精品解析：广东省广州市第四中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

广州市第四中学2024学年第二学期5月月考试题 高二数学 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.） 1. 下列求导数运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 3. 某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（ ） A. 120 B. 72 C. 64 D. 48 4. 已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ） A. B. C. D. 5. 健康的饮食和科学的运动能够有效减少低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名青年人，得到列联表如下： 肥胖 不肥胖 总计 低密度脂蛋白不高于 10 65 75 低密度脂蛋白高于 10 15 25 总计 20 80 100 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 由此得出的正确结论是（ ） A. 在犯错误概率不超过的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关” B. 在犯错误概率不超过的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” C. 肥胖的青年人中低密度脂蛋白高于的百分比为 D. 低密度脂蛋白高于的青年人中肥胖的百分比为 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的连续函数，且为奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 8. 张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分.有错选的得0分） 9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量 11 10 8 6 5 按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量线性正相关 C. 相应于点的残差约为 D. 当时，的估计值为14.4 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 11. 已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. 函数可能有四个零点 D. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 中常数项是_________．（写出数字） 13. 已知数列中，，，则数列的通项公式为_______. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 15. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数在的最大值和最小值． 16. 已知是数列的前n项和，且． （1）求的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前n项和． 17. 2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 （1）通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ （2）园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； （3）为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数， （1）当时，求函数在点处的切线方程; （2）证明:恒成立； （3）证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第四中学2024学年第二学期5月月考试题 高二数学 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.） 1. 下列求导数运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数的导数公式及导数的运算法则求解判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：D 2. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为． 故选：A． 3. 某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（ ） A. 120 B. 72 C. 64 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为. 故选：B 4. 已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质及通项公式逐项求解判断. 【详解】对于A，，则，A不是； 对于B，设等差数列的公差为，，B不是； 对于D，，则，D不是； 对于C，，而值不确定， 因此不确定，C是. 故选：C 5. 健康的饮食和科学的运动能够有效减少低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名青年人，得到列联表如下： 肥胖 不肥胖 总计 低密度脂蛋白不高于 10 65 75 低密度脂蛋白高于 10 15 25 总计 20 80 100 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 由此得出的正确结论是（ ） A. 在犯错误概率不超过的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关” B. 在犯错误概率不超过的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” C. 肥胖的青年人中低密度脂蛋白高于的百分比为 D. 低密度脂蛋白高于的青年人中肥胖的百分比为 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出卡方的值，和比较，根据独立性检验的理论，即可判断A和B；计算出肥胖的青年人中低密度脂蛋白高于的百分比，即可判断C；计算出低密度脂蛋白高于的青年人中肥胖的百分比，即可判断D. 【详解】因为， 这意味着在犯错误概率不超过的前提下， 认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”，故A正确，B错误； 肥胖的青年人中低密度脂蛋白高于的百分比为，故C错误； 低密度脂蛋白高于的青年人中肥胖的百分比为，故D错误. 故选：A 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意得：，即， 由，得，从而得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，所以，解得. 故选：A. 7. 已知是定义在上的连续函数，且为奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式. 【详解】令，因为是奇函数，即， ，是奇函数； 又当时，， 在上单调递增，在上单调递增； 是定义在上的连续函数，所以在上单调递增； 又，， 对于不等式，又，所以， 所以不等式等价于，即，即， 所以，即不等式解集为． 故选：A． 8. 张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据全概率公式得到数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式，可求. 【详解】设表示第个月去公司，则，， 根据题意，得，， 由全概率公式，得 ， 即，整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故选：A 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分.有错选的得0分） 9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量 11 10 8 6 5 按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量线性正相关 C. 相应于点的残差约为 D. 当时，的估计值为14.4 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A由样本中心在回归方程上求参数；对选项B由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；对选项C利用残差的定义求残差；对选项D将8代入回归方程求估计值. 【详解】由表格知：， 所以，可得，A正确； 由相关系数且回归方程斜率为负， 则变量线性负相关且相关性较强，B错误； 由，故残差为，C错误； 由，D正确； 故选：AD. 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数公式可得，利用赋值法即可求解求解AB,根据即可求解C，求导，即可求解D. 【详解】根据题意可知，故， 故， 对于A，令，则，令，则，故，故A错误， 对于B，， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确， 对于C, ,故除以8所得的余数为1，C正确， 对于D，对求导可得 ，令可得，故D正确， 故选：BCD 11. 已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. 函数可能有四个零点 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于B，，证明函数是奇函数即可；对于C，将方程等价变形为，由此即可判断；对于D，由，而，进一步求导运算即可；对于A，通过构造函数可得，由此即可判断. 【详解】对于B，， 设，则它的定义域为，它关于原点对称， 且，所以是奇函数， 由题意有三个根，则，故B正确； 对于C，由， 所以， 所以， 即已经有3个实根， 当时，令，则，只需保证可使得方程有4个实根，故C正确； 由B可知，，而， 又， 所以 ，故D正确； 对于A，，设， 则，所以， 从而，故A错误. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是发现，进一步只需验证是奇函数即可顺利得解. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 中常数项是_________．（写出数字） 【答案】559 【解析】 【分析】将多项式看成6个因式的乘积，分别从6个因式中进行选项，考虑所有的选法共有三种情形，借助于组合数计算即得. 【详解】因为多项式表示6个的乘积，所以从6个因式中选2个，4个， 或者选1个，2个，3个2或者6个2即可求出展开式的常数项. 故展开式的常数项为 故答案为：559. 13. 已知数列中，，，则数列的通项公式为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式，利用累乘法，结合已知条件，求解即可. 【详解】由题可知：，当时，， ， 经检验，当时也符合，故. 故答案为：. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 15. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数在的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2）在上的最大值为，最小为. 【解析】 【分析】（1）先求出，再求出函数的导数后可求，结合切线方程可得，； （2）讨论导数在上的符号，从而可得单调性，故可求最值. 【小问1详解】 由可得且， 故，而函数图象在点处的切线方程为， 故即. 【小问2详解】 由（1）得且， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 而，， ，， 故在上的最大值为，最小为. 16. 已知是数列的前n项和，且． （1）求的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位相减法可求通项（注意检验首项），利用公式法可求； （2）利用裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有，也符合上式， 所以，而，故是首项为2，公比4的等比数列， 故. 【小问2详解】 当时，有 当时，有， 所以有 . 17. 2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 （1）通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ （2）园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； （3）为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 【答案】（1），21条 （2） （3）方式一 【解析】 【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘估计法求和，即可求解回归方程，再根据方程转化为不等式，即可求解； （2）根据古典概型概率公式，结合组合公式，即可求解； （3）分别求两个方式的分布，以及期望，比较大小，即可判断. 【小问1详解】 设， 则，，∴ 令，，∴至少应开放21条滑道 【小问2详解】 设事件“小红排队时间总和恰为120分钟” 则4个体验项目选取3个，或是超级冰滑梯和雪花摩天轮选1个，或是梦想大舞台3个中选2个，则 ， 【小问3详解】 方式①：中奖次数， 方式二：设中奖次数为 ， ， ，所以选方式一 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 依题意得，解得 ，即； 【小问2详解】 ①由， ， ， 所以 ， ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又 当时，；时， 所以，且， 则 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离构造函数，差比判断函数的单调性. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数， （1）当时，求函数在点处的切线方程; （2）证明:恒成立； （3）证明: 【答案】（1） （2） 易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. （3） 由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）根据不等式构造函数和分别证明大于等于零恒成立即可； （3）依据（2）中结论可得，再利用等比数列前项和公式计算可得证明得出结论. 【小问1详解】 当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $