专题06 有理数与数轴-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题06 有理数与数轴 预习目标 1 新课轻松学 2 新知速通 2 题型探究 4 题型1、有理数的相关概念辨析 4 题型2、有理数的分类 5 题型3、数轴的三要素及其画法 7 题型4、用数轴上的点表示有理数及数轴上的点与有理数的关系 10 题型5、利用数轴比较有理数的大小 11 题型6、数轴上两点之间的距离 12 题型7、数轴上的动点问题 13 基础通关 15 拓展提优 19 1. 了解有理数的定义，会判断一个数是否为有理数； 2. 会对有理数进行分类，掌握对含“非”相关数概念； 3. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素； 4. 能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数； 5. 结合所学知识熟练解决数轴上的动点问题； 6. 初步感受数形结合、分类讨论的思想。 【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写成分数的形式呢？ 【思考2】请读出图中温度计的读数，再比较这些温度的大小。 【思考3】长安街是北京一条东西向的主干道。我们把长安街看作一条直线，如下图，以天安门为分界点，向东用“+”表示，向西用“-”表示、根据图中的比例尺，西单地铁站、东单地铁站的大致位置可以分别用哪个有理数表示？国家大剧院的北门在长安街上，若它对应-750m，你能标出它的大致位置吗？ 【思考4】1）对于有理数a，b，思考a，b的有哪些数量关系？（可借助数轴理解） 2）我们在小学学习过自然数的大小关系具有传递性：对于自然数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c。 那么对于有理数a，b，c，他们也具有传递性吗？ 【数轴的历史起源】笛卡尔在1637年创立平面直角坐标系时首次提出数轴概念。据传，他在病中观察到蜘蛛在墙角织网的动作，受到启发。他设想将蜘蛛视为空间中的一个点，并通过三条相交线（墙面与地面的交线）构建坐标系，用有序数对描述点的位置。这种将几何图形与代数方程结合的思路，突破了传统数学的局限性。数轴的发明不仅是数学工具的突破，更体现了从自然现象到抽象理论的思维飞跃。 1.有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 其中：正整数和零称为自然数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数可化为分数，所以它们也是分数。 正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，，-3.56等这样的数叫作负分数； 3）有理数：整式和分数统称为有理数。 亦可将有理数理解为比例数，即可以写成分数形式的数，有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）．注意在用此定义理解有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数． 2.有理数的分类 3.常用数学概念 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0 4.数轴的定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： 1）原点：画一条水平直线，并在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点。 2）正方向：通常规定直线上从原点向右为正方向（画箭头表示），从原点向左为负方向。 3）单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 5.数轴的画法 1）画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； 2）在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； 3）确定向右的方向为正方向，用箭头表示； 4）选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 6.利用数轴比较有理数的大小 1）在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左边的数大；如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b。 2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 3）对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立：a＞b，a=b，a＜b。 4）对于有理数a，b，c，①若a＞b，b＞c，则a＞c；②若a＜b，b＜c，则a＜c。（不等式的传递性） 7.有理数与数轴的关系 1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 2）数轴上的点并不全表示有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 3）正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 4）与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 题型1、有理数的相关概念辨析 【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 例1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各数：，，，，，，，其中有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·天津·阶段练习）对于，下列说法不正确的是（   ） A．是非正数 B．是分数 C．是有理数 D．是非负整数 例4．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 例5．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 变式2．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）在 ，，，，，，，，中，有理数有 个，非负整数有个，分数有个，则的值为 ． 变式3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列有理数中：，，，，10，，0，，非正数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 变式5．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零 C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数 变式6．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中正确的有（    ） ①一个数前面加上“”号就是负数；②非负数就是正数；③0既不是正数，也不是负数；④正数和负数统称为有理数；⑤正整数与负整数统称为整数；⑥正分数与负分数统称为分数；⑦0是最小的整数；⑧最大的负数是． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型2、有理数的分类 【解题技巧】 正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数； 正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数； 整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 有理数：整数和分数统称为有理数。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填入相应的大括号内： 11，，6.5，，，0，1，，． (1)正数集合：{        …}； (2)负数集合：{        …}； (3)整数集合：{        …}； (4)正整数集合：{        …}； (5)负整数集合：{        …}； (6)正分数集合：{        …}； (7)负分数集合：{        …}； (8)有理数集合：{        …}． 例2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，3，，0，0.02，，，，，2020． 正数集合{______________________________________________…}； 负数集合{______________________________________________…}； 整数集合{______________________________________________…}； 分数集合{______________________________________________…}； 非负有理数集合{________________________________________…}． 例3．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，1.4，，，0，，，（每两个1之间逐次增加一个0）． 正数集：{                 ，…}； 非负整数集：{             ，…}； 负分数集：{               ，…}； 有理数数集：{             ，…}． 变式1．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， 正整数集： 负分数集： 整数集： 正有理数集： 负有理数集： 自然数集： 有理数集： 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 变式3．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）将下列各数填在相应的集合里 ，，π，1，，，0，0.63， ， 分数集合：　           　； 负有理数集合：　              　； 非负整数集合：　           　； 非负有理数集合：　                 　． 题型3、数轴的三要素及其画法 【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：1）画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；2）在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；3）确定向右的方向为正方向，用箭头表示；4）选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）如图所画数轴正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 变式1．（24-25七年级上·广西来宾·期中）下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 变式5．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 题型4、用数轴上的点表示有理数及数轴上的点与有理数的关系 【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为。 例1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 例2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在直线的位置是（    ）． A．点左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点右边 例3．（2025·河北唐山·二模）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 例4．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 例5．（22-23七年级上·重庆·期中）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，表示3的点与表示数 的点重合． 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ． 变式2．（2025·河南安阳·三模）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 变式4．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）下列说法：①规定了原点、正方向，单位长度的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ 变式5．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 题型5、利用数轴比较有理数的大小 【解题技巧】1）正方向上，离原点越远，数越大； 2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）. 注：在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左边的数大。 例1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，若点，，所对应的数为，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·山西晋中·三模）若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 例3．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 变式1．（2025·贵州铜仁·二模）如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　） A． B． C． D． 变式2．（2025·安徽·三模）将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（    ） A． B． C．0 D． 变式3．（23-24七年级上·青海西宁·期中）先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 题型6、数轴上两点之间的距离 【解题技巧】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。 如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3。 在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。 例1．（2025·陕西榆林·三模）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 例2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 ． 例3．（24-25七年级上·重庆江北·期中）已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 例4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 变式1．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）在数轴上表示与8的点的距离是（    ） A．6 B．10 C． D． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）点 A在数轴上表示3，若点A到点B的距离为4，则点B表示的数是 ． 变式3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知数轴上的点表示的数为，点是数轴上的点，原点为，且，若点是的中点，那么点表示的数是（    ） A．2或 B．2或4 C．或3 D．1或3 变式4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果直线上点到原点（表示0的点）的距离为2，点到原点的距离为7，那么点与点的距离可能是 ． 变式5．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 题型7、数轴上的动点问题 【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们将结合其他知识进行细致阐述，本考点中只对数轴中点的简单移动做一些基础的认识。 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 例2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 例3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上，将表示的点先向左移动3个单位后再向右移动6个单位长度，此时这个点表示的数是 ． 例4．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 例5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 例6．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知，如图所示，是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ． 变式1．（24-25七年级上·江西九江·期中）数轴上点表示的数是，那么将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是 变式2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是9 （1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为 ． （2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是 ． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用数轴，解答下列问题： (1)已知点B在数轴上表示的数是3，将点B先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，则移动后点B表示的数是多少？ (2)已知点C在数轴上，将它向右移动4个单位长度后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则点C原来表示的数是多少？ 变式4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式5．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 变式6．（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上从左到右依次有 ，，三点，点表示的数为，电子蚂蚁甲从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过秒恰好运动到点． (1)点所表示的数为 ． (2)电子蚂蚁乙从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且与电子蚂蚁甲同时出发，恰好在点相遇，求点所表示的数． 1．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列各数（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 3．（24-25七年级上·北京·期中）下列说法： ①整数包括正整数和负整数； ②分数包括正分数和负分数； ③既是负数也是整数，但不是自然数； ④0既是正整数也是负整数． 其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25七年级上·四川眉山·期末）把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{                     …}； 非负整数：{                 …}； 整数：{                　   …}； 负分数：{                   …}． 5．（24-25七年级上·云南昆明·期中）把下列各数分别填入相应的大括号里 ，，，，1，，0，，0.63，，， (1)有理数集合：{                   } (2)分数集合：{                   } (3)负数集合：{                   } (4)非负整数集合：{                   } 6．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 8．（24-25七年级上·河北邢台·期中）琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 11．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2024年10月1日20时应是（   ） A．纽约时间2024年10月1日5时 B．伦敦时间2024年10月1日12时 C．巴黎时间2024年10月1日7时 D．汉城时间2024年10月1日19时 12．（24-25七年级上·福建福州·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来： 2，0，，，． 13．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 14．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）数轴上的点M表示，将点M向右平移5个单位后，再向右平移3个单位到点N，那么点N表示的数是（   ） A．6 B． C． D． 15．（2025·河北沧州·一模）如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（    ） A．7 B．6 C．14 D．12 16．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 17．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 19．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，其中错误的有 个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 2．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024七年级上·全国·专题练习）黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 6．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 7．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级上·山西太原·期末）阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 9．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数与数轴 预习目标 1 新课轻松学 2 新知速通 2 题型探究 4 题型1、有理数的相关概念辨析 4 题型2、有理数的分类 8 题型3、数轴的三要素及其画法 13 题型4、用数轴上的点表示有理数及数轴上的点与有理数的关系 18 题型5、利用数轴比较有理数的大小 23 题型6、数轴上两点之间的距离 25 题型7、数轴上的动点问题 29 基础通关 36 拓展提优 46 1. 了解有理数的定义，会判断一个数是否为有理数； 2. 会对有理数进行分类，掌握对含“非”相关数概念； 3. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素； 4. 能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数； 5. 结合所学知识熟练解决数轴上的动点问题； 6. 初步感受数形结合、分类讨论的思想。 【思考1】我们在小学和上一节已经学习过那些数？这些数能否写成分数的形式呢？ 【思考2】请读出图中温度计的读数，再比较这些温度的大小。 【思考3】长安街是北京一条东西向的主干道。我们把长安街看作一条直线，如下图，以天安门为分界点，向东用“+”表示，向西用“-”表示、根据图中的比例尺，西单地铁站、东单地铁站的大致位置可以分别用哪个有理数表示？国家大剧院的北门在长安街上，若它对应-750m，你能标出它的大致位置吗？ 【思考4】1）对于有理数a，b，思考a，b的有哪些数量关系？（可借助数轴理解） 2）我们在小学学习过自然数的大小关系具有传递性：对于自然数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c。 那么对于有理数a，b，c，他们也具有传递性吗？ 【数轴的历史起源】笛卡尔在1637年创立平面直角坐标系时首次提出数轴概念。据传，他在病中观察到蜘蛛在墙角织网的动作，受到启发。他设想将蜘蛛视为空间中的一个点，并通过三条相交线（墙面与地面的交线）构建坐标系，用有序数对描述点的位置。这种将几何图形与代数方程结合的思路，突破了传统数学的局限性。数轴的发明不仅是数学工具的突破，更体现了从自然现象到抽象理论的思维飞跃。 1.有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 其中：正整数和零称为自然数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数可化为分数，所以它们也是分数。 正分数：像，，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，，-3.56等这样的数叫作负分数； 3）有理数：整式和分数统称为有理数。 亦可将有理数理解为比例数，即可以写成分数形式的数，有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）．注意在用此定义理解有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数． 2.有理数的分类 3.常用数学概念 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0 4.数轴的定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： 1）原点：画一条水平直线，并在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点。 2）正方向：通常规定直线上从原点向右为正方向（画箭头表示），从原点向左为负方向。 3）单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 5.数轴的画法 1）画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； 2）在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； 3）确定向右的方向为正方向，用箭头表示； 4）选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 6.利用数轴比较有理数的大小 1）在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左边的数大；如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b。 2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 3）对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立：a＞b，a=b，a＜b。 4）对于有理数a，b，c，①若a＞b，b＞c，则a＞c；②若a＜b，b＜c，则a＜c。（不等式的传递性） 7.有理数与数轴的关系 1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 2）数轴上的点并不全表示有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 3）正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 4）与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 题型1、有理数的相关概念辨析 【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 例1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．据此判断即可． 【详解】解：是有理数，有6个． 故选B． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各数：，，，，，，，其中有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，整数和分数统称为有理数，根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在，，，，，，中，有理数是，，，，，共有个， 故选：D． 例3．（24-25七年级上·天津·阶段练习）对于，下列说法不正确的是（   ） A．是非正数 B．是分数 C．是有理数 D．是非负整数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，有理数的分类，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据非正数，分数，有理数，非负整数的定义即可判断． 【详解】解：A、，非正数是指0和负数，故说法正确，不符合题意； B、是无限循环小数，是分数，故说法正确，不符合题意； C、是无限循环小数，是有理数，故说法正确，不符合题意； D、非负整数是指0和正整数，则不是非负整数，故说法错误，符合题意． 故选：D． 例4．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 例5．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 变式1．（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，对各个数进行判断即可． 【详解】解：、、、、、每两个之间依次一个、， 其中有理数为、、、、，共5个， 故选：C． 变式2．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）在 ，，，，，，，，中，有理数有 个，非负整数有个，分数有个，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的减法运算，先根据有理数，非负整数，分数的概念确定的值，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：有理数有，，，，，，，，共 个， ∴， 非负整数有，，，共个， ∴， 分数有，，，共个， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列有理数中：，，，，10，，0，，非正数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非正数的定义找到符合题意的数，即可得出结果． 【详解】解：题中有理数非正数有：，，，0，，共5个数， 故选：C． 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的定义，利用有理数的定义，有理数包括整数和分数，故是有理数． 【详解】解：∵是分数， ∴是有理数， 故选：A． 变式5．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零 C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类和意义，逐一分析即可判断求解，掌握有理数的分类和意义是解题的关键． 【详解】解：A、是最大的负整数，该选项错误，不合题意； B、有理数包括整数和分数，该选项错误，不合题意； C、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意； D、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意； 故选：D． 变式6．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中正确的有（    ） ①一个数前面加上“”号就是负数；②非负数就是正数；③0既不是正数，也不是负数；④正数和负数统称为有理数；⑤正整数与负整数统称为整数；⑥正分数与负分数统称为分数；⑦0是最小的整数；⑧最大的负数是． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的分类， 根据负数的定义可判断；根据有理数的分类可判断②③④；根据整数和分数的分类可判断⑤⑥；根据既没有最小的整数也没有最大的负数可判断⑦⑧． 【详解】解：①一个数前面加上“”号不一定是负数，如，故①不正确；； ②非负数不仅有正数还有0，故②不正确； ③0既不是正数，也不是负数，故③正确； ④正数，0和负数统称为有理数；故④不正确； ⑤正整数，0与负整数统称为整数，故⑤不正确； ⑥正分数与负分数统称为分数，故⑥正确； ⑦没有最小的整数，故不正确； ⑧没有最大的负数．故不正确． 所以，上列说法中正确的是③⑥：正确的个数是2个， 故选：． 题型2、有理数的分类 【解题技巧】 正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数； 正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数； 整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 有理数：整数和分数统称为有理数。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填入相应的大括号内： 11，，6.5，，，0，1，，． (1)正数集合：{        …}； (2)负数集合：{        …}； (3)整数集合：{        …}； (4)正整数集合：{        …}； (5)负整数集合：{        …}； (6)正分数集合：{        …}； (7)负分数集合：{        …}； (8)有理数集合：{        …}． 【答案】(1)11，6.5，，1 (2)，，， (3)11，，0，1， (4)11，1 (5)， (6)6.5， (7)， (8)11，，6.5，，，0，1，， 【分析】考查有理数的分类，根据有理数的分类和概念求解即可． 【详解】（1）解：正数集合：{11，6.5，，1…}； （2）解：负数集合：{，，，…}； （3）解：整数集合：{11，，0，1，…}； （4）解：正整数集合：{11，1…}； （5）解：负整数集合：{，…}； （6）解：正分数集合：{6.5，…}； （7）解：负分数集合：{，…}； （8）解：有理数集合：{11，，6.5，，，0，1，，…}． 例2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，3，，0，0.02，，，，，2020． 正数集合{______________________________________________…}； 负数集合{______________________________________________…}； 整数集合{______________________________________________…}； 分数集合{______________________________________________…}； 非负有理数集合{________________________________________…}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数分为正数、负数和零进而确定正数、负数集合即可；根据整数分为零和正整数、负整数进而确定整数集合即可；有限小数和无限循环小数是分数来确定分数集合，正有理数和零是非负有理数确定非负有理数集合即可． 【详解】解：正数集合{3，0.02，，，，2020，…}； 负数集合{，，，…}； 整数集合{，3，0，2020，…}； 分数集合{，0.02，，，，，…}； 非负有理数集合{3，0，0.02，，，，2020，…}． 故答案为：，，；，，；，3，0，2020；，0.02，，，，；3，0，0.02，，，，2020． 例3．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，1.4，，，0，，，（每两个1之间逐次增加一个0）． 正数集：{                 ，…}； 非负整数集：{             ，…}； 负分数集：{               ，…}； 有理数数集：{             ，…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是正数，负数，整数，有理数的概念，有理数的分类，熟悉有理数的分类是解题的关键. 根据正数，负数，非负整数，负分数，有理数的概念逐一填空即可. 【详解】解：正数集：{5，1.4，，…}； 非负整数集：{5，0，…}； 负分数集：{ ，，…}； 有理数数集：{ 5，，1.4，，，0，，…}． 变式1．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， 正整数集： 负分数集： 整数集： 正有理数集： 负有理数集： 自然数集： 有理数集： 【答案】{5}；{，}；{5，，，0}；{5，，，}；{，，，}；{5，0}；{5，，，，，，，0，} 【分析】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类方法．按照有理数的分类即可求解． 【详解】解：正整数集：{5}； 负分数集：{，}； 整数集：{5，，，0}； 正有理数集：{5，，，}； 负有理数集：{，，，}； 自然数集：{5，0}； 有理数集：{5，，，，，，，0，}； 故答案为：{5}；{，}；{5，，，0}；{5，，，}；{，，，}；{5，0}；{5，，，，，，，0，}． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 【答案】，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正整数、正数，负分数、负数、非负整数、和分数的定义与特点是解题的关键． 直接利用有理数的相关概念分析得出答案，特别注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【详解】解：正整数集：{，，}； 正数集：{，，，，，}； 负分数集：{，，，，}； 负数集：{，，，，，，}； 非负整数集：{，，，}； 分数集：{，，，，，，，} 故答案为：，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 变式3．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）将下列各数填在相应的集合里 ，，π，1，，，0，0.63， ， 分数集合：　           　； 负有理数集合：　              　； 非负整数集合：　           　； 非负有理数集合：　                 　． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．分别根据分数、负有理数、非负整数、非负有理数的定义进行分类即可． 【详解】解：分数集合：； 负有理数集合：； 非负整数集合：； 非负有理数集合：． 题型3、数轴的三要素及其画法 【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：1）画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；2）在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；3）确定向右的方向为正方向，用箭头表示；4）选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的定义，掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线成为解题的关键．根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线， ∴D选项符合题意． 故选：D． 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案． 【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意； B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意； D、是数轴，符合题意； 故选：D． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A. 具备了三要素，但是单位长度不同， 该选项错误，不符合题意；     B. 具备了三要素，但是负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意；     C. 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D. 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 例4．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）如图所画数轴正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键．根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：①单位长度不统一，故本选项错误； ②不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； ③不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； ④没有正方向，不符合数轴的特点，故本选项错误． ⑤不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； ⑥规定了原点，正方向，单位长度，符合数轴的特点，故本选项正确； ⑦没有原点，故本选项错误； 故选：A． 例5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 变式1．（24-25七年级上·广西来宾·期中）下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查画数轴，根据数轴的三要素，原点，单位长度，正方向，进行判断即可． 【详解】解：A、没有正方向，错误，不符合题意； B、单位长度不统一，错误，不符合题意； C、画法正确，符合题意； D、没有原点，错误，不符合题意； 故选C． 变式2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法．根据数轴的特点“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴”进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误； （2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误； （4）符合数轴的特点，正确． 综上，只有一个是正确． 故选：A． 变式3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上表示数的特点即可求解，熟练掌握数轴上表示数的特点是解题的关键． 【详解】解：原点和原点右边的点表示的数是非负数， 故选：C． 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 变式5．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 题型4、用数轴上的点表示有理数及数轴上的点与有理数的关系 【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为。 例1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 例2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在直线的位置是（    ）． A．点左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点右边 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴在直线的位置是在点与点之间． 故选：C． 例3．（2025·河北唐山·二模）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是2.3． 故选：C． 例4．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，直接利用数轴的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意； B、在数轴上表示3和的两个点之间的距离是，说法正确，故选项B不合题意； C、数轴上存在可以表示的点，故原说法正确，选项C不合题意； D、可以表示正数，因此数轴上表示的点不一定在原点的左边，说法错误，故选项D符合题意． 故选：D． 例5．（22-23七年级上·重庆·期中）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，表示3的点与表示数 的点重合． 【答案】1 【分析】先求出折痕和数轴交点表示的数，再由所求数表示的点与表示3的点关于折痕和数轴交点对称，即可得答案． 【详解】解：折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，折痕和数轴交点表示的数是， ∴表示3的点与折痕和数轴交点的距离是， ∴表示3的点与表示数的点重合， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用有理数表示数轴上的点，原点左边为负数，右边为正数，且每一小格表示，根据数轴写出答案即可． 【详解】根据题意得 点表示的数是， 点表示的数写成小数是， 点表示的数写成分数是， 故答案为：，，． 变式2．（2025·河南安阳·三模）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据可知在和之间，且离比较近． 【详解】解：， 在和之间，且离比较近， 有理数在数轴上对应的点的位置应是A选项中的位置． 故选：A． 变式3．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一应，根据题目中的条件，可以把四个点分别求出来，即可判断． 【详解】解：数轴上与5两点间的线段的长度为， 平均每条线段的长度为：， 所以，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， 因此，位置最靠近原点的是点C， 故选：C． 变式4．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）下列说法：①规定了原点、正方向，单位长度的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ 【答案】C 【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法正确； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数，说法错误； ③有理数在数轴上无法表示出来，说法错误，可以表示； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故正确的结论有：①④， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 变式5．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【答案】(1) (2)或1 (3)1009， 【分析】（1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，然后分A表示的数为5或两种情况分别求出B点表示的数即可； （3）依据M、N两点之间的距离为2022，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：因为数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数3表示的点与数-7表示的点重合． 答案： （2）解：由题意知：点A表示的数为5或， 因为A，两点经折叠后重合， 所以当点A表示时，点表示1；当点A表示5时，点表示， 所以点表示的数是或1． （3）解：∵，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合， ∴ ，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是1009，点表示的数是． 【点睛】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 题型5、利用数轴比较有理数的大小 【解题技巧】1）正方向上，离原点越远，数越大； 2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）. 注：在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左边的数大。 例1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，若点，，所对应的数为，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，从数轴得出，据此判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴． 故选：A． 例2．（2025·山西晋中·三模）若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查用数轴比较有理数的大小，根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴位于最左边的是． 故选：B． 例3．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． 0，，，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键．直接利用已知数在数轴上表示，进而由右边的数比左边的数大比较大小得出答案． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由数轴可知，用“”将它们连接起来为：． 变式1．（2025·贵州铜仁·二模）如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点大小问题，根据数轴上的数右边的数比左边的数大的性质，可得出答案. 【详解】解：∵数轴上的数右边的数比左边的数大， ∴数轴上的点大小关系为： ∴最大的是d. 变式2．（2025·安徽·三模）将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查利用数轴进行有理数的大小比较，解题的关键在于理解数轴上数值大小与位置的关系，负数绝对值越小数值越大．根据数轴的定义，右边的数数值较大，左边的数数值较小进行判断即可． 【详解】解： 最右边的数是． 故选：D． 变式3．（23-24七年级上·青海西宁·期中）先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、数轴等知识点，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案，熟练掌握利用了数轴比较有理数的大小的方法是解决此题的关键． 【详解】解∶如图， 按照小到大排列，并用“<”连接如下： ． 题型6、数轴上两点之间的距离 【解题技巧】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。 如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3。 在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。 例1．（2025·陕西榆林·三模）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键． 直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴A，B两点间的距离是：， 故答案为：4． 例2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 分两种情况讨论：①当点在表示2的点的左边时；②当点在表示2的点的右边时，根据数轴上两点间的距离，即可得到答案． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在表示2的点的左边时，与点2相距3个单位长度的点表示的数为； ②当点在表示2的点的右边时，与点2相距3个单位长度的点表示的数为； 故答案为：或． 例3．（24-25七年级上·重庆江北·期中）已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离，了解数轴上点的移动规律是解题的关键．先求得点表示的数，然后分2种情况讨论，第一种是当在左侧，第二种是在右侧，分别得出答案． 【详解】解：已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得， 点为： 当在左侧，点距离点两个单位，那么点为：； 当在右侧，点距离点两个单位，那么点为：． 故答案为：或． 例4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和点B距离相等，列式计算，即可作答．即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为6， ∴点B表示的数是：和6， ∵数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B， ∴或 ∴点A表示的数是2或， ∵点C到点A和点B距离相等， ∴或， ∴点C表示的数是或10 故选：B． 变式1．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）在数轴上表示与8的点的距离是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】B 【详解】解：  故选：B． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）点 A在数轴上表示3，若点A到点B的距离为4，则点B表示的数是 ． 【答案】或7 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，以及数轴上两点之间的距离，根据点A在数轴上表示3，点A到点B的距离为4，得出或，即可作答． 【详解】解：∵点 A在数轴上表示3，且点A到点B的距离为4， ∴当点B在点A的左边时，则； ∴当点B在点A的右边时，则； 综上点B表示的数是或7， 故答案为：或7． 变式3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知数轴上的点表示的数为，点是数轴上的点，原点为，且，若点是的中点，那么点表示的数是（    ） A．2或 B．2或4 C．或3 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数，熟练掌握到数轴上一点距离相等的点有两个，然后分类讨论是解题的关键．根据数轴上两点间的距离右边的数左边的数，先得出点表示的数为或6，再根据是的中点，即可得出点表示的数． 【详解】解：原点为，且， 点表示的数为或6， 点表示的数为， 当点表示的数为时，， 点是的中点， ， 点表示的数为， 当点表示的数为6时，同理可得点表示的数为2， 综上，点表示的数是2或， 故选：A． 变式4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果直线上点到原点（表示0的点）的距离为2，点到原点的距离为7，那么点与点的距离可能是 ． 【答案】5或9 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，掌握两点之间距离的计算是关键． 根据题意，分类讨论：当两点在原地同侧时；当两点在原点异侧时；由两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：当两点在原地同侧时，； 当两点在原点异侧时，或； ∴点与点的距离可能是5或9， 故答案为：5或9 ． 变式5．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 题型7、数轴上的动点问题 【解题技巧】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们将结合其他知识进行细致阐述，本考点中只对数轴中点的简单移动做一些基础的认识。 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 例2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 例3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上，将表示的点先向左移动3个单位后再向右移动6个单位长度，此时这个点表示的数是 ． 【答案】1 【详解】解：由题意可得，这个点表示的数为：．故答案为：1． 例4．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 例5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)B， (2)B， (3)1 (4)见解析 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． 