第06讲 圆的方程（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第06讲 圆的方程 【苏教版2019】 模块一 圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·全国·课后作业）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知圆，则其圆心和半径分别为（     ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 模块二 二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（24-25高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·河北·阶段练习）若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（24-25高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【变式5.2】（24-25高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5.3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 模块三 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系】 【例6】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【变式6.1】（24-25高二上·福建泉州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·山东·期中）已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式6.3】（24-25高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块四 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 轨迹问题——圆】 【例7】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 模块五 与圆有关的对称问题 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式8.3】（24-25高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 8．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 二、多选题 9．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 10．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 11．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 13．（24-25高二上·云南曲靖·期中）若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 . 14．（24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 m.    四、解答题 15．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 16．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 17．（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 18．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知圆过，两点，且圆心在上． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的标准方程 19．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆的方程 【苏教版2019】 模块一 圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可. 【解答过程】由的圆心为，A错； 由的圆心为，B错； 由的圆心为，显然点在圆上，C对； 由的圆心为，D错； 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用待定系数法可求圆的一般式方程，再化为标准方程即可. 【解答过程】设圆的方程为， 因为圆三点，，， 可得，解方程可得， 即圆的方程为，即圆的标准方程为. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由求解. 【解答过程】解：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆的标准方程是，将代入求解即可. 【解答过程】解：由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A. 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【解答过程】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【解答过程】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【解答过程】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 【变式2.3】（25-26高二上·全国·课后作业）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案. 【解答过程】由题意得，圆的半径， 所以圆的方程为， 所以圆的一般方程为. 故选：C. 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知圆，则其圆心和半径分别为（     ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆的标准方程的特点确定圆心和半径. 【解答过程】圆的圆心的坐标为，半径为. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】把圆的一般方程化为标准方程即可得到圆心坐标. 【解答过程】由得，故圆心坐标为. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】配方后可得圆心坐标和半径． 【解答过程】由圆，可得圆， 所以圆心坐标为，半径为． 故选：D． 【变式3.3】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题得是直角三角形，且，即可得到答案。 【解答过程】由题得是直角三角形，且． 所以的外接圆的圆心就是线段的中点， 由中点坐标公式得，． 故选：A. 模块二 二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（24-25高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【解答过程】若曲线表示圆， 则由圆的一般方程可知，，解得或. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆的一般方程，由求解. 【解答过程】解：因为方程表示圆， 所以， 解得， 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二上·河北·阶段练习）若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用圆的一般方程满足条件来求解即可. 【解答过程】因为是一个圆的方程， 所以，由得: ， 解得， 故选：C. 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（24-25高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解答过程】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式5.1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【解题思路】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【解答过程】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 【变式5.2】（24-25高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【解答过程】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式5.3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 或 ． 【解题思路】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解答过程】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 模块三 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系】 【例6】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【解题思路】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【解答过程】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二上·福建泉州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【解答过程】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 【变式6.2】（24-25高二上·山东·期中）已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（   ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】根据方程表示圆得，根据原点不在圆内得，解得的取值范围，再逐项判断即可. 【解答过程】依题意，方程表示圆，则，解得. 因为坐标原点不在圆的内部，所以. 综上所述，，结合选项可知A符合题意. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【解答过程】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 模块四 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 轨迹问题——圆】 【例7】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解. 【解答过程】设线段中点，则在圆上运动， ，即． 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【解答过程】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【解答过程】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D. 【变式7.3】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【解答过程】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：A. 模块五 与圆有关的对称问题 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【解答过程】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果. 【解答过程】易知圆的圆心为， 设关于直线对称点为， 所以，解得， 因此对称后圆的圆心为，半径为， 即可得方程为. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【解题思路】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【解答过程】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C. 【变式8.3】（24-25高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【解答过程】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【解答过程】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 【解题思路】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【解答过程】， 故圆心为，半径为1. 故选：B. 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【解答过程】根据题意，圆可化为， 所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为． 故选：B. 5．（24-25高二上·重庆·期末）方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【解题思路】根据和，平方化简可得圆的方程，即可求解. 【解答过程】由于，故或， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆， 故选：D. 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【解答过程】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C. 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【解题思路】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【解答过程】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B. 8．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 【解题思路】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可. 【解答过程】 化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【解题思路】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【解答过程】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 10．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【解题思路】配方化为圆的标准方程即可得圆心、半径. 【解答过程】由可得， 所以圆心为，半径为， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD. 11．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【解题思路】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【解答过程】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 【解题思路】求得圆的标准方程化为一般式即可. 【解答过程】由题意可知圆的标准方程为， 化圆的一般式得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·云南曲靖·期中）若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 . 【解题思路】写出圆的标准方程整理成一般式，求出的值即可. 【解答过程】易知圆心为，半径为1的圆的方程为， 整理成一般式可得， 因此可得，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 3 m.    【解题思路】建立平面直角坐标系，求出圆的方程，令，求出的值即可. 【解答过程】如图：建立平面直角坐标系.    设过点的圆的方程为：. 因为点，在圆上， 所以，解得. 所以圆的方程为：. 令得： . 又，所以 . 故答案为：3. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 【解题思路】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程； （2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程． 【解答过程】（1）圆心在，半径长是， 故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． 16．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【解题思路】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【解答过程】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 17．（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【解题思路】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）求出已知圆的圆心关于对称点的坐标，进而可求圆的方程. 【解答过程】（1）设圆方程：， 由已知，解得， 圆的方程为. （2）设圆的圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 即所求圆的圆心为， 故所求圆的方程为. 18．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知圆过，两点，且圆心在上． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的标准方程 【解题思路】（1）先根据直线与CD垂直得到斜率，再由CD的中点坐标为 求解； （2）法一：直线与CD的垂直平分线的方程联立求得圆心，然后求得半径即可；法二：根据圆心在上，设，圆的半径为，再将点，坐标代入求解； 【解答过程】（1）解： ， ，又因为CD的中点坐标为 ， 所以线段的垂直平分线的方程为：； （2）法一：由， ， 所以圆的标准方程为：， 法二：由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为. 19．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【解题思路】（1）将方程转化成即可求解； （2）分截距为和不为两类情况讨论即可； （3）设，，通过代入法即可求解； 【解答过程】（1）由，得， 令，得， 因此点的坐标为. （2）由（1）知点的坐标. 若截距为，即直线经过原点， 设直线方程为，则， 此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得， 此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． （3）设，，则， 得到，所以， 又点在上，所以， 整理得， 故的轨迹方程为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$