2025年中考数学复习训练　 旋转综合探究

旋转综合探究 1.(费马点问题) 如图，点O是等边内一点，，，将CO绕点C顺时针方向旋转得到CD，连接AD， 当时，求证：为直角三角形； 求的度数； 请你探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 2.（线段旋转→K型） 问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接过点D作的BC边上的高DE， 易证≌，从而得到的面积为 初步探究：如图②，在中，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接用含a的代数式表示的面积，并说明理由． 简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接直接写出的面积．用含a的代数式表示 3.手拉手 综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，，，分别取AB，AC的中点D，E，作如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接BD， 探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． 性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长． 延伸思考：如图4，在中，，，，分别取AB，BC的中点D，作，将绕点B逆时针旋转，连接AD，当边AB平分线段DE时，求的值． 4.在中，，，直线MN经过点C，且于点D，于点 当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，请你探究线段DE，AD，BE之间的数量关系，并加以证明； 当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，你在中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明； 当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，你在中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明． 5.【问题发现】如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上时，连接 ①的度数为           ②线段AD，BE之间的数量关系是          . 【拓展研究】如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上．若，，求AB的长度． 【探究发现】已知图1中的和，在的旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 6.    问题呈现：如图1，和都是直角三角形，且连接BD，CE，求的值； 类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接BD，EC，延长EC交BD于点F，设，求EF的长； 拓展提升：如图3，在等边中，，AD是BC边上的中线，点M从点A移动到点D，连接MC，以MC为边长，在MC的上方作等边，求点N经过的路径长. 7.【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示方法摆放，其中，， 【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针旋转. 如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长； 若点C，E，D在同一条直线上时，求点D到直线BC的距离； 连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置图，旋转到点C，B，D首次在同一条直线上如图，求点G所经过的路径长； 如图4，问中若G为DC的三等分点且，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是          .       8. 教材再现：如图1，四边形ABCD为正方形，E为AB边上一点，将绕D点逆时针旋转至，画出旋转后的三角形． 问题探究：如图2，正方形ABCD中，，E、F分别在AB和BC边上，，的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由． 综合应用：如图3，某小区内有一块三角形区域ABC，其中，米，在AB边的中点D处修建一个公共厕所，在AC和CB边上分别确定点E、F，修两条笔直小路DE和小路的宽度忽略不计，且，将四边形DECF区域规划成儿童活动专区，其余区域为普通活动区域，根据需求，要使四边形DECF的面积最大，是否存在这样的E、F点，若存在求出最大面积；若不存在，请说明理由． 9.问题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，试判断BE，EF，FD之间的数量关系． 【发现证明】小聪把绕点A逆时针旋转至，从而发现，请利用图1证明上述结论． 【类比引申】如图2，在四边形ABCD中，，，，点E，F分别在边BC，CD上，则当与满足          时，仍有 【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形已知，，，，道路BC，CD上分别有景点E，F，且，现要在E，F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长结果取整数，参考数据：， 10.在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点D、E在边BC上，且，，，求DE的长. 解：如图②，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接 由旋转的特征，得，，， ，， ， ，即 在和中，    ①   . 又， 在中，   ②   . ，，    ③   .     【问题解决】 上述问题情境中，“①”处填：          ；“②”处填：          ；“③”处填：          . 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变. 【知识迁移】 如图③，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点.探究BM、MN、DN之间的数量关系并说明理由. 【拓展应用】如图④，在矩形 ABCD中，点 E、 F分别在边 BC、 CD上，且探究 BE、 EF、 DF之间的数量关系：          直接写出结论，不必证明 【问题再探】 如图⑤，在中，，，，点D、E在边AC上，且设，，求y关于x的函数表达式. 最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界. 11.问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，和都是等腰直角三角形，，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．    问题探究： 甲小组发现：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是_____； 乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断的形状并证明； 问题拓展： 两小组的同学继续探究：把绕点C在平面内自由旋转，若，当旋转到B、D、E三点共线，且时，连结EN，直接写出线段EN的长度． 12. 【建立模型】如图1，点B是线段CD上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，求证：≌； 【类比迁移】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转得到BC、直线AC交x轴于点 ①求点C的坐标； ②求直线AC的解析式； 【拓展延伸】如图3，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于C点，已知点，连接抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的横坐标． 13.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作轴交函数图象上于点E，已知，，直线l是抛物线的对称轴，D是抛物线的顶点． 求二次函数的解析式； 连接AD，线段OC上的点N关于直线l的对称点恰好在线段AD上，求点N的坐标； 探究：抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段TB绕点T逆时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 14.如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点 求该抛物线的函数表达式； 已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； 在的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点 ①写出点的坐标； ②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点C，设点B、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度即的度数 15.在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，，过点B的直线交抛物线于点 求该抛物线的函数表达式； 若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点不与点B，C重合，求面积的最大值； 若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16.本小题8分 如图，在四边形OABC中，，轴于点C，，，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为设点P移动的时间为t秒，与四边形OABC重叠部分的面积为 求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标； 用含t的代数式表示点P、Q的坐标； 如果将绕着点P按逆时针方向旋转，是否存在t，使得的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； 求出S与t的函数关系式． 1.【答案】【小题1】 证明：由旋转的性质得：，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ≌， ， ， 即是直角三角形； 【小题2】 解：是等边三角形， ， ，， ， 由知：≌， ， ， 中，； 【小题3】 解：分三种情况： ①当时，， ， ， ， ； ②当时，， ，， ， ， ； ③当时，， ， ； 综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．   【解析】  先证明是等边三角形，得出，证明≌，得出，即可得出答案；   先求出，，然后利用三角形内角和定理得出结果即可；   分三种情况讨论时，；时，；当时，；分别求出结果即可． 2.【答案】解：初步探究：的面积为 理由：如图②，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点 线段AB绕点B顺时针旋转得到线段BE， ， 在和中， ， ≌ ； 简单应用：的面积为 如图③，过点A作与F，过点D作的延长线于点E， ， ， ， 线段BD是由线段AB旋转得到的， 在和中， ， ≌， ， 的面积为  【解析】初步探究：如图②，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出≌，就有进而由三角形的面积公式得出结论； 简单运用：如图③，过点A作与F，过点D作的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出，由条件可以得出≌就可以得出，由三角形的面积公式就可以得出结论． 本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键． 3.【答案】【小题1】 解：猜想，证明如下： 点D和点E为分别为中点， 由图1可知，， ，则， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ； 【小题2】 解：由图1可知点D和点E为分别为中点， ，， ， ， 当DE所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由可得：， ， 解得：； 【小题3】 解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ， ， ， 边AB平分线段DE，， ， ， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ，， ，   【解析】  本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． 根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论；   根据题意推出当DE所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据可得，即可求解；   令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 4.【答案】【小题1】 证明如下：因为，，所以因为，，所以所以所以在和中，  所以≌所以，所以 【小题2】 发生变化，证明如下：因为，所以因为，，所以所以所以在和中，  所以≌所以，所以 【小题3】 发生变化，证明如下：因为，所以因为，，所以所以所以在和中，  所以≌所以，所以   【解析】 略  略  略 5.【答案】【小题1】 60 【小题2】 同可证≌， 所以， 因为为等腰直角三角形， 所以 因为点A，D，E在同一直线上， 所以 所以 所以 所以  ． 【小题3】 的度数是或   【解析】 因为和均为等边三角形， 所以，， 所以 易证≌， 所以， 因为点A，D，E在同一直线上， 所以 所以 所以  略   如图1，由，得≌， 所以 因为， 所以， 所以 如图2，同理求得， 所以 6.【答案】【小题1】 解：在和中，，；  【小题2】 过F作于G，作BF垂直平分线交BC于H，连接FH，如图： 由旋转的性质可知：，，，和是等边三角形为等腰直角三角形，，，，，，为等腰三角形，，，；  【小题3】 连接AN，BM，如图：和为等边三角形，，，即≌是等边三角形ABC的中线，在AC的垂直平分线上当M与D重合时，N在AC上，当M与A重合时，以AC为边，的路径长为   【解析】 略  略  略 7.【答案】【小题1】 解：；  【小题2】 如图1，在中设，，，，   ①当D在BC上方时：；  ②当D在BC下方时：，  由①②可得：D到BC的距离为：或   【小题3】 取BC中点M，连GM，则GM始终平行且等于  如图2，是起始位置，是终止位置 点G所经过的路径长为：；  【小题4】   【解析】 略  略  略  略 8.【答案】解：如图1，就是旋转后的三角形； 如图，将绕点D逆时针旋转得到， ，， 、C、F三点共线， 由旋转可知，，， ， ，， ≌， ，的面积的面积， ， 的面积的面积， 面积 ，，， ， ， ，且， ， ， ， ， ，或舍去， 的最小值为， 面积的最小值为； 存在，理由如下：过点D作于点M，于点N，则四边形DMCN是正方形， 求四边形DECF的面积最大，即求和的和最小； ，点D为AB的中点， 由中结论可知，的面积的面积，面积 ，，， ，即， ， ，即 ，即， 和的面积和为的面积，即 四边形DECF的面积最大值为正方形CMDN与和的面积和之差，即  【解析】根据旋转画出图形即可； 根据旋转的性质得到，，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得；得到面积根据完全平方公式得到，求得得到EF的最小值为，求得面积的最小值为，于是得到结论； 先构造出直角三角形，由于四边形DECF面积，于是得到当的和最小时，四边形DECF的面积有最大值． 本题属于几何综合题中类比探究，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理以及旋转的性质，利用偶次方的非负性求最值，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键． 9.【答案】【小题1】 证明：由题意，得≌， 所以，，， 所以，即点G在直线CD上． 因为，所以 所以 又因为，， 所以≌，所以 因为，所以 所以 【小题2】   【小题3】 把绕点A逆时针旋转至，连接过点A作，垂足为因为，，所以因为，所以是等边三角形，所以根据旋转的性质得到，≌因为，所以，即点G在CD的延长线上．易得，所以，在中，，所以，所以因为，所以所以所以≌，所以因为，所以，即这条道路EF的长约为   【解析】 见答案   延长CB至点M，使，连接 因为，， 所以 因为，， 所以≌，所以， 因为 ，所以 ． 所以 因为，， 所以≌，所以， 所以，所以 所以当时，仍有  见答案 10.【答案】【小题1】 ≌     5 【小题2】   理由：如图①，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，过点D作，交边于点H，连接由旋转的特征，得，，由题意，得，在和中，≌又为正方形ABCD的对角线，，在和中，≌，在和中，≌在中，， 【小题3】   【小题4】 如图③，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，过点E作于点G，过点作于点，过点作，过点D作，交AB于点H，、DF交于点由旋转，得，，，，，，即在和中，≌，，，又，，，，，同理，可得，，，，，又，，四边形为矩形，，在中，     【解析】 略  略   如图②，延长FE交AB的延长线于点M，延长EF交AD的延长线于点N，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接HM、HE， 则，，， ， 在和中， ≌ 过点H作，交CB的延长线于点O，则四边形OHGB为矩形. ， ， ，，都是等腰直角三角形. ，， 在中，由勾股定理，得，即，即 又，，， ，即  略 11.【答案】解：和都是等腰直角三角形，， ，， ，即， 点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点， ，，，， ，，， ，即， ， ， ，即 故答案为：， 如图，连接BD，    把绕点C逆时针方向旋转， ， 在和中，， ≌， ，， 点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点， ，，，， ，，， 是等腰三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 如图，当点E在线段BD上时，    ≌， ，， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 点N为AB中点， 如图，当点D在线段BE上时，    同理可得：，，， ， ， 点N为AB中点， 综上所述：线段EN的长度为或   【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质及线段的和差关系得出，根据中位线的性质可得，，，，即可证明，，，根据角的和差关系得出即可得答案； 根据旋转的性质，利用SAS证明≌，可得，，根据中位线的性质及角的和差故选得出，即可得答案； 根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差故选得出，根据等腰三角形的性质得出，分点E在线段BD上时，当点D在线段DE上时两种情况，得出BE的长，利用勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 本题考查等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、外角性质、平行线的性质及直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 12.【答案】【小题1】 证明：，，， ， ， ， 又， ≌； 【小题2】 如图所示，过点C作轴于点E，    将线段AB绕点B逆时针旋转得到BC， ， 又， ， ≌， ， 一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B， 当时，，即， 当时，，即， ， ， ； ②，设直线AC的解析式为， 将代入得： 解得： 直线AC的解析式为， 【小题3】 抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧， 当时，， 解得：， ，； ①当M点在x轴下方时，如图所示，连接MB，过点Q作于点H，过点H作轴于点D，过点B作，于点E，    ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，， ， 解得：， ， 设直线BH的解析式为， 代入，得：， 解得：， 直线BM解析式为， 联立， 解得：舍去，； ②当M点在x轴的上方时，如图所示，过点Q作于点G，过点G作轴，交y轴于点F，过点B作于点P，    同理可得， ， 设，则， ， ，， ， ， 解得：， ， 设直线MB的解析式为， 代入，得：， 解得：， 直线MB的解析式为， 联立， 解得：舍去，， 综上所述，M的横坐标为或   【解析】  根据题意得出，，证明≌，即可得证；   ①过点C作轴于点E，同的方法，证明≌，根据一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，求得，，进而可得C点的坐标； ②由，设直线AC的解析式为，将点代入得直线AC的解析式为；   根据解析式求得，；①当M点在x轴下方时，如图所示，连接MB，过点Q作于点H，过点H作轴于点D，过点B作，于点E，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线BM的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当M点在x轴的上方时，如图所示，过点Q作，于点G，过点G作轴，交y轴于点F，过点B作于点P，同①的方法即可求解． 13.【答案】解：，， ，， 轴， ，抛物线的对称轴为直线， ， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 即； ， ， 设直线AD的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线AD的解析式为； 设， 点N关于直线的对称点为， ， 把代入得， 点坐标为； 存在． 直线交x轴于M，作直线于N，如图，设， 线段TB绕点T逆时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上， ，， ，， ， 在和中 ， ≌， ，， 点的坐标为， 把代入， 得， 解得，， 点T的坐标为或   【解析】本题本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，旋转的性质，运用待定系数法求一次函数解析式，会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质． 先确定，，，则确定抛物线的对称轴为直线，则利用对称性可得到，设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式； 把解析式配成顶点式得到，再利用待定系数法求出直线AD的解析式为；设，利用对称的性质得到，然后把代入求出t，从而得到T点坐标； 直线交x轴于M，作直线于N，设，利用旋转的性质得，，再证明≌得到，，则点的坐标为，然后把代入得，解关于m的方程即可得到点T的坐标． 14.【答案】解：令代入， ， ， 把代入， ， ， 二次函数解析式为：； 令代入， ， 或3， 抛物线与x轴的交点横坐标为和3， 在抛物线上，且在第一象限内， ， 令代入， ， 的坐标为， 由题意知：M的坐标为， ， 当时，S取得最大值 ①由可知：M的坐标为， 当时，， 的坐标为； ②过B点作BD垂直于于D点，过点作垂直于于E点，则，， ，且是定值， 当取得最大值时，AC应该取得最小值，当时AC取得最小值． 根据和可得， ， ， 当时，， ， 当最大时，直线旋转的角度是  【解析】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，求三角形面积等知识． 利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值，进而得出抛物线的函数表达式； 设M的坐标为，然后根据面积关系由，即可列出S与m的函数表达式，并根据二次函数的性质求出S的最大值； ①由可知，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值； ②由，且是定值，当取得最大值时，AC应该取得最小值，当时AC取得最小值．求出AC的最小值，根据锐角三角函数定义即可求解． 15.【答案】解：将点，代入 中，得： ， 解得：， 该抛物线表达式为； 如图1，过点P作轴，交x轴于点D，交BC于点E，作于点F，连接PB，PC， 设点，则点E ， ， 联立方程组：， 解得：，， 点B坐标为， 点C的坐标为， ， ，其中， ， 这个二次函数有最大值． 当时，的最大值为； ①如图2，设，， 作轴于点G，轴于H， ， 线段OM绕点O旋转，得到线段ON， ，， ， ， 在与中， ， ≌， ，， ， 解得：，， ， ， ②如图3，设，， 作轴于点G，轴于H， ， 线段OM绕点O旋转，得到线段ON， ，， ， ， 在与中， ， ≌， ，， ， 解得：，， ，； 综上所述，点M的坐标为， ，，  【解析】利用待定系数法即可求得答案； 如图1，过点P作轴，交x轴于点D，交BC于点E，作于点F，连接PB，PC，设点，则点E ，可得出，再通过解方程组求出点C的坐标为，利用三角形面积公式和二次函数性质即可得出答案； 设，，作轴于点G，轴于H，证明与全等，由全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、几何图形的旋转、全等三角形的判定与性质及一元二次方程等知识点，运用数形结合思想、分类讨论思想及熟练掌握全等三角形判定和性质及二次函数性质是解题的关键． 16.【答案】解：设抛物线解析式为， 把点，代入得， ， 解得， 经过O，A，B三点的抛物线解析式为， ， 顶点M的坐标为 点P从点O出发速度是每秒2个单位长度， ， 点P的坐标为， ， ， 点Q到x轴，y轴的距离都是， 点Q的坐标为； 绕着点P按逆时针方向旋转， 旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为，， 若顶点O在抛物线上，则， 解得舍去， 时，点在抛物线上， 若顶点Q在抛物线上，则， 解得舍去， 时，点在抛物线上． 点Q与点A重合时，，， 点P与点C重合时，，， 时，，，此时PQ经过点B， 所以，分三种情况讨论： ①时，， ②时，； ③时，； 所以，S与t的关系式为  【解析】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于随着运动时间的变化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观． 设抛物线解析式为，然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标； 根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可； 根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可； 求出点Q与点A重合时的，点P与点C重合时的，时PQ经过点B，然后分①时，重叠部分的面积等于的面积，②时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，③时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$