【详解】（1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）解：有三种不同的移动方法： ①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度； ②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度； ③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 例6．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知，如图所示，是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数轴动点问题，求出AB的距离是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离的定义及数轴的定义得出距离，然后算出点P运动的时间，再根据点Q运动的速度求出运动的时间，根据数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离从而可得答案； 【详解】解：∵点A所表示的数为，点B表示的数为7， ∴， ∵点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动， ∴点P运动到点A需要（秒）， ∵点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动， ∴点Q运动的距离为：， ∴点Q表示的数为：， 故答案为：1． 变式1．（24-25七年级上·江西九江·期中）数轴上点表示的数是，那么将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是 【答案】 【分析】本题考查数轴，掌握数轴定义及数轴上点的平移是解决问题的关键．利用数轴性质、数轴上点的平移知识即可求解． 【详解】解：∵点表示的数是，点向左移动个单位长度， ∴平移后点表示数为， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是9 （1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为 ． （2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是 ． 【答案】 7 5或13 【分析】（1）根据数轴上的距离确定原来点N表示的数； （2）分两种情况根据平移求得现在点表示的数． 【详解】（1）解：， （2）当点M在数轴上向左移动4个单位长度表示的数是； 当点M在数轴上向右移动4个单位长度表示的数是； 故答案为：7；5或13． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，点的平移，解题的关键是掌握点在数轴上平移的规则“左减右加”． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用数轴，解答下列问题： (1)已知点B在数轴上表示的数是3，将点B先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，则移动后点B表示的数是多少？ (2)已知点C在数轴上，将它向右移动4个单位长度后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则点C原来表示的数是多少？ 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了数轴上点的移动，正确找到平移后点表示的数是解答本题的关键． （1）从规定的起点，按题目要求的方向和距离移动； （2）根据题目要求作答即可． 【详解】（1）解：将点B先向右移动5个单位长度得到的点表示的数是8，再向左移动2个单位长度得到的点表示的数是6．故移动后点B表示的数是6． （2）解：点C在数轴上向右移动4个单位长度后，新位置与原位置到原点的距离相等，可得点C移动前位于原点左侧，移动后位于原点右侧，所以点C原来表示的数是． 变式4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 变式5．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 变式6．（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上从左到右依次有 ，，三点，点表示的数为，电子蚂蚁甲从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过秒恰好运动到点． (1)点所表示的数为 ． (2)电子蚂蚁乙从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且与电子蚂蚁甲同时出发，恰好在点相遇，求点所表示的数． 【答案】(1) (2)点所表示的数为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，列出方程，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据点表示的数为，即可得到点表示的数； （2）设电子蚂蚁甲和乙运动秒后在点相遇，则，即，解出，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵电子蚂蚁甲从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过秒恰好运动到点， ∴， ∵点表示的数为， 随意点表示的数为：． 故答案为：． （2）解：设电子蚂蚁甲和乙运动秒后在点相遇， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为：． 1．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列各数（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，正确理解有理数的定义是解本题的关键．根据有理数的定义，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数． 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； ，（相邻两个2之间的0的个数逐次增加）不是有理数； 即有理数的个数是4， 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【答案】B 【分析】本题考查了整数和有理数，根据整数和有理数的定义逐项判断即可求解，掌握整数和有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意； 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意； 、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意； 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·北京·期中）下列说法： ①整数包括正整数和负整数； ②分数包括正分数和负分数； ③既是负数也是整数，但不是自然数； ④0既是正整数也是负整数． 其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的概念和有理数的分类．利用有理数的概念和分类解答． 【详解】解：①整数包括正整数、负整数和0，选项说法错误； ②分数包括正分数和负分数，选项说法正确； ③既是负数也是整数，但不是自然数，选项说法正确； ④0既不是正数也不是负数，选项说法错误，． ∴正确的有②③，共计2个． 故选：C． 4．（24-25七年级上·四川眉山·期末）把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{                     …}； 非负整数：{                 …}； 整数：{                　   …}； 负分数：{                   …}． 【答案】，，，，；，，；，，，，；，，． 【分析】本题考查了正数、非负整数、整数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：正数：{，，，，，…}； 非负整数：{，，，…}； 整数：{，，，，，…}； 负分数：{，，，…} 故答案为：，，，，；，，；，，，，；，，． 5．（24-25七年级上·云南昆明·期中）把下列各数分别填入相应的大括号里 ，，，，1，，0，，0.63，，， (1)有理数集合：{                   } (2)分数集合：{                   } (3)负数集合：{                   } (4)非负整数集合：{                   } 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查有理数的分类；注意整数、0、正数之间的区别：0是整数但不是正数．根据有理数的定义及其分类可得． 【详解】（1）解：有理数集合：{，，，，1，，0，，，，，}； （2）解：分数集合：{，，，，，，}； （3）解：负数集合：{，，，，}； （4）解：非负整数集合：{，1，0，}． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A．不正确，错误原因：数轴单位长度不一致，故A不符合题意； B．符合数轴的要求，故B符合题意； C．不正确，错误原因：数轴单位长度不一致，故C不符合题意； D．不正确，错误原因：负半轴数字标注错误，故D不符合题意． 故选：B． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 8．（24-25七年级上·河北邢台·期中）琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识，解题的关键是根据数轴确定被墨迹盖住部分数的取值范围，再据此判断选项中的数是否在该范围内． 先确定数轴上被墨迹盖住部分数的取值范围，然后逐一分析选项中的数是否在这个范围内． 从数轴上可以看出，被墨迹完全盖住部分的数的取值范围是大于且小于0． 【详解】A、，不在到0这个范围内，所以A选项错误； B、，在到0这个范围内，所以B选项正确； C、，不在到0这个范围内，所以C选项错误； D、，不在到0这个范围内，所以D选项错误． 故选：B． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，在数轴上表示有理数．根据已知条件和两点间的距离公式，求出和，结合数轴求出点表示的数，即可作答． 【详解】解：点表示的数是9， ，， 结合点在点的左边， ∴点表示的数是， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义，数轴上的点和有理数的对应关系，①考查数轴三要素：原点，正方向，单位长度．②④数轴上的点和有理数的对应关系．③π不是有理数． 【详解】解：数轴三要素：原点，正方向，单位长度，①错误． 每个有理数都能用数轴上一个点表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一个点，②④正确． 不是有理数，且可以在数轴上表示出来，③错误． 故选：B． 11．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2024年10月1日20时应是（   ） A．纽约时间2024年10月1日5时 B．伦敦时间2024年10月1日12时 C．巴黎时间2024年10月1日7时 D．汉城时间2024年10月1日19时 【答案】B 【分析】本题考查数轴的应用，涉及利用数轴比较有理数大小，根据数轴上的国际标准时间得到北京时间与其它四个城市时间差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 当北京时间是8时，对应： 纽约时间比北京时间早13个小时； 伦敦时间比北京时间早8个小时； 巴黎时间比北京时间早7个小时； 汉城时间比北京时间晚1个小时； 北京时间2024年10月1日20时，对应： 纽约时间是当天早上7时； 伦敦时间是当天中午12时； 巴黎时间是当天下午13时； 汉城时间是当天晚上21时； 故选：B． 12．（24-25七年级上·福建福州·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来： 2，0，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了绝对值、利用数轴表示有理数、利用数轴比较数的大小，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 画出数轴，根据数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小即可得． 【详解】解：如图： 按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来：． 13．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 14．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）数轴上的点M表示，将点M向右平移5个单位后，再向右平移3个单位到点N，那么点N表示的数是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由M为数轴上表示的点，将点M沿数轴向右平移5个单位，再向右平移3个单位到点N，此时点N所对应的数为，因此点N所表示的数为6． ，故选：A． 15．（2025·河北沧州·一模）如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（    ） A．7 B．6 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，求出，相距的距离，结合题意可得直尺中是数轴上两个单位长度，即可得解． 【详解】解：∵数轴上点，分别在直尺的，处． ∴，相距， ∵点对应，直尺的0刻度位置对应， ∴直尺中是数轴上两个单位长度， ∴点对应的数为， 故选：C． 16．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 17．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合． 【答案】0 【分析】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可． 本题考查了数轴上的折叠问题，中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合， 得到折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，根据折叠的性质， 得到， 解得， 故答案为：0． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（    ） A．2024 B．4047 C．4049 D．6071 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ， ∴翻转次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是． 故选C． 19．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 【答案】(1)点B所对应的数是； (2)A，B两点间距离是； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值； （2）本题考查数轴上动点及两点间距离，根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：， ∴点B所对应的数是； （2）解：∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到， ∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动， ∴点B运动到：， ∴A，B两点间距离为：． 1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法中，其中错误的有 个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，熟练掌握相关概念和有理数分类解题关键．正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：负整数小于0，故0不是最小的整数，说法①错误； 有理数包括正数、负数和0，故说法②错误； 正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故说法③错误； 非负数就是0和正数，故说法④错误； 不是有理数，故说法⑤错误； 如不是负数，带“”号的数不一定是负数，说法⑥错误； 无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故说法⑦正确； 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，说法⑧正确． 综上所述，错误的有①②③④⑤⑥． 故答案为：①②③④⑤⑥． 2．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误， 故（1）不符合题意； 没有最小的整数， 故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数， 故（3）符合题意； 自然数包括0， ∴自然数一定是正整数错误， 故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数， 故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数， 故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数， 故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数， 故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0， 故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 【答案】1 【详解】本题考查有理数的定义，分类，正确区分整数，分数以及熟记正分数和负分数的定义是解题的关键．根据正数、负数，以及正整数和负整数的定义可以解答本题． 【解答】解：因为10个有理数中有6个整数， 所以分数个， 因为正分数的个数与负分数的个数相等， 所以有2个负分数，2个正分数，因为负数的个数不超过3个，所以负数共 3个，还有一个是0， ∴负整数共1个． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 6．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 7．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 8．（22-23七年级上·山西太原·期末）阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 【答案】(1)是 (2) (3)是，过程见解析 (4) (5)，0，，16.2 【详解】解：（1）是             （2）             设，由，得． 可知，，即， 解得：， （3）设，由，     可得：， 等式两边同乘以100，可得，     即：，     化简，得： 解方程，得：．             （4） 由（1）知： 所以． （5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2， 故答案为：，0，，16.2． 9．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$