值越大，相关性越强，故A错误； 对于B，由可得：，所以残差为：，故B正确； 对于C，散点不一定满足回归方程，不能直接代入方程，故C错误； 对于D，经验回归方程为，变量x增加1个单位时，平均增加3个单位，故D正确． 故选：BD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，满足，则 C. 已知随机变量，最大，则k的取值为3或4 D. 若，，且，则C，D相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用二项分布的期望公式；B方差的性质；C利用二项式系数的性质可得；D利用条件概率的概率公式即可得出. 【详解】对于A，若随机变量，则，故A正确； 对于B，由方差的性质可知，，故B错误； 对于C，因为随机变量， 所以，， 所以要使最大，只需最大， 由二项式系数的性质得：当或4时，最大，故C正确； 对于D，因为，所以， 由条件概率公式，得到， 即C，D相互独立，故D正确． 故选：ACD． 11. 月饼象征着团圆和丰收，是中国的汉族传统美食之一，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的盒装月饼，已知甲箱中有3盒肉松月饼，2盒果蔬月饼和4盒冰皮月饼，乙箱中有3盒肉松月饼，3盒果蔬月饼和3盒冰皮月饼，则下列正确的是（ ） A. 从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是. B. 依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼，第一盒是肉松的条件下，第二盒是果蔬的概率是. C. 先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是. D. 先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率是. 【答案】AD 【解析】 【分析】古典概型可直接得到选项A；条件概率可得到选项B；全概率公式直接得到选项C；利用选项C的结论与条件概率可得到选项D. 【详解】对于A，从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是，故A正确； 对于B，依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼， 第一盒是肉松月饼的条件下，第二盒是果蔬月饼的概率为：，故B错误； 对于C，先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼， 则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是：，故C错误； 对于D，先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼， 若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率为：，故D正确. 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个质点在数轴上在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动次．移动后，事件“质点位于”的概率为______． 【答案】##0.21875 【解析】 【分析】设质点向右移动的次数为，分析可知，移动次后，质点位于的位置，则，结合独立重复试验的概率公式可求得的值，即为所求. 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度， 共移动次，每次移动相互独立，则． 移动次后，质点位于的位置，则，． 故答案为：． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将给定的二项式用表示，再利用二项式定理求解. 【详解】， 展开式的通项公式为， 所以． 故答案为： 14. 从、、、中随机抽取三个互不相同的数字，其样本方差的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数和方差概念结合题意分析即可. 【详解】易知三个整数、、的样本方差， 则当且仅当、、是三个连续整数，易知共种情况， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市高二建模数学小组的7名学员中恰有4人来自建华中学，从这7名学员中随机选取2人，表示选取的人中来自建华中学的人数． （1）求的分布列； （2）求的数学期望和方差． 【答案】（1）分布列是 0 1 2 P （2），【解析】 【分析】（1）列出的所有可能取值，根据古典概型概率计算公式计算对应概率列表可得分布列； （2）根据分布列由期望和方差公式计算即可. 【小问1详解】 的所有可能取值是0，1，2； ，，， 所以的分布列是 0 1 2 P 【小问2详解】数学期望是， 方差为． 16. 以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关． （1）求只有C小组受到奖励的概率； （2）求受到奖励的小组数的期望值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式计算即可； （2）利用独立事件和互斥事件的概率公式求出分布列，再计算期望即可. 【小问1详解】 设A、B、C三个小组攻克该技术难题分别为事件A、B、C， 即，，，A，B，C相互独立， 只有小组受到奖励的概率. 【小问2详解】 设受到奖励的小组数为，则的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以． 17. 在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． （1）甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； （2）根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【答案】（1） （2） 乙校高分人数更多，低分人数更少. 【解析】 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【小问1详解】 由题意可知甲校学生数学得分， 由，可得 ，则， 所以分数在70分及以下的学生有人， 所以学生小A被抽到的概率． 【小问2详解】 由，可得：． 所以甲校得分不低于120分的概率为， 得分不高于60分的概率为， 所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人， 故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少； 即乙校高分人数更多，低分人数更少. 18. 近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在张家口某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的入住率，收费标准x与入住率y的散点图如图． x 50 100 150 200 300 350 t 90 65 45 30 20 20 （1）令，由散点图判断与，哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1） （2）根据第（1）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额） 参考数据：，，，，，，，，，，． 【答案】（1）更合适， （2）收费标准为150元/天时，100天销售额L最大 【解析】 【分析】（1）根据已知数据先求出，再得出，即可得出回归方程； （2）得出函数，再应用导函数判断函数单调性进而得出最值. 【小问1详解】 由散点图可知，散点并非均匀分布在一条直线的两侧，而是大致分布在一条曲线的两侧，不符合线性回归模型要求， ∴更合适于此模型． ， ∵，∴， ∴回归方程为：； 【小问2详解】 由题意得，， 在中，， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴函数在处取最大值， ∴收费标准为150元/天时，100天销售额L最大． 19. 某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理成下面的列联表， 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过30 不超过30 改造前 5 15 20 改造后 15 5 20 合计 20 20 40 （1）依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？ （2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元．现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：，，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率． （ⅰ）设一个生产周期内需保障维护的次数为，求一个生产周期内生产维护费； （ⅱ）求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （其中） 【答案】（1）有差异 （2）（ⅰ）； （ⅱ）分布列为： 3 5 P 【解析】 【分析】（1）根据题意，补全列联表，代入公式计算结果，对照表格，判断得答案. （2）首先判断一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，设一个生产周期内需保障维护的次数为，则服从二项分布，再根据题意找到与生产周期内生产维护费的关系，计算的可能取值，依次计算其分布列，期望. 【小问1详解】 零假设：技术改造前后的连续正常运行时间无差异. ∴， ∴依据小概率值的独立性检验分析判断不成立， 即技术改造前后的连续正常运行时间有差异. 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天， 一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为， 设一个生产周期内需保障维护的次数为，则， 一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元， ∴一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元， （ⅱ）设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为3，，，，5， ，， ，， . 所以，的分布列为： 3 5 P ∴， ∴一个生产周期内生产维护费的均值为万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $