第05讲 圆的方程（知识清单+2易错+4必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第05讲 圆的方程 题型梳理 易错分析 易错点一 对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 易错点二 忽视方程表示圆的条件致误 题型方法 题型一 圆的标准方程及其求法 题型二 点与圆的位置关系 题型三 对圆的一般方程的理解 题型四 求圆的一般方程 知识清单 知识点01圆的定义 　　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是半径. 知识点02圆的方程 1. 圆的标准方程 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. 特别地，当a=b=0时，方程为x2+y2=r2(r>0)，表示以原点为圆心，r为半径的圆. 2. 圆的一般方程 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程，化为标准形式为+=，表示以点为圆心， 为半径的圆. ①当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点； ②当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形； ③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆时，B=0，A=C≠0. 知识点03点与圆的位置关系 已知圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)，设所给点为M(x0，y0)，则点与圆的位置关系如下表： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 MC=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2(或++Dx0+Ey0+F=0) 点在圆内 MC<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2(或++Dx0+Ey0+F<0) 点在圆外 MC>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2(或++Dx0+Ey0+F>0) 易错分析 【易错点一】对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 【例1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（多选）（21-22高二上·江苏苏州·阶段练习）过点与且半径为2的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（21-22高二·江苏·单元测试）已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段，弧长之比为2∶1，则圆C的方程为（    ） A．x2＋2＝ B．x2＋2＝ C．2＋y2＝ D．2＋y2＝ 【变式3】（22-23高二·江苏）圆心在y轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为 ． 【易错点二】忽视方程表示圆的条件致误 【例2】（23-24高二上·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【变式3】已知某曲线上的点到定点O(0,0)与到定点的距离的比值为k,求此曲线的方程，并判定曲线的形状. 题型方法 【题型一】圆的标准方程及其求法 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求圆的标准方程的方法 (1)几何法：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． (2)待定系数法： 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心为，且与x轴相切； (2)过三点. 【题型二】点与圆的位置关系 【例2】（2023高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 解题技巧 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知点关于直线对称的点Q在圆上，则 ． 【变式3】（21-22高二·江苏）设a为实数，若点在圆的内部，求a的取值范围． 【题型三】对圆的一般方程的理解 【例3】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（    ） A． B． C． D． 解题技巧 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线围成的图形的面积大于5 D．曲线上的两点之间距离不大于 【变式3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）圆的半径为 ． 【题型四】求圆的一般方程 【例4】（22-23高二·江苏）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 【变式2】（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知点． (1)求△的外接圆方程； (2)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知四点共圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）使方程表示圆的实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C． D． 7．（22-23高二上·江苏·阶段练习）设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 三、填空题 8．（22-23高二上·江苏南京·期末）已知圆过点，，，则圆的方程为 ． 9．（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的半径为 10．（24-25高二上·江苏·期中）圆心为且与直线相切的圆的方程为 ． 11．（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为 . 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 13．（2023高二上·江苏·专题练习）某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽为10 m，上面载有货物，水面到船顶高为4 m，问该船能否顺利通过该桥？ 14．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的三顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 16．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）（1）已知点和，求以线段为直径的圆的标准方程． （2）已知半径为的圆过点，且圆心在直线上，求圆的标准方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆的方程 题型梳理 易错分析 易错点一 对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 易错点二 忽视方程表示圆的条件致误 题型方法 题型一 圆的标准方程及其求法 题型二 点与圆的位置关系 题型三 对圆的一般方程的理解 题型四 求圆的一般方程 知识清单 知识点01圆的定义 　　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是半径. 知识点02圆的方程 1. 圆的标准方程 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. 特别地，当a=b=0时，方程为x2+y2=r2(r>0)，表示以原点为圆心，r为半径的圆. 2. 圆的一般方程 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程，化为标准形式为+=，表示以点为圆心， 为半径的圆. ①当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点； ②当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形； ③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆时，B=0，A=C≠0. 知识点03点与圆的位置关系 已知圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)，设所给点为M(x0，y0)，则点与圆的位置关系如下表： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 MC=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2(或++Dx0+Ey0+F=0) 点在圆内 MC<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2(或++Dx0+Ey0+F<0) 点在圆外 MC>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2(或++Dx0+Ey0+F>0) 易错分析 【易错点一】对圆的标准方程的结构形式把握不准致误 【例1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心关于直线的对称点即可得解. 【详解】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A 【举一反三】【变式1】（多选）（21-22高二上·江苏苏州·阶段练习）过点与且半径为2的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据圆过点与，得出圆心在线段AB的垂直平分线上，求出圆心所在的直线方程，设出圆心坐标，再代入或，求出圆心坐标，进而求出圆的方程. 【详解】因为圆过点与，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，其中，设圆心所在的直线为l，则，解得：，又因为 与的中点坐标为，所以直线l为，设圆心坐标为，因为半径为2，所以圆的方程为：，代入得：，解得：，综上圆的方程为或. 故选：BC 【变式2】（多选）（21-22高二·江苏·单元测试）已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段，弧长之比为2∶1，则圆C的方程为（    ） A．x2＋2＝ B．x2＋2＝ C．2＋y2＝ D．2＋y2＝ 【答案】CD 【分析】由题意，设C (a,0)，结合被y轴分成两段的弧长比有|a|＝，根据弦长、半径、弦心距的几何关系求参数a，即可写出圆的方程. 【详解】由圆C关于x轴对称，可设圆心C (a,0)，又圆C被y轴分成的两段弧长之比为2∶1， ∴|a|＝，则()2＋1＝r2，得r2＝，a＝±， ∴圆C的方程为2＋y2＝. 故选：CD． 【变式3】（22-23高二·江苏）圆心在y轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为 ． 【答案】或. 【分析】设圆的方程为，将点代入圆的方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设圆的方程为， 因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8， 所以所求圆的方程为或. 故答案为：或. 【易错点二】忽视方程表示圆的条件致误 【例2】（23-24高二上·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式求解即可. 【详解】因为表示圆， 所以,解得或. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆的充要条件列式，结合圆心在直线上求解即得. 【详解】由方程表示圆，得， 圆的圆心为，又此圆关于直线对称，则，即， 因此，解得或， 所以的取值范围为. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二元二次方程与圆的一般式方程之间的关系直接列式求解即可. 【详解】若方程表示圆， 则，即，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】已知某曲线上的点到定点O(0,0)与到定点的距离的比值为k,求此曲线的方程，并判定曲线的形状. 【答案】分类讨论，详见解析 【分析】设曲线上一点为，根据题意得到，整理可得.当时，可得，对于形如的方程要注意，当时，才为圆的方程．此时，可判断此方程为圆的方程；当时，原方程可化为，即表示线段OA的垂直平分线. 【详解】解：设点是已知曲线上任意一点，由题意得，化简得，当，即或时， ，所以，因为，所以方程表示以为圆心，以为半径的圆. 当时，原方程可化为，即表示线段OA的垂直平分线. 【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，此题在求解中需注意：①与前系数需考虑是否为0；②对于形如，要注意当隐含条件时，此方程才是圆的方程． 题型方法 【题型一】圆的标准方程及其求法 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得两直线交点，即可根据圆的标准方程性质求解圆的方程. 【详解】，则，又半径长为1， 则圆M的方程为：. 故选：B 解题技巧 求圆的标准方程的方法 (1)几何法：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． (2)待定系数法： 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得圆心，然后代入圆的标准方程得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等都为2， 所以对称圆的方程为. 故选：B. 【变式2】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】 首先分析题意，利用圆的基本性质即可得出答案. 【详解】设圆心为，设圆的标准方程为，将代入圆的方程中，，解得 故圆的标准方程为：. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心为，且与x轴相切； (2)过三点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由题意可以先求出圆的半径，然后结合圆心即可直接写出圆的标准方程. （2）首先由待定系数法求出圆的一般方程，然后将其化为标准形式即可. 【详解】（1）因为圆与x轴相切，且圆心为， 所以圆的半径为， 所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为. （2）不妨设圆的方程为， 由题意将代入圆的方程得， 解方程组得， 所以过三点的圆的方程为， 将其化为标准形式得. 【题型二】点与圆的位置关系 【例2】（2023高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【答案】C 【分析】由点到圆心的距离和圆的半径比较大小即可得解. 【详解】∵， ∴点P在圆外. 故选：C． 解题技巧 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可. 【详解】由， 化为标准方程可得：， 则，即，① 又在圆外，可得：，解得：或，② 由①②取交集可知，实数的取值范围是， 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知点关于直线对称的点Q在圆上，则 ． 【答案】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得坐标,代入圆方程计算即可. 【详解】设,则,解得. 因为在上,所以,解得，经检验，符合题意. 故答案为： 【变式3】（21-22高二·江苏）设a为实数，若点在圆的内部，求a的取值范围． 【答案】 【分析】由点与圆的位置关系建立不等关系，解不等式即可得答案. 【详解】解：因为点在圆的内部， 所以，解得， 所以a的取值范围为. 【题型三】对圆的一般方程的理解 【例3】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知圆心在直线上，即可得结果. 【详解】方程表示圆心为的圆， 由题意可知：圆心在直线上， 则，即. 故选：A. 解题技巧 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标. 【详解】圆可化为， 所以圆心坐标为. 故选：A. 【变式2】（多选）（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线围成的图形的面积大于5 D．曲线上的两点之间距离不大于 【答案】ACD 【分析】A选项，将点关于直线的对称点代入方程即可判断；B选项，分类讨论，作出图形，求出曲线的周长为，B错误；C选项，在B选项基础上，得到图形面积；D选项，作出辅助线，得到即为曲线上的两点之间距离最大值，求出最大值，得到D正确. 【详解】A选项，将点关于直线的对称点代入曲线得， 即点满足曲线C方程，故关于直线对称，A正确； B选项，当时，满足，故原点在上， 当得， 故对应的图形为圆心为，半径为，的圆在第一象限的半圆部分， 此圆弧的长度为， 同理可得，对应的图形如下：    故曲线的周长为，B错误； C选项，曲线围成的图形的面积可分割为边长为的正方形和4个半径为的半圆， 故曲线围成的图形的面积为，故C正确； D选项，其中圆心与，直线与图形交于点， 则即为曲线上的两点之间距离最大值， 其中， 故曲线上的两点之间距离不大于，D正确.    故选：ACD 【点睛】方法点睛：研究曲线方程其图形的对称性，作出图形，数形结合进行求解是解曲线方程问题常用技巧. 【变式3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的一般式方程化为标准式，即可得到半径. 【详解】因为圆，即 即 故答案为:. 【题型四】求圆的一般方程 【例4】（22-23高二·江苏）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 解题技巧 应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】用待定系数法先设圆C的一般方程，再将圆C经过的点代入方程求出未知量即可得解. 【详解】设圆C的一般方程为， 则由题可得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论. 【详解】设所求圆的一般方程为， 因为点，，在圆上， 所以， 解得， 则所求圆的一般方程为：， .故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知点． (1)求△的外接圆方程； (2)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设外接圆的一般方程，代入点的坐标计算得解； （2）求出点关于直线的对称点D，再由点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）设△的外接圆方程为， 代入可得， ，解得, 所以△的外接圆方程为 （2）设， 由可知, 所以直线的方程为，即， 由关于直线的对称点为，可得， 解得，即, 所以，直线方程为，即， 所以点到直线的距离. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】配方后可得圆心坐标和半径． 【详解】由圆，可得圆， 所以圆心坐标为，半径为． 故选：D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的标准方程直接写出圆心即可. 【详解】由题可知圆心坐标为. 故选：B 3．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知四点共圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三点求出圆的方程，再把代入方程即可求解 【详解】设过四点的圆的方程为， 将代入可得： ，解得， 所以圆的方程为， 将代入圆的方程得， 解得， 故选：D 4．（23-24高二上·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则，且中点为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程为，展开得， 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 已知圆过，，三点，将这三点分别代入圆的标准方程，得到三个方程，联立求解就可以得到圆心坐标和半径. 【详解】设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 三个式子联立解得，，，. 则所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 二、多选题 6．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）使方程表示圆的实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】BC 【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围. 【详解】，配方得： ， 要想表示圆，则， 解得：， 故选：BC 7．（22-23高二上·江苏·阶段练习）设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 【答案】AB 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 三、填空题 8．（22-23高二上·江苏南京·期末）已知圆过点，，，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可. 【详解】根据题意，设圆的方程为 又由圆过点，，， 则有， 解可得，，， 即圆的方程为：， 故答案为：. 9．（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的半径为 【答案】 【分析】利用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程即可求解. 【详解】由，得， 所以圆的半径为. 故答案为： 10．（24-25高二上·江苏·期中）圆心为且与直线相切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可知：圆心为，半径，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知：圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为 . 【答案】2 【分析】设圆心为，由题意列式求解，即得答案. 【详解】因为圆C的圆心在直线上， 故设圆心为，由题意可得圆的半径为或， 则，解得，即得圆的半径为2， 故答案为：2 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再确定半径得到答案. （2）根据垂直和中点得到关于直线对称的点为，即为所求直线. 【详解】（1），则的垂直平分线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线为，，解得，即圆心为， 圆的半径， 故圆方程为. （2）反射光线恰好平分圆的圆周，故反射光线过圆心， 设关于直线对称的点为， 则，且，解得，即， ， 故反射光线为，即. 13．（2023高二上·江苏·专题练习）某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽为10 m，上面载有货物，水面到船顶高为4 m，问该船能否顺利通过该桥？ 【答案】能 【分析】依题意，以圆拱桥的横截面与水面的交线所在的直线为x轴，过圆拱最高点且垂直于水面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将由图所得的已知点的坐标，代入圆的方程中解方程组求出圆的方程，最后再判断点与圆的位置关系，并根据结论结果判断船是否能通过桥洞. 【详解】 以圆拱桥的横截面与水面的交线所在的直线为x轴，过圆拱最高点且垂直于水面的直线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 设圆拱所在圆的圆心坐标为，半径为， 则圆的方程为． 分别将点，代入上式，得， 解得∴圆的方程为． ∵船宽为10 m，水面到船顶高为4 m， ∴判断该船能否通过该桥，即判断点与圆的位置关系． ∵，∴点在圆内，故该船能顺利通过该桥. 14．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）法一：设圆的方程为，代入点的坐标，进而解方程组可求圆的方程；法二：求得，可得的圆心是的中点，可求圆的方程； （2）假设存在，对任意的都有，计算利用恒成立可得，求解即可. 【详解】（1）法一：设圆的方程为，则 ， 解得：， 所以圆的方程为，即， 法二：因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； （2）假设存在，对任意的都有， 即：， 化简得：， 又满足，即， 即：， 所以， 解得：， 即存在满足条件． 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的三顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及点斜式直线方程，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，利用待定系数法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即； （2）设外接圆的方程为， 即，解得，，， 所以外接圆的方程为，即. 16．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）（1）已知点和，求以线段为直径的圆的标准方程． （2）已知半径为的圆过点，且圆心在直线上，求圆的标准方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求得圆心及半径可得答案；（2）采用待定系数法求解. 【详解】（1）因为线段是圆的直径， 所以线段中点是圆心，即圆心为， 所以，， 所以圆方程是 （2）设圆心 ，则圆的标准方程是， 因为圆心在直线上，所以 因为圆过点，所以 所以或， 所以圆的标准方程是或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$