第06讲 直线与圆的位置关系（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第06讲 直线与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 求圆的切线方程考虑不全致误 题型方法 题型一 直线与圆位置关系的判断与应用 题型二 直线与圆相切的有关问题 题型三 直线与圆相交的有关问题 题型四 直线与圆的方程的应用 知识清单 知识点01直线与圆的位置关系 1. 设直线l和圆M的方程分别为Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0. 如果直线l与圆M有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线l与圆M的公共点. 2. 直线l与圆M的方程联立，得方程组有如下结论： 方程组解的情况 无解 仅有一组解 有两组不同的解 直线与圆公共点的情况 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个公共点 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 知识点02直线与圆的位置关系的判断 1. 代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. 2. 几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 3. 定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交. 该法有一定的局限性，若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论. 知识点03倾过点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法 1. 过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法 (1)直接法：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为- (k≠0)，由直线的点斜式方程可得切线方程为y-y0=- (x-x0). 如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y0. (2)待定系数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即得切线方程. 注意此时切点与圆心的纵坐标不相等. 　　注：过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论： ①若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上，则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2； ②若点P(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则过点P的切线方程为 (x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2； ③若点P(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上，则过点P的切线方程为 x0x+y0y+D·+E·+F=0. 2. 过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法 通常用待定系数法，其求法同1中的待定系数法. 当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条. 一般不用联立方程的方法求解k. 知识点04切线长的求法 　　过圆外一点P，可作圆的两条切线，我们把点P与切点所连线段的长称为切线长. 切线长可由勾股定理来计算. 如图，从圆外一点P(x0，y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线，则切线长为. 知识点05弦长与中点弦问题 1. 直线与圆相交时弦长的两种求法 (1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB的长，则有+d2=r2，则AB=2 . 图1　　      图2 (2)代数法：如图2所示，设直线l与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线与圆的方程联立，消元，结合根与系数的关系， 得AB==·|x1-x2|=|y1-y2| (直线l的斜率k存在且不为0). 2. 中点弦问题 若线段AB是圆C(a，b)的弦，D是弦AB的中点，则 ①AB⊥CD，若斜率kAB，kCD都存在，则kAB·kCD=-1； ②点差法：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x0=，y0=，将A，B坐标分别代入圆C的方程，利用作差法得到=-=-，利用D点坐标求出直线AB的斜率. 知识点06与圆有关的最值问题 利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 (1) 由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的有： ①关于x，y的一次分式形式常转化为直线的斜率； ②关于x，y的一次式常转化为直线的截距； ③关于x，y的二次式常转化为两点间的距离等. (2)将待求式转化成函数解析式，利用函数的性质解决. (3)利用三角代换，若点P(x，y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则设 (θ为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最大(小)值. 易错分析 【易错点一】求圆的切线方程考虑不全致误 【例1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）若过点作圆的切线，则切线方程为 . 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）写出过点且与圆相切的直线方程 . 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2） 自点作圆的切线，求切线的方程. 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 题型方法 【题型一】直线与圆位置关系的判断与应用 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 解题技巧 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【举一反三】（24-25高二上·江苏苏州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【变式2】【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）直线与圆的位置关系是 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知圆和，，． (1)求过点且与圆M相切的直线方程； (2)求过A、B、C三点的圆的方程． 【题型二】直线与圆相切的有关问题 【例2】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 解题技巧 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过圆上的点的的切线方程为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【题型三】直线与圆相交的有关问题 【例3】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 解题技巧 　(1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高三上·江苏南京·期中）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若，则 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点. (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度； (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； (3)点为圆上一点，求线段长度的最大值. 【题型四】直线与圆的方程的应用 【例4】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏扬州）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：    (1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 8．（2021高二·江苏·专题练习）直线与圆的交点的个数是 . 9．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求 . 10．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则 . 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程： . 三、解答题 12．（22-23高二·江苏）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系． 13． （22-23高二·江苏）已知直线与圆，试判断直线与圆的位置关系，若相交求出交点坐标． 14．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. (1)求圆A的标准方程； (2)求过点且与圆A相切的直线方程. 15．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知圆M过原点O，圆心M在直线上，直线与圆M相切. (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点.若A为线段PB的中点，求直线l的方程. 16．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 直线与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 求圆的切线方程考虑不全致误 题型方法 题型一 直线与圆位置关系的判断与应用 题型二 直线与圆相切的有关问题 题型三 直线与圆相交的有关问题 题型四 直线与圆的方程的应用 知识清单 知识点01直线与圆的位置关系 1. 设直线l和圆M的方程分别为Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0. 如果直线l与圆M有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线l与圆M的公共点. 2. 直线l与圆M的方程联立，得方程组有如下结论： 方程组解的情况 无解 仅有一组解 有两组不同的解 直线与圆公共点的情况 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个公共点 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 知识点02直线与圆的位置关系的判断 1. 代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. 2. 几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 3. 定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交. 该法有一定的局限性，若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论. 知识点03倾过点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法 1. 过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法 (1)直接法：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为- (k≠0)，由直线的点斜式方程可得切线方程为y-y0=- (x-x0). 如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y0. (2)待定系数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即得切线方程. 注意此时切点与圆心的纵坐标不相等. 　　注：过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论： ①若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上，则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2； ②若点P(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则过点P的切线方程为 (x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2； ③若点P(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上，则过点P的切线方程为 x0x+y0y+D·+E·+F=0. 2. 过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法 通常用待定系数法，其求法同1中的待定系数法. 当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条. 一般不用联立方程的方法求解k. 知识点04切线长的求法 　　过圆外一点P，可作圆的两条切线，我们把点P与切点所连线段的长称为切线长. 切线长可由勾股定理来计算. 如图，从圆外一点P(x0，y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线，则切线长为. 知识点05弦长与中点弦问题 1. 直线与圆相交时弦长的两种求法 (1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB的长，则有+d2=r2，则AB=2 . 图1　　      图2 (2)代数法：如图2所示，设直线l与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线与圆的方程联立，消元，结合根与系数的关系， 得AB==·|x1-x2|=|y1-y2| (直线l的斜率k存在且不为0). 2. 中点弦问题 若线段AB是圆C(a，b)的弦，D是弦AB的中点，则 ①AB⊥CD，若斜率kAB，kCD都存在，则kAB·kCD=-1； ②点差法：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x0=，y0=，将A，B坐标分别代入圆C的方程，利用作差法得到=-=-，利用D点坐标求出直线AB的斜率. 知识点06与圆有关的最值问题 利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 (1) 由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的有： ①关于x，y的一次分式形式常转化为直线的斜率； ②关于x，y的一次式常转化为直线的截距； ③关于x，y的二次式常转化为两点间的距离等. (2)将待求式转化成函数解析式，利用函数的性质解决. (3)利用三角代换，若点P(x，y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则设 (θ为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最大(小)值. 易错分析 【易错点一】求圆的切线方程考虑不全致误 【例1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）若过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或. 【分析】分直线斜率是否存在及结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】当直线斜率存在时，设切线的方程为:，即， 圆心到切线的距离为， 由得，化简得到， 此时切线方程为：，即； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，满足题意. 故答案为：或. 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）写出过点且与圆相切的直线方程 . 【答案】或 【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知圆的圆心，半径， 易知该切线斜率存在，不妨设切线方程为， 则圆心到切线的距离为或， 则切线方程为：或. 故答案为：或. 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）2；（2）或. 【分析】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【详解】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设圆的方程，求出两条直线的交点坐标，将交点坐标代入圆的方程即可； （2）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径即可. 【详解】（1）由圆的圆心在第一象限，半径为， 可设圆的方程为，其中， 联立，解得两直线的交点为， 由得，又因为， 所以，圆心为， 所以圆的方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线为， 此时，圆心到直线的距离，舍去； ②当切线的斜率存在时，设直线方程为，即， 此时，圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为或. 题型方法 【题型一】直线与圆位置关系的判断与应用 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B 解题技巧 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【举一反三】（24-25高二上·江苏苏州·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据圆方程得出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交. 故选: 【变式2】【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】联立直线与圆的方程，得到一元二次方程，根据判别式即可判断. 【详解】联立直线l与圆C的方程，可得方程组，消去y，得． ∵，∴方程无实数解，即方程组无实数解， 故直线l与圆C相离． 故答案为：相离. 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知圆和，，． (1)求过点且与圆M相切的直线方程； (2)求过A、B、C三点的圆的方程． 【答案】(1)或； (2) 【分析】(1)结合图形，将过点且与圆M相切的直线分成斜率不存在和存在两类情况，在斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径即可求得直线斜率，即得切线方程； (2)把 A、B、C三点代入圆的一般方程中，解方程组计算即可. 【详解】（1）由，可得， 如图1，因过点且斜率不存在的直线恰与圆相切，故有一条切线方程 为；设另一条切线方程为：，即， 由圆心到直线的距离，解得， 故另一条切线方程为：. 综上，过点且与圆M相切的直线方程为或； （2）设圆的一般方程为：， 由题意可知把 A、B、C三点代入圆的一般方程中， 解得，所以圆的方程为:. 【题型二】直线与圆相切的有关问题 【例2】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用直线与圆相切可得出，再利用点与圆的位置关系可得出结论. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 因为直线与圆相切，则，即， 即，因此，点在圆内. 故选：C. 解题技巧 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过圆上的点的的切线方程为 . 【答案】 【分析】由过切点的半径与切线垂直得切线斜率，从而求得切线方程. 【详解】圆心为，切点为，则，所以切线斜率为， 得：切线方程为，化简得：. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设圆心为，半径为，由，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程； （2）由，知点在圆上，由可得求出，得到切线方程. 【详解】（1）设圆心为，半径为，由， 得，得， 所以点坐标为，圆半径， 所以圆的标准方程为：. （2）由，知点在圆上， 由且，，知， 所以过的圆切线方程为：. 【题型三】直线与圆相交的有关问题 【例3】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数. 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 解题技巧 　(1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定动直线过圆内一定点，求出圆心的坐标和半径，由时，弦最短求解． 【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径， 动直线，即，恒过点. 设，又由，则点在圆的内部， 动直线与圆（圆心为）交于点， 当为的中点，即与垂直时，弦最短， 此时，弦的长度为， 此时的面积， 故选：D. 【变式2】（22-23高三上·江苏南京·期中）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若，则 ． 【答案】 【分析】设，可得直线的方程，求出弦的弦心距，利用圆心到直线的距离列方程求得t,即可求得答案. 【详解】设点，则直线的方程为，即， 因为，的半径为2， 故弦的弦心距为，即圆心到直线的距离为， 故，解得，即, 故, 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点. (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度； (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； (3)点为圆上一点，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出圆心和半径，得到； （2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由弦长公式求出答案； （3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案． 【详解】（1）圆心，半径为，即， 又， 故； （2），故直线， 记圆心到直线的距离为， ，故； （3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，故． 【题型四】直线与圆的方程的应用 【例4】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心到直线距离以及弦长公式，解方程可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线距离为，弦长， 所以， 解得. 故选：C 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏扬州）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 【答案】 【分析】应用点线距离公式、圆中弦长的几何求法列方程求参数值. 【详解】由题设，圆心到直线的距离， 又圆的半径，则弦长为，可得， 所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江苏）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：    (1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度． 【答案】(1)游客在该摄像头的监控范围内 (2)8.75米 【分析】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断； （2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围. 【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，， 因为，，则，依题意得，游客所在位置为， 则直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内． （2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， ①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以或， 即或， 观景直道所在直线方程为， 设两条直线与的交点为D，E， 由，解得， 由，解得， 所以， 答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】A 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心. 故选：A. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程， 易知圆心，半径，所以到的距离为， 解之得，即切线. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【详解】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D 5．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知集合，则中元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】方程，表示圆心为，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 得直线与圆相切，只有一个交点，则中元素的个数为1. 故选：B 6．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知曲线表示一个半圆，然后利用数形结合即得. 【详解】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆， 当直线与半圆相切时，，则，此时直线为， 当直线过点时，，此时直线为， 要使直线与曲线有两个交点，则b的取值范围是． 故选：C． 二、填空题 7．（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 【答案】2 【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜率后可得切线方程． 【详解】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2， 切线方程为，即． 故答案为：． 8．（2021高二·江苏·专题练习）直线与圆的交点的个数是 . 【答案】2 【分析】直线经过定点，圆心坐标为，根据长度小于半径得到定点在圆的内部，得到直线与圆相交，从而得到交点个数. 【详解】由，得到，所以圆心坐标为，半径， 直线经过定点，其中，所以点A在圆的内部， 直线与圆的位置关系是相交，交点个数为2. 故答案为：2. 9．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求 . 【答案】 【分析】根据圆的弦长可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意圆心到直线的距离， 则，解得. 故答案为： 10．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，可求出点、的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值. 【详解】由题意可知，圆心为，半径为， 因为，所以，点在圆上，由圆的几何性质可知，， ，所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即， 直线交轴于点，交轴于点， 因此，. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】所求圆的圆心为，则，结合两圆位置关系列式求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 设所求圆的圆心为，则， 且或， 若，，解得， 可得圆心为，所求圆的方程为； 若，，无解，不合题意； 若，，解得或， 可得圆心为或， 所求圆的方程为或； 若，，解得， 可得圆心为，所求圆的方程为； 故答案为：（答案不唯一）. 三、解答题 12．（22-23高二·江苏）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系． 【答案】坐标为或，直线和圆相交 【分析】联立直线与圆的方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】直线和圆的公共点的坐标就是 方程组的解， 解这个方程组，得或， 所以公共点的坐标为或． 因为直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交． 13．（22-23高二·江苏）已知直线与圆，试判断直线与圆的位置关系，若相交求出交点坐标． 【答案】直线与圆相交，交点坐标为或 【分析】先求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，与半径比较可得直线与圆相交，然后将直线方程与圆方程联立可求出交点坐标. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 由，得或， 所以交点坐标为或 14．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. (1)求圆A的标准方程； (2)求过点且与圆A相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）判断直线符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】（1）设圆心为，半径为r，由， 得，得， 点A的坐标为，圆半径， 圆A的标准方程为； （2）画出圆的图象如下图所示， 由图可知，直线过点，且与圆相切， 当过点与圆相切的直线斜率存在时， 设切线方程为， 到直线的距离，解得， 所以切线方程为. 综上所述，切线方程为或. 15．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知圆M过原点O，圆心M在直线上，直线与圆M相切. (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l交圆M于A，B两点.若A为线段PB的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据几何法得到圆心也在直线上，联立直线求出圆心坐标，再计算出其半径长，得出圆标准方程； （2）设点，利用中点公式表示出，将两点代入圆的方程，则求出点坐标，再计算出直线方程即可. 【详解】（1）因为圆M过原点O，且与直线相切， 所以圆心M在直线上， 又圆心M也在直线上， 联立与，解得，故圆心， 所以半径， 因此圆M的方程为. （2）设，因为A为线段PB的中点，所以. 因为A，B在圆M上，所以解得或 当时，直线l的方程为； 当时，，故直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，即可列式求解； （2）首先根据三角形的面积公式求，再根据圆心到直线的距离，即可求解直线方程. 【详解】（1）由已知得圆， 所以，圆心，半径. 因为圆与直线相切， 知圆心到直线的距离，解得， 所以圆的方程为. （2）由题， 又，得 所以圆心C到直线的距离为. 直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，满足题意； 直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心C到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为，即.   综上，直线的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$