精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高二下学期5月考试数学试题

2025年05月高二数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理结合捆绑法分析求解. 【详解】先从5人中选出4人值班， 再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天， 所以安排方法数为. 故选：B. 2. 若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ） A. 1960 B. C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】因为展开式的各项的二项式系数和为32，所以，解得， 则展开式的通项公式为， 令，得展开式中含的系数为. 故选：A 3. 小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（ ） A. 0.64 B. 0.68 C. 0.72 D. 0.76 【答案】D 【解析】 【分析】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级，可得，，利用全概率公式可求小明晋级的概率. 【详解】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级， 由题意可得，， 所以由全概率公式得. 故选：D. 4. 若，则，，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得，再利用原则代入计算即可. 【详解】∵，由，， ∴. 故选：C 5. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确； 对于B，由，得第75百分位数为，B正确； 对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确. 故选：C 6. 若函数在上为单调减函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的恒成立，则， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故. 故选：A. 7. 若随机变量的分布列为 0 1 2 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机概率的性质可得，根据随机变量的分布列确定随机变量的分布列，从而可得，联立解得的值，于是可得的值. 【详解】由分布列可得，即①， 又， 则随机变量的分布列为 0 1 4 所以，即②， 联立①②可得：， 则. 故选：A. 8. 已知事件A，B，且则P(B)等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合条件概率公式，由，再由得到，进而求出答案. 【详解】由题意，，易知, 所以， 所以. 故选：B. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A. 这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36 B. 这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C. D. 若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布可得期望和方差，利用参考数据及对称性可判断其它选项. 【详解】由题意知，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是，标准差是，所以A错误； 由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确； 由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确； 由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误． 故选：BC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 两组样本数据，，，和，，，的平均数分别为，，若已知，则 B. 已知变量x，y的n对样本数据，，…，，，变量x，y的线性回归方程为，若，，则 C. 若随机变量服从二项分布：，则 D. 某学生8次考试的数学成绩分别为：101，108，109，120，132，135，141，141，则这8次数学成绩的75%分位数为135 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可判断选项A；根据回归直线必过样本中心点即可判断选项B；根据二项分布的方差即可判断选项C；根据百分位数的定义即可判断选项D. 【详解】对于选项A，因为，，， 所以，即，故选项A正确； 对于选项B，由题意得，解得，故选项B正确； 对于选项C，因为随机变量服从二项分布：，所以， 所以，故选项C错误； 选项选项D，由，可得这8次数学成绩的75%分位数为第6与第7个数据的平均数，故选项D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 【答案】BC 【解析】 【分析】A通过判断在上是否恒大于等于0可得选项正误；B利用导数求出在上的单调性，据此可得值域；C由导数知识可得在点处的切线；D将问题转化为图象与直线有两个交点. 【详解】对于A，，，则在上单调递减，故A错误； 对于B，由A分析，，则在上单调递增， 则， 故函数在上的值域为； 对于C，由题，， 则点处的切线方程为，故C正确； 对于D，即图象与直线有两个交点，由上述分析可得大致图象如下， 则要使图象与直线有两个交点，，故D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 的展开式中的系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案. 【详解】二项式的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 因此展开式中含的项为，故所求系数为. 故答案为：24. 13. 某校5名大学生分别从西班牙语、意大利语、葡萄牙语中选择1种进行学习，每种语言至少有1人且至多有2人选择，若学生A不选择葡萄牙语，则所有不同的学习方案种数为___________. 【答案】60 【解析】 【分析】由题知将5名大学生分为1人、2人、2人三组，根据分组分配原理可得共有15种分法，再根据要求排列即可，最后利用分步计算原理可求解. 【详解】由题意可将5名大学生分为1人、2人、2人三组，共有（种）分法， 若学生A不选择葡萄牙语，则学生A所在的组有2种选择， 剩下的2组全排列，有（种）排法， 故所有不同的学习方案种数为. 故答案为：60. 14. 已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合的知识与隔板法，分类讨论求得与对应的概率，从而利用数学期望的计算公式即可求解. 【详解】设这三个正整数分别为，则题意可得， 所以随机变量可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，； 当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以时，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用隔板法求得事件总情况为种，再分类讨论与对应的概率，从而得解. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.） 15. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． （1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； （2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 （3）选手乙，理由如下： 设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴可以认为选手乙晋级的可能性更大． 【解析】 【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可； （2）由题意得，，再根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可； （3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可. 【小问1详解】 设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则． 故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为． 【小问2详解】 由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴． 【小问3详解】 略 16. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间. （3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为： 0 1 2 3 期望为【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可； （2）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图得： ． 【小问2详解】 由题意知，即， 所以． 【小问3详解】 由题意可知，和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 【答案】（1） （2）没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据题干条件直接计算即可； （2）写出零假设，列联表，计算卡方对比即可得出结论； （3）先得出，进一步列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为， 所以； 【小问2详解】 零假设：喜爱足球运动与性别无关． 作出列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 由题， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关． 【小问3详解】 现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是， 从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则， 所以， 令，解得， 故使事件“”概率最大的的值为20． 19. 已知，. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）讨论函数在上的单调性； （3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解； （2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可； （3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可. 【小问1详解】 因为，故，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 与两坐标轴的交点分别为， 故围成的三角形的面积为. 【小问2详解】 因为，故， 令， 当，则，故在上单调递减； 当，则时，，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增. 【小问3详解】 即， 即对一切实数恒成立， 令 当时，单调增； 当时，单调减；故最大值为， 则， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年05月高二数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 180 2. 若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ） A. 1960 B. C. 40 D. 3. 小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（ ） A. 0.64 B. 0.68 C. 0.72 D. 0.76 4. 若，则，，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 6. 若函数在上为单调减函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量的分布列为 0 1 2 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知事件A，B，且则P(B)等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A. 这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36 B. 这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C. D. 若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 10. 下列说法正确的是（ ） A. 两组样本数据，，，和，，，的平均数分别为，，若已知，则 B. 已知变量x，y的n对样本数据，，…，，，变量x，y的线性回归方程为，若，，则 C. 若随机变量服从二项分布：，则 D. 某学生8次考试的数学成绩分别为：101，108，109，120，132，135，141，141，则这8次数学成绩的75%分位数为135 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 的展开式中的系数为___________． 13. 某校5名大学生分别从西班牙语、意大利语、葡萄牙语中选择1种进行学习，每种语言至少有1人且至多有2人选择，若学生A不选择葡萄牙语，则所有不同的学习方案种数为___________. 14. 已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.） 15. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． （1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； （2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 16. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 18. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 19. 已知，. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）讨论函数在上的单调性； （3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $