精品解析：四川省成都外国语学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

成都外国语学校2024~2025学年高二下5月月考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】直接求导求值即可． 【详解】， ， ， 故选：C． 2. 已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ） A. 86% B. 87% C. 88% D. 89% 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解. 【详解】该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为. 故选：B 3. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】甲有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，根据分步乘法计数原理计算即可． 【详解】由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法， 故不同的报名学习方式有种， 故选：C． 4. 设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（ ） A. 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.65 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 5. 记为等比数列的前n项和.若，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求公比，再求出首项后利用公式可求. 【详解】因为，，故， 故，故，故， 故选：A. 6. 已知函数在处有极值2，则（ ） A. B. 6 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在处有极值2，可得，解方程组即可得解. 【详解】， 因为函数在处有极值2， 所以，即，解得， 则， 故当时，，当时，， 所以函数在处有极小值， 所以，所以. 故选：B 7. 已知等差数列中，，，则数列的前项和为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件求出，即可求出数列的通项公式，再利用并项求和法可求得数列的前项和. 【详解】设等差数列的公差为，由可得， 所以，故， 对任意的，， 所以数列的前项和为. 故选：D. 8. 若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果. 【详解】设公切线与函数切于点， 由，得，所以公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 设公切线与函数切于点， 由，得，则公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 所以，消去，得， 由，得， 令，则， 所以在上递减， 所以， 所以由题意得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则n的值为6 B. 若，则 C. 被8除的余数为7 D. 已知随机变量，若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】应用组合数及排列数运算得出A，应用赋值法计算判断B，应用二项式展开式计算得出余数判断C，应用正态分布对称性计算判断D. 【详解】因为，所以，所以，所以，A选项错误； 因为， 令得， 令得，则，B选项正确； ， 是8的倍数， 所以除8的余数是被8除的余数，被8除的余数为7，C选项正确； 随机变量，若，则，D选项错误； 故选：BC. 10. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D正确 故选：BCD. 11. 函数与之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是（ ） A. 若，，使得成立，则 B. C. 直线与两个函数图象交点的横坐标之积的范围是 D. 若直线过两个函数图象的公共点，则直线与两个函数图象的所有交点横坐标从小到大排列依次构成等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别求导后，由单调性分别求出最值，可得A正确；由对数的运算化简，，再结合的单调性可得B正确；结合条件可得，然后构造函数根据导数研究函数的性质可判断C；由对数的运算和等比中项的性质结合图形可得D正确. 【详解】A：， 令，解得， 所以当，，为增函数；当，，为减函数； 所以； 同理，， 令，解得， 所以当，，增函数；当，，为减函数； 所以； 所以，，使得成立，则，故A正确； B：因为，即， ， 因为在当，为减函数； 又， 所以，即，故B正确； C：由题可得函数的大致图象，设直线与两个函数图象交点的横坐标为，且， 则，由图象可得， 由选项A可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 构造函数， 求导可得，令，可得， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数， 所以，又，当时，， 所以，即，故C错误； D：设公共点为，此时直线与两函数曲线共有三个交点，不妨设， 且， 由， 又，又当，为增函数， 所以， 同理，可得， 又，又当，为减函数， 所以， 所以，， 所以， 即由等比中项的性质可得直线与两个函数图象的所有交点横坐标从小到大排列依次构成等比数列，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题第二个选项关键是先用对数的运算化简得到和，再利用单调性求解. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的最大值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】求导可得上单调递增，可求最大值. 【详解】由，可得， 当时，，所以在上单调递增， 所以. 故答案为：. 13. 若的展开式中含的系数为15，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出的展开式通项，再分别分析与相乘后得到项的情况，最后根据的系数为15列出方程求解. 【详解】的展开式通项为，， 原展开式中含的系数为：. 化简得：，解得. 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，，，，则满足 的正整数的所有取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】按奇偶分析数列的特征，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求出，再借助单调性求得答案. 【详解】当为奇数时，，即数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列； 当为偶数时，，即数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， 显然数列中的每一项均为正整数，则数列为递增数列， 当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 而，， ，， 所以满足的正整数的所有取值集合为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中所有的二项式系数之和为64． （1）求n的值； （2）求该展开式的常数项． 【答案】（1）6； （2）60. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质，列式计算即得. （2）求出展开式的通项公式，再由幂指数确定常数项即得解. 【小问1详解】 由的展开式中所有的二项式系数之和为64，得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，展开式的通项公式为， 由，得，， 所以展开式的常数项为． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在上恒单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的单调增区间是，单调减区间是和 （2） 【解析】 【分析】（1）定义域为，求导得，分别令和即可得到的单调增区间和单调减区间； （2）由在上恒单调递减得，根据二次函数性质得到最小值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， ， 由，可得， 由，可得或， 所以函数的单调增区间是，单调减区间是和； 【小问2详解】 由题知在上恒成立； 即在上恒成立， 令，易知当，取最小值， 所以， 所以实数的取值范围是． 17. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，结合频率公式，即可求解； （2）根据条件，利用超几何分布概率公式，即可求解分布列，以及期望； （3）根据题意可知，根据二项分布概率公式，即可求解. 【小问1详解】 设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. 【小问2详解】 样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， 的分布列为： ∴. 【小问3详解】 由题意得，， ∴的分布列为： ∴. 18. 已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用因式分解得出，进而得出等差数列通项公式，再应用计算得出等比数列的通项公式； （2）应用等比数列求和公式及等差数列求和公式分组求和即可求解； （3）应用裂项相消计算得出取得最小值，最后解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以，即． 又，所以是首项为7，公差为3的等差数列． 因为，① 所以当时，，② ①-②得也满足． 故的通项公式为的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，所以 【小问3详解】 因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意恒成立，所以， 整理得，解得． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 小问1详解】 由与“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 ①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都外国语学校2024~2025学年高二下5月月考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ） A. 86% B. 87% C. 88% D. 89% 3. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 4. 设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（ ） A 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.65 5. 记为等比数列的前n项和.若，，则（   ） A. B. C. D. 6. 已知函数处有极值2，则（ ） A. B. 6 C. 2 D. 7. 已知等差数列中，，，则数列的前项和为（   ） A. B. C. D. 8. 若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则n的值为6 B. 若，则 C. 被8除的余数为7 D. 已知随机变量，若，则 10. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数与之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是（ ） A. 若，，使得成立，则 B. C. 直线与两个函数图象交点的横坐标之积的范围是 D. 若直线过两个函数图象的公共点，则直线与两个函数图象的所有交点横坐标从小到大排列依次构成等比数列 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的最大值为_______ 13. 若的展开式中含的系数为15，则实数______ 14. 已知数列的前项和为，，，，则满足 的正整数的所有取值集合为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中所有的二项式系数之和为64． （1）求n的值； （2）求该展开式常数项． 16. 已知函数． （1）当时，求函数单调区间； （2）若在上恒单调递减，求实数的取值范围． 17. 某校为了解高三学生每天作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 18. 已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$