第8讲 圆与圆的位置关系（1个知识点6大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第8讲 圆与圆的位置关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一：判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（2025·高二·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 【典例1-2】（2025·高二·河南洛阳·期末）已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 【答案】B 【解析】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，圆可化为， 圆心为，半径为. 因为，所以两圆外切， 即恰有三条直线与圆C和圆都相切，故C正确； 对于D项，因为， 所以直线l与直线垂直，故D项正确. 故选：B 【变式1-1】（2025·高二·新疆巴音郭楞·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【解析】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 【变式1-2】（2025·高二·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】B 【解析】对于圆：方程为，其圆心，半径. 对于圆：方程为，其圆心，半径. 根据两点间距离公式，则圆心距. 两圆半径之和. 因为圆心距，恰好等于两圆半径之和. 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：B. 【变式1-3】已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（    ） A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切 【答案】A 【解析】由，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因为动点在直线上运动，所以， 又圆的半径为，所以， 所以圆与圆的位置为相离. 故选：A. 题型二：求两圆的交点问题 【典例2-1】（2025·高二·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则 . 【答案】/ 【解析】设点关于直线的对称点为， 显然在上， 由对称性可知，，故点在以原点为圆心，2为半径的圆上， 即， 联立与得， 故点，显然的中点在上， 即，解得. 故答案为：. 【典例2-2】（2025·高二·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【解析】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 【变式2-1】（2025·高二·重庆·竞赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 . 【答案】 【解析】注意点在圆上，且关于直线对称的点必然在圆上， 因为联立两圆方程解得：， 圆与圆仅有唯一公共点， 因此对称点只能是.因为，， 由余弦定理可得：， 所以，因此. 故答案为：. 【变式2-2】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【解析】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 【变式2-3】圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【解析】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 题型三：公共弦问题 【典例3-1】（2025·高二·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A 【典例3-2】（2025·高二·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 【变式3-1】（2025·高二·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 【变式3-2】（2025·高二·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 【变式3-3】（2025·高二·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆的交点为，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由得， 所以圆和圆的公共弦所在直线方程为， 圆的圆心为，半径， 到公共弦所在直线的距离为， 所以. 故选：C. 【变式3-4】（2025·高二·山东潍坊·期末）已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为为，半径， 可知圆与圆均关于x轴对称，则线段AB的关于x轴对称， 若两圆在点处的切线互相垂直，则， 可得， 由的面积可得， 即，解得. 故选：D. 题型四：由圆的位置关系确定参数 【典例4-1】已知圆和圆内切，则 . 【答案】 【解析】圆，圆心，半径为， 圆，圆心，半径， 因为两圆内切，所以，解得（舍去负值）． 故答案为：. 【典例4-2】（2025·高二·辽宁锦州·期中）若圆关于直线对称，则 ． 【答案】/0.25 【解析】圆的圆心为， 依题意，点在直线上，即，解得， 此时圆，即，符合题意， 所以. 故答案为： 【变式4-1】（2025·高二·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 【答案】±4 【解析】两圆的圆心为，，半径为1和4， 因为两圆外切，则，解得. 故答案为：±4 【变式4-2】（2025·高二·河南南阳·期末）已知圆：与圆：（）外切，则 . 【答案】1 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径为， ∵圆与圆外切，∴，解得. 故答案为：. 【变式4-3】已知圆和圆内切，则 . 【答案】7 【解析】由题意可知圆心，半径为2，圆心，半径为r. 则，即点在圆外. 又因为两圆内切，所以，则. 故答案为：7. 题型五：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例5-1】已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 【典例5-2】（2025·高二·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 【变式5-1】（2025·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 【变式5-2】已知圆，则圆O关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称圆的圆心为， 所以对称圆的方程为即. 故选：A. 题型六：公切线问题 【典例6-1】（2025·高二·陕西榆林·期中）如图，半径为1的圆与轴和轴都相切.当圆沿轴向右滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为；当圆沿轴向上滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为.若直线与圆和圆都相切，且与圆相离，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】依题意，圆，圆，圆， ，即圆和圆相离，它们有4条公切线，两条内公切线分别为和， 直线和都与圆相切，不符合题意； 由圆和圆是等圆，得圆和圆的两条外公切线都与直线平行， 由，得外公切线的斜率，设方程为， 于是，解得或， 当时，切线，点到此直线距离，直线与圆相离， 当时，切线，点到此直线距离，直线与圆相交， 所以直线的方程为. 故答案为： 【典例6-2】（2025·高二·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【解析】由题可知： 所以 两个圆的半径和为 所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或 所以切线方程为，或 故答案为：；； 【变式6-1】已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【解析】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 【变式6-2】（2025·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【解析】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 【变式6-3】圆和圆的公切线的方程为 . 【答案】或或 【解析】圆，圆心坐标，半径， 圆，圆心坐标，半径， 由，则两圆相外切， 由圆心和半径可知，两圆均与直线相切， 直线的方程为，直线与直线的交点为， 设过的另外一条切线为，由点到切线距离为1，故， 解得，或，故另外一条切线为. 因为直线的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为， 设过公切点的切线方程为，由点到切线距离为1，则， 所以，故. 故答案为：或或. 1．已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 【答案】D 【解析】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，故A正确： 对于B，，又， 即定点在圆C内，则直线与圆C相交，有两个交点，故B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线l的距离为， 而圆C半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故C正确： 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为，所以两圆相交， 因此它们有两条公切线，故D错误. 故选：D 2．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】D 【解析】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，当时，，两直线不平行，又因为两直线相交于点，且的斜率，的斜率，，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆.故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最小值为圆心距减去两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最大值． 故选：D． 3．（2025·高三·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 4．（2025·高二·广东·期中）已知点在圆上，直线与两坐标轴分别交于，两点，若存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，由题意可知直线与两坐标轴的交点为， 不妨设，则，根据直径所对的圆周角为直角， 故以为直径的圆与圆有交点， 而，由两圆相交得， 解得． 故选：B． 5．（2025·高二·江西景德镇·期中）已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 【答案】B 【解析】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，因为， 所以直线l与直线垂直.故C正确； 对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切. 圆可化为， 圆心为，半径为. 因为两圆外切，所以有， 即， 整理可得，化简可得，解得.故D项正确. 故选：B 6．（2025·高二·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【解析】圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线. 故选：A 7．（2025·高二·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【解析】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 8．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 9．（多选题）（2025·重庆·二模）已知直线，圆，下列结论正确的是（   ） A．直线与圆总有公共点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若圆与圆有交点，则的取值范围是 D．当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】对于A：圆 的圆心到直线的距离为 ， 故当时，直线与圆没有公共点，故A错误； 对于B：直线恒过定点， 则圆心到直线的最大值为，故B正确； 对于C：圆的圆心为，半径为， 圆，圆心，半径为， ，由圆与圆有交点， 所以，即，所以， 即r的取值范围是，故C正确； 对于D：当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则直线和圆相离或相切， 所以圆心到直线的距离为， 解得，所以实数k的取值范围为，故D错误. 故 选：BC. 10．（多选题）（2025·高二·浙江·期中）如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（   ） A．曲线上的点的横坐标取值范围是 B．曲线上的点到原点的距离最大值为 C．曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D．曲线所围成的“心形”区域面积大于3 【答案】BCD 【解析】对于A，根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 移项可得， 关于的一元二次方程的判别式， 解得，又因为，所以， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 所以曲线上的点的横坐标取值范围是，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 曲线上的点到原点的距离最大值为，故B正确； 对于C，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，C正确； 对于D，因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，D正确； 故选：BCD 11．（多选题）（2025·宁夏银川·二模）已知圆，直线，则（    ） A．直线l与圆C可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 【答案】CD 【解析】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交.故A错误； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，因为， 所以直线l与直线垂直.故C正确； 对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切. 圆可化为， 圆心为，半径为. 因为两圆外切，所以有， 即， 整理可得，化简可得， 解得.故D项正确. 故选：CD. 12．写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可 【答案】（答案不唯一） 【解析】设圆心，由已知圆与直线：相切，圆与圆：相切， 可得，解得或或， 圆的方程为或或．（写其中一个即可） 故答案为：（答案不唯一） 13．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【解析】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 14．已知圆和圆相切，则 【答案】或或 【解析】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 15．（2025·高二·云南临沧·期中）以下四种表述正确的是 填写正确表述的序号 ①点在圆的内部，则的取值范围是 ②圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 ③曲线与曲线恰有三条公切线，则 ④直线恒过定点 【答案】①②③ 【解析】对于，因为点在圆的内部， 所以，解得：，即的取值范围是，故正确； 对于，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故正确； 对于，曲线即， 则圆心，半径为，曲线即， 则圆心，半径为，两圆的圆心距为， 因为圆：与圆：有三条公切线， 则两圆属于外切的位置关系，所以，解得，故正确； 对于，直线即， 由，解得 所以直线过定点，故错误． 故答案为：． 16．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【解析】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 17．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆交于A，B两点，则当最大时， . 【答案】2 【解析】易知圆心，半径， 又因为都在圆上，可知，如图所示： 当公共弦长最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，， 所以. 故答案为：2 18．（2025·高二·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【解析】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 19．已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 【解析】（1）设圆的方程为，， 由圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得， 故圆的方程为； （2） 设点，则动圆的半径为，因动圆与圆相外切，则， 即，两边取平方，化简得：， 故当时，，当时，，当时，点在圆上，不合题意. 故动圆圆心的轨迹方程为；. 20．判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【解析】， 圆心为，半径为， ， 圆心为，半径为， 所以， 所以两圆内含，故两圆无公共点. 21．（2025·高二·四川广安·开学考试）已知圆，直线过点且与圆相切． (1)求直线的方程； (2)设圆与圆关于直线对称，求出圆的方程； 【解析】（1）如图： 由题可得圆心，， 因为，所以点在圆上，即点为切点， 因，故直线的斜率为， 故直线的直线方程为，即. （2）因为圆与圆关于直线对称，所以点恰为的中点， 故得，又圆的半径为，故. 22．（2025·高二·辽宁大连·期末）已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 【解析】（1）因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径. 所以圆的方程为. （或者）. 因为圆：（）的圆心为， 半径为，且两个圆相交，所以， 即，解得. （2）圆与圆交点满足方程组， 所以两圆公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离为， 因为两圆的公共弦长为，所以， 整理得，解得或， 由（1）可知，或均符合题意. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 圆与圆的位置关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一：判断圆与圆的位置关系 【典例1-1】（2025·高二·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例1-2】（2025·高二·河南洛阳·期末）已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 【变式1-1】（2025·高二·新疆巴音郭楞·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【变式1-2】（2025·高二·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【变式1-3】已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（    ） A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切 题型二：求两圆的交点问题 【典例2-1】（2025·高二·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则 . 【典例2-2】（2025·高二·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【变式2-1】（2025·高二·重庆·竞赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 . 【变式2-2】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【变式2-3】圆与的交点坐标为 . 题型三：公共弦问题 【典例3-1】（2025·高二·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高二·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高二·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高二·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高二·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆的交点为，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式3-4】（2025·高二·山东潍坊·期末）已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 题型四：由圆的位置关系确定参数 【典例4-1】已知圆和圆内切，则 . 【典例4-2】（2025·高二·辽宁锦州·期中）若圆关于直线对称，则 ． 【变式4-1】（2025·高二·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 【变式4-2】（2025·高二·河南南阳·期末）已知圆：与圆：（）外切，则 . 【变式4-3】已知圆和圆内切，则 . 题型五：由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例5-1】已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【典例5-2】（2025·高二·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知圆，则圆O关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 题型六：公切线问题 【典例6-1】（2025·高二·陕西榆林·期中）如图，半径为1的圆与轴和轴都相切.当圆沿轴向右滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为；当圆沿轴向上滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为.若直线与圆和圆都相切，且与圆相离，则直线的方程为 . 【典例6-2】（2025·高二·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【变式6-1】已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【变式6-2】（2025·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【变式6-3】圆和圆的公切线的方程为 . 1．已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 2．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 3．（2025·高三·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·高二·广东·期中）已知点在圆上，直线与两坐标轴分别交于，两点，若存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·江西景德镇·期中）已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 6．（2025·高二·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 7．（2025·高二·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 8．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·重庆·二模）已知直线，圆，下列结论正确的是（   ） A．直线与圆总有公共点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若圆与圆有交点，则的取值范围是 D．当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则实数的取值范围为 10．（多选题）（2025·高二·浙江·期中）如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（   ） A．曲线上的点的横坐标取值范围是 B．曲线上的点到原点的距离最大值为 C．曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D．曲线所围成的“心形”区域面积大于3 11．（多选题）（2025·宁夏银川·二模）已知圆，直线，则（    ） A．直线l与圆C可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 12．写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 只需写出符合条件的一个方程即可 13．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 14．已知圆和圆相切，则 15．（2025·高二·云南临沧·期中）以下四种表述正确的是 填写正确表述的序号 ①点在圆的内部，则的取值范围是 ②圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 ③曲线与曲线恰有三条公切线，则 ④直线恒过定点 16．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 17．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆交于A，B两点，则当最大时， . 18．（2025·高二·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 19．已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 20．判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 21．（2025·高二·四川广安·开学考试）已知圆，直线过点且与圆相切． (1)求直线的方程； (2)设圆与圆关于直线对称，求出圆的方程； 22．（2025·高二·辽宁大连·期末）已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$