精品解析：天津市第二十中学2024-2025学年高二下学期第二次学情调研（6月）数学试题

2024-2025第二学期高二年级数学学科第二次学情调研 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，且，则 A. B. C. D. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在R上的奇函数，，且时，则=（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 已知函数在区间单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回地从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，，若成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知幂函数，若f(a+1)<f(10−2a)，则实数a的取值范围是________. 11. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 12. 已知lg 9=a,10b=5，则用a，b表示log3645为__________． 13. 某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有_____种不同的方法.(用数字作答) 14. 已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____． 15. 已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在二项式的展开式中， （1）求展开式中的第四项； （2）求展开式中的常数项； 17. 已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. （1）求，的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 18. 某流水线生产一批A产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． （1）若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列与数学期望； （2）若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为Y，求Y的数学期望与方差． 19. 已知函数 （1）当时，若直线l过原点且与曲线相切，求的方程； （2）若函数在上恰有2个零点求a的取值范围； 20. 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025第二学期高二年级数学学科第二次学情调研 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得或， 则， 又， 所以， 即． 2. 已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A. 3. 已知，且，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A：由，得，即，A不正确； B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立； C：由，，得，故，C正确； D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C. 【考点】函数性质 【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，即可求和，即可求得切线方程. 【详解】由，得， 则， 则， 所以切线方程为. 故选：A. 5. 已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴，与轴交点位置，开口方向以及最值可判断图象位置. 【详解】由题意，函数， 因为，令，可得，即函数图象过点． 又由，可得，，所以抛物线的开口向上，可排除D项， 令，可得，可排除B、C项． 故选：A． 6. 已知函数是定义在R上的奇函数，，且时，则=（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚拟函数的奇偶性和满足的条件，求出周期，根据周期缩小自变量的值，根据奇函数性质，求出函数值. 【详解】因为函数满足，所以，即函数是以3为周期的周期函数，又函数是定义在上的奇函数，且时，，所以． 故选：D． 7. 已知函数在区间单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分离参数求最值即可求出． 【详解】因为，定义域为， 所以， 则函数在区间上单调递增， 即在上恒成立， 又，所以问题转化为在上恒成立， 设， 则， 所以在上单调递增， 则， 故，即， 所以的最小值为：. 故选：A. 8. 一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回地从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】A、根据条件概率得：，A选项正确； B、，B选项错误； C、由题得，，C选项正确； D、，故D正确． 故选：B. 9. 已知函数，，若成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据，先求，再表示，通过设函数，，利用导数求函数的最小值. 【详解】设，则，，则， 则， 令，， 则，∴递增， ∴时，， ∴有唯一零点， ∴时，取最小值， 即取最小值，． 故选：C 【点睛】本题考查导数与函数的最值，通过构造函数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知幂函数，若f(a+1)<f(10−2a)，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域和单调性解不等式可得答案. 【详解】因为幂函数在定义域上为减函数， 又f(a+1)<f(10−2a)， ∴解得∴3<a<5. 故答案为：. 【点睛】本题考查了幂函数的定义域和单调性，属于基础题. 11. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所有项的二项式系数之和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. 【详解】由于所有项的二项式系数之和为， 二项式展开式的通项公式为， 令，所以常数项为. 故答案为： 12. 已知lg 9=a,10b=5，则用a，b表示log3645为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由已知得，则， 因为，所以， 即. 13. 某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有_____种不同的方法.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】先分组再分配，利用排列组合知识解决即可. 【详解】按照1：3的比例，共有种分组方案； 按照2：2的比例，共有种分组方案； 则共有种分配方案 故答案为： 14. 已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得，由二次函数的性质可得，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围． 【详解】先画出函数的图象，如图所示： 因为互不相同，不妨设，且， 而，即有，可得，则， 由，且，可得， 且， 当时，，此时，但此时b，c相等， 故的范围为． 故答案为． 【点睛】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用． 15. 已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由化简可得，利用可得出，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】，， 由题意可得，即， ，化简可得，即， 而，，则， 当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立， 所以，，因此，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用切线斜率相等求参数的取值范围，涉及导数几何意义以及基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 四、解答题：本题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在二项式的展开式中， （1）求展开式中的第四项； （2）求展开式中的常数项； 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）求出二项式的展开式的通项为，令，即可求解； （2）结合（1）所求二项式的展开式的通项为，令，即可求解. 【小问1详解】 因为二项式的展开式的通项为， 所以展开式的第四项为； 【小问2详解】 二项式的展开式的通项为，由，可得常数项为1. 17. 已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. （1）求，的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的对称轴，利用二次函数的性质判断函数在区间上的单调性，利用最值求参数a和b； （2）将原不等式转化为求函数的最值. 【小问1详解】 的对称轴为，因为， 所以在区间上的单调递增， 所以，， 解得，. 【小问2详解】 ，， 因为不等式在上有解，令， 则在上有解，代入得，即， 令，则在上有解， 因为在处取得最大值1，所以，实数的取值范围. 【点睛】（1）判断二次函数的对称轴，进而判断单调性，求最值； （2）换元，分参，将原不等式转化为求函数的最值. 18. 某流水线生产一批A产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． （1）若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列与数学期望； （2）若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为Y，求Y的数学期望与方差． 【答案】（1）的分布列 1 2 3 ， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据分层抽样的定义，按比例求出所抽的10件产品中一等品､二等品､三等品的件数分别为8，1，1件，则的可能取值为1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与数学期望； （2）先求出取出是一等品的概率，则由题意可知服从二项分布，然后利用二项分布的期望和方差公式可求出的数学期望与方差． 【小问1详解】 由题意可知抽取的10件产品中一等品有件，二等品有件，三等品有件， 所以的可能取值为1，2，3，则 ， ， ， 所以的分布列如下表 1 2 3 所以 【小问2详解】 由题意得从这100件产品中取出1件是一等品的概率为， 则由题意可知， 所以 19. 已知函数 （1）当时，若直线l过原点且与曲线相切，求的方程； （2）若函数在上恰有2个零点求a的取值范围； 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程； （2）问题转化为恰有2个不相等的正实数根，，令，利用导数求出函数的单调性和最值，数形结合得解； 【小问1详解】 当时，，设直线l与曲线相切于点， 因为，所以直线l的斜率， 又，故l的方程为， 又过原点，所以，所以， 所以，故l的方程为，即． 【小问2详解】 因为在上恰有两个零点， 所以关于x的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，， 令，则与的图象有两个不同的交点． 因为，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示， 所以当时，直线与的图象有两个不同交点， 所以实数a的取值范围为． 20. 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 若，，要证，即证 ，只要证， 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，即， 因为时，，所以. 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可求出结果； （2）利用指对同构，化为证明，再构造函数，利用导数可证； （3）转化为在上恒成立，再构造函数设，利用其单调性化为恒成立，再构造函数，利用导数可求出结果. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，得，由，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，即， 即，即恒成立， 设， 因为， 设，， 当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以，在上为增函数， 所以由，即由可得，即在上恒成立， 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，总有成立，故； （2）若，总有成立，故； （3）若，使得成立，故； （4）若，使得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $