专题12 三角形的中位线与多边形期末复习(十大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题12 三角形的中位线与多边形期末复习 （九大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 1 题型二 与三角形中位线有关的证明 3 题型三 三角形中位线的实际应用 6 题型四 多边形内角和问题 7 题型五 正多边形的内角问题 8 题型六 多(少)算一个角问题 10 题型七 多边形截角后的内角和问题 12 题型八 正多边形的外角问题 14 题型九 多边形内角和与外角和综合 16 过关检测 17 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 例1：如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴， 故选：A． 变式训练一 1．如图，平行四边形中，E、F分别是、的中点，若，则对角线长是（　　） A．15 B．6 C．12 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：E、F分别是、的中点， 是的中位线，且， ． 故选：C． 2．如图，已知在中，，D，E，F分别是三边的中点，，，则的周长是 ．    【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质， 根据三角形中位线的性质求出，，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E，F是三边的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：17． 题型二 与三角形中位线有关的证明 例2：如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，中位线的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据中位线的判定和性质得出，结合平行四边形的判定和性质即可证明； （2）结合中位线的判定和性质得出，再由题意确定，结合勾股定理及平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）由（1）得是的中位线， ∴，， ， 点是的中点， ， ∵，， ， 在中，根据勾股定理，， ， 由（1）得四边形为平行四边形， ． 变式训练二 1．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，可得，为的中位线，即得，，得到，，即可证明，即得，即可求证． 【详解】证明：取的中点，连接，则， ∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．已知：如图，在中，E、F分别是的中点，相交于点G，相交于点H．求证：且． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、中位线的性质，解题关键是根据平行四边形的判定与性质得出，，再根据中位线的性质得出结论即可． 【详解】连接． 四边形是平行四边形， ，． 是的中点，是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ．同理． 且． 题型三 三角形中位线的实际应用 例3：如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：分别为的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 变式训练三 1．如图，在综合与实践活动课上，某兴趣小组要测定被池塘隔开的，两点间的距离，他们在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接．测得，则，两点间的距离为 ． 【答案】56 【分析】本题主要考查了三角形中位线的应用．根据三角形中位线定理得到，求出结果即可． 【详解】解：∵点，分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 即A、B两点间的距离为． 故答案为：56． 2．如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用；根据三角形中位线定理知，，即可求解． 【详解】解：∵的中点分别为， ∴是的中位线， ∴（米）； 故选：B． 题型四 多边形内角和问题 例4：一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，边形的内角和为(且为整数)．根据多边形的内角和计算公式列方程求解作答． 【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是． 故选：D． 变式训练四 1．一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和计算出内角和，减去前四个内角即可得到第五个内角的度数． 【详解】解：因为五边形的内角和是，四个内角和为， 所以第5个内角的度数是． 故选：A． 2．已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 【答案】4，6 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 题型五 正多边形的内角问题 例5：正六边形的每个内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角计算，掌握n边形的内角和是解题关键．根据多边形的内角和公式计算求值即可． 【详解】解：正六边形的每个内角都相等，设内角为a， 则， 解得：， 故选：C． 变式训练五 1．如图，已知直线与正六边形的边分别相交于点M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，四边形内角和定理，根据正多边形内角和定理求出，则由四边形内角和定理得到，再由对顶角相等即可得到． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的么 度． 【答案】132 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：132． 题型六 多(少)算一个角问题 例6：小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 变式训练六 1．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是 边形． 【答案】十三 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于，并且小于 设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为，则， ∴， 解得， 又∵， ， ，即 又∵为正整数， ， 故答案为：十三． 2．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 题型七 多边形截角后的内角和问题 例7：一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 变式训练七 1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，则， 解得：． ∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变， ∴原多边形的边数可能为7或8或9． 故选：A． 2．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 题型八 正多边形的外角问题 例8：如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了正多边形外角和内角综合，如图所示，首先求出，得到，然后利用多边形内角和得到，求出，然后求出相邻外角为，然后根据正多边形外角性质求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵多边形是正n边形， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ， ∴， ∴与相邻的多边形的一个外角为， ∵正n边形的外角和为， ∴， 故选：C． 变式训练八 1．若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是（    ） A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的性质，根据正多边形外角和来求解是解本题的关键．根据边数多边形的外角和一个外角的度数即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．如图，小明从点O出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…．这样一直走下去，当他第一次回到出发点O时，一共走了（    ） A．72米 B．108米 C．144米 D．120米 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据题意得到走过的轨迹为一正多边形，根据正多边形的外角和为360度，求出边数，即可得到答案． 【详解】解：按照题意可知小明走一圈回到O点，他走过的轨迹为一正多边形，设此多边形为正n边形， ∵此正n边形的一个外角为， ∴， ∴． 即他走过的正多边形为正24边形． ∵正多边形的边长为6米， ∴正多边形的周长为（米）． 即他第一次回到出发点时一共走了米． 故选C． 题型九 多边形内角和与外角和综合 例9：若正多边形的一个外角是，则它的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和公式、外角和性质等知识点．根据多边形内外角和为求得多边形的边数，然后运用多边形的内角和公式即可解答． 【详解】解：依题意可得：多边形的边数， ∴这个正多边形的内角和， 故选：D． 变式训练九 1．若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了多半小时外角和内角综合，设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为，再根据正多边形一个内角的度数与一个外角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数，再根据外角和为360度求出边数即可． 【详解】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为， ∴， 解得． ∴该多边形一个外角的度数为， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 2．如果一个多边形的内角和是它的外角和的倍，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和以及内角和，任何多边形的外角和是度，即这个多边形的内角和是度．边形的内角和是，列方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 则这个多边形的边数是， 故答案为：． 一、单选题 1．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是求正八边形的内角，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 根据多边形的内角和求出内角和，再除以边数即可得到答案． 【详解】解：正八边形的内角和为：， ∴正八边形的每个内角度数为 故选：C． 2．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取、的中点、，测得、两点间的距离为30，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中位线定理，易得为的中位线，根据中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选D． 3．若这个正多边形的内角和是外角和的5倍，则它的边数是（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角综合，设这个正多边形的边数为n，则内角和为，外角和为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， 故选：D． 4．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 5．如图，这是一个不完整的正多边形图案，边与对角线的夹角为，若，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴多边形的外角为， ∴多边形的边数为：， 故选：C． 6．如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查中位线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用中位线的性质得，，，，，，可判断选项A，利用可判断选项B，利用证明可判断选项C，利用，，可判断选项D． 【详解】解：∵、、分别是、、中点， ∴，，，，，， 故选项A正确； ∵， 故选项B错误； ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D正确； 故选：B． 7．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若的长为2，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键． 根据平行四边形的对角线互相平分可得，然后判断出是三角形的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：在中，， 点是的中点， 是三角形的中位线， ． 故选：D． 8．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 二、填空题 9．如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是 ． 【答案】平行四边形 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据中位线的性质得出，，根据平行公理得出，同理得出，即可得出答案； 【详解】解：连接、，如图所示： ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． 10．如图，是的中位线，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了中位线定理，角平分线的定义，等角对等边，解题关键是利用等角对等边证明相关线段相等． 先利用中位线定理得出，，，再利用角平分线的意义得出，然后利用平行线的性质得出，从而有，再根据等角对等边得出，最后利用线段差求得． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 4． 11．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查正多边形外角和及三角形内角和，熟练掌握正多边形外角和及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而根据正多边形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴正多边形的边数； 故答案为5． 12．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】15，16或17 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 13．如图，已知， ． 【答案】/240度 【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】连接，， ∴ 又， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 三、解答题 14．如图，，是正五边形的对角线． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正多边形的内角和，等腰三角形的性质； （1）根据正五边形的每个内角相等，结合五边形的内角和可得答案； （2）利用正多边形的性质与等腰三角形的性质可得，，再利用角的和差可得答案. 【详解】（1）解：∵五边形为正五边形， ∴. （2）解：∵五边形为正五边形， ∴， ∵， ∴，， ∴. 15．已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)错误，理由见详解 (2)理由见详解 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理与外角和定理． （1）利用多边形的外角和定理进行判断即可； （2）利用多边形的内角和定理进行证明即可． 【详解】（1）解：该说法错误，理由如下： 根据多边形的外角和定理，任何多边形的外角都等于， 所以，该说法错误； （2）解：假设的边数为，则的边数为， ∴的内角和为， 则的内角和为， ∴， 解方程得， 所以，无论取何值，的值始终不变，为2． 16．如图，在四边形中，P是对角线的中点，，分别是，的中点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由三角形中位线定理结合题意得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵P是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 18．已知：如图，点为中边的延长线上一点，且，连接，分别交，于点，，连接交于点，连接，猜想：与的关系，并证明你的结论． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，证明，得到，进而得到是的中位线，进而得到，即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴． 19．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 三角形的中位线与多边形期末复习 （九大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 1 题型二 与三角形中位线有关的证明 2 题型三 三角形中位线的实际应用 3 题型四 多边形内角和问题 3 题型五 正多边形的内角问题 4 题型六 多(少)算一个角问题 4 题型七 多边形截角后的内角和问题 5 题型八 正多边形的外角问题 5 题型九 多边形内角和与外角和综合 6 过关检测 6 题型一 与三角形中位线有关的求解问题 例1：如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 变式训练一 1．如图，平行四边形中，E、F分别是、的中点，若，则对角线长是（　　） A．15 B．6 C．12 D．3 2．如图，已知在中，，D，E，F分别是三边的中点，，，则的周长是 ．    题型二 与三角形中位线有关的证明 例2：如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 变式训练二 1．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点．求证：． 2．已知：如图，在中，E、F分别是的中点，相交于点G，相交于点H．求证：且． 题型三 三角形中位线的实际应用 例3：如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（   ） A． B． C． D． 变式训练三 1．如图，在综合与实践活动课上，某兴趣小组要测定被池塘隔开的，两点间的距离，他们在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接．测得，则，两点间的距离为 ． 2．如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 题型四 多边形内角和问题 例4：一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 变式训练四 1．一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 题型五 正多边形的内角问题 例5：正六边形的每个内角为（    ） A． B． C． D． 变式训练五 1．如图，已知直线与正六边形的边分别相交于点M，N，则（   ） A． B． C． D． 2．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的么 度． 题型六 多(少)算一个角问题 例6：小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 变式训练六 1．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是 边形． 2．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 题型七 多边形截角后的内角和问题 例7：一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 变式训练七 1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 题型八 正多边形的外角问题 例8：如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式训练八 1．若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是（    ） A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形 2．如图，小明从点O出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…．这样一直走下去，当他第一次回到出发点O时，一共走了（    ） A．72米 B．108米 C．144米 D．120米 题型九 多边形内角和与外角和综合 例9：若正多边形的一个外角是，则它的内角和是（    ） A． B． C． D． 变式训练九 1．若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如果一个多边形的内角和是它的外角和的倍，那么这个多边形的边数为 ． 一、单选题 1．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取、的中点、，测得、两点间的距离为30，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．若这个正多边形的内角和是外角和的5倍，则它的边数是（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 4．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 5．如图，这是一个不完整的正多边形图案，边与对角线的夹角为，若，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 7．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若的长为2，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 二、填空题 9．如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是 ． 10．如图，是的中位线，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 11．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是 ． 12．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 13．如图，已知， ． 三、解答题 14．如图，，是正五边形的对角线． (1)求的度数； (2)求的值． 15．已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 16．如图，在四边形中，P是对角线的中点，，分别是，的中点，，，求的度数． 17．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 18．已知：如图，点为中边的延长线上一点，且，连接，分别交，于点，，连接交于点，连接，猜想：与的关系，并证明你的结论． 19．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$