第21章 一元二次方程能力提升测试卷-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第21章 一元二次方程能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 2．在宽为，长为的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为，设道路的宽为米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 4．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 5．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．电影哪吒于年月日上映，第一天票房约亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约亿，若把增长率记作，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 7．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 8．对于实数m、n定义运算“☆”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 9．若一元二次方程的一个根为，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 10．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．关于x的方程的两根为，，且，则 ． 12．若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 13．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为 m． 14．关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）用合适的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 16．（8分）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． (1)请问每次降价的百分率为多少？ (2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 17．（8分）已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 18．（8分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 19．（8分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为元件，平均每天销售量是件，在实体店的销售价定为元件，平均每天销售量是件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低元，网上销售量平均每天多售出件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为元件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润总毛利润网上毛利润实体店毛利润达到元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 20．（8分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 21．（10分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．在宽为，长为的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为，设道路的宽为米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，属于简单题，平移道路形成新的矩形是解题关键． 将阴影部分推至左上角，计算空白部分面积即可． 【详解】如下图， 将道路推至左上角，形成新矩形田地， ∵道路的宽为米， ∴新矩形田地长为，宽为， ∵每小块试验田的面积为，即新矩形面积为， ， 整理得， 故选：C． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据题意得出，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， ∴m且． 故选：D． 4．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 5．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 6．电影哪吒于年月日上映，第一天票房约亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约亿，若把增长率记作，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，即可得出关于的一元二次方程．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 7．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程．求出一元二次方程的解，根据方程的两根为等腰三角形的腰和底的长，分类讨论求解即可． 【详解】解：， ， 或， ∴， 当腰为2，底为4时，因为，不符合三角形三边的关系，舍去， 当腰为4，底为2时，三角形的周长为． 故选：B． 8．对于实数m、n定义运算“☆”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算法则列出方程，再由根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 9．若一元二次方程的一个根为，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键； 根据m是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．关于x的方程的两根为，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，可得，可以求出、，根据可以求出． 【详解】解：方程的两根为，， ， 又 ， ， 解得：， ， ， ． 故答案为：． 12．若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是关键． 根据题意，把代入得到，在根据一元二次方程根与系数的关系“”的计算即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 解得，， ∴一元二次方程为， ∴， 故答案为： ． 13．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为 m． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意可得：， 解得， 解得（舍去）， 故答案为：． 14．关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）用合适的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)方程没有实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法， （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 即，， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴方程没有实数根． 16．（8分）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． (1)请问每次降价的百分率为多少？ (2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 【答案】(1) (2)120盒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，建立方程求解即可； （2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒，根据利润不低于2000元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为120， 答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒． 17．（8分）已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)2015 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键； （1）证明方程的判别式大于0即可； （2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． 18．（8分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键． （1）设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，建立一元一次方程求解，即可求解长、宽、高，即可求解体积； （2）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，再解一二次方程即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴长为，宽为6，高为， ∴体积为：； （2）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴剪去的小正方形的边长为． 19．（8分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为元件，平均每天销售量是件，在实体店的销售价定为元件，平均每天销售量是件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低元，网上销售量平均每天多售出件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为元件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润总毛利润网上毛利润实体店毛利润达到元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 【答案】任务：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务：网上销售价下降元或元；任务：网上销售价下降元时总毛利润最大 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 任务：依据题意，当网上售价降至元件时，下降幅度为：元，从而网上销量增加件，则总销量为件，可得网上毛利润为：元；又实体店销量减少：件，总销量为件，则实体店毛利润为：元，进而得解； 任务：依据题意，设网上售价下降元，总毛利润为元，从而网上毛利润为：，则实体店毛利润为：从而总利润方程为：，则，求出的值即可判断得解； 任务：依据题意，由总利润函数为：，进而根据配方法求得最值，即可求解． 【详解】解：任务：由题意，当网上售价降至元件时，下降幅度为：元； 网上销量增加件， 总销量为件． 网上毛利润为：元． 又实体店销量减少：件，总销量为件． 实体店毛利润为：元． 任务：由题意，设网上售价下降元，总毛利润为元， 网上毛利润为：． 实体店毛利润为： 总利润方程为：． ． ． 或． 每件商品的网上销售价下降元或元． 任务：依据题意，由总利润函数为： ∴当时，总利润最大 ∴网上销售价下降5元时总毛利润最大 20．（8分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 21．（10分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，， cm，cm，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意可知：，，， ∵四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或； （2）解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， 即， ， 方程无实数根， 的面积不能为. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $$