精品解析：广西贵港市港南区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春季期期中教学质量检测试卷 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在一个直角三角形中，若一个锐角是，则另一个锐角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，理解互余的概念，根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，若一个锐角是，则另一个锐角， 故选：B ． 2. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 3. 下列4组数据中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．利用勾股数定义进行分析即可． 【详解】解：A．，因此不是勾股数，故此选项不合题意； B．，因此不是勾股数，故此选项不合题意； C．，因此是勾股数，故此选项符合题意； D．，因此不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：C． 4. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则ABC≌DCB的依据是（　　） A. HL B. ASA C. AAS D. SAS 【答案】A 【解析】 【分析】已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB． 【详解】解：∵∠A=∠D=90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意：判定两直角三角形的全等方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 5. 如图，在中，过点C的直线，垂足为点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及应用，直角三角形性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行线性质得到，利用直角三角形性质，求出，即可解题． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，， ， ， 故选：B． 6. 如图是一个跷跷板的示意图，O是的中点，立柱与地面垂直（即于点C），若，则当跷跷板的一头A着地时，另一头B到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质，三角形中位线性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，根据等腰三角形性质证明，进而得到，且，即可解题． 【详解】解：连接， O是的中点， O也是的中点，且， ， ， ， ，即C是的中点， ， ， ，且， B到地面的距离为， 故选：D． 7. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH＝EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证． 【详解】解：菱形，理由为： 如图所示， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， ∴EF∥HG，且EF=HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EH=BD，AC=BD， ∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形， 故选B． 【点睛】此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 8. 如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：B． 9. 为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是认清直角边与斜边． 先根据勾股定理求出米，再起重臂顶端A离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为米． 故选：B． 10. 如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ） A. 平分 B. C. 是等边三角形 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而得到，角平分线推出，进而得到，得到，根据等角的余角相等，推出，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；故选项B正确； ∴，故选项D正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分；故选项A正确； ∵， ∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误； 故选C． 11. 如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折变换，勾股定理，解题关键是要注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，由根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为6， ∴，， 根据折叠的性质得：，， 设， 则，，， ∵在中，， ∴，解得：， ∴， ∴． 故选：A． 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点B在y轴上，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，再根据，利用直角三角形两个锐角互余，求得，然后由旋转得，根据点B在y轴上，得出点在x轴上，可知旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上，再求出 ，，从而可得，再利用含有的直角三角形的性质求得，进而求得，于是可求得． 【详解】解：连接， ∵四边形是边长为2的菱形，， ∴，， ∴， 由旋转得， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点在x轴上， ∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上， 作轴于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，菱形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，通过探究，确定旋转第四次时菱形所在的位置是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上，） 13. 如果一个边形过一个顶点有条对角线，那么___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数为（n−3）条，即可求出边数． 【详解】解：∵一个n边形过一个顶点有8条对角线， ∴n−3＝8，解得n＝11． 故答案为11． 【点睛】本题考查了多边形的对角线公式，牢记公式是解题的关键． 14. 如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个． 故满足条件的格点C有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查利用格点确定等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及勾股定理的逆定理，注意分情况讨论． 15. 如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分的定义，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 16. 如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 作图： （1）如图1，已知四边形，作出四边形，使四边形与四边形关于点B成中心对称． （2）如图2，求作一点P，使，并且点P到的两边距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 四边形即为所求： （2）点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握中心对称的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）结合角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； （2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】（1） 过程∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D，根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点A作于D， 设，则， 在中， 在中，， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：（m）， ∴， ∴该实验基地的面积为． 19. 如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在与中， ， ∴ ； （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键． （1）证即可； （2）由题意得，推出，由（1）可知，，据此即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 即的度数为． 20. 教材呈现：直角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你用不同于教材的方法去证明这个命题成立． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：．（证法提示：延长至点E，使，连接，则……） （1）请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）结论运用： ①如图2，一根长度固定的木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离______．（填变大，变小或不变） ②如图3，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接．若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：延长到点E，使，连接，则，     是斜边上的中线， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ； （2）①不变；② 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角斜边中线等于斜边的一半，矩形的判定和性质，菱形的性质求面积，掌握矩形的判定和性质，菱形的性质求线段长即面积的计算是关键． （1）延长到点E，使，连接，则，可证四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解； （2）①根据（1）的证明，由的值不变得到点P到点O的距离也不变；②根据菱形的性质得到，根据是斜边上的中线，得到，根据菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①根据题意，，是中点，结合（1）的证明，， ∵在移动过程中的值保持不变， ∴点P到点O的距离也不变， 故答案为：不变； ②四边形是菱形， ，且， ， 又， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积． 21. 如图，在中，．延长至D，使得，过点A，D分别作，与相交于点E．下面是小红、小星这两位同学的对话： （1）请你根据题中的条件和小红同学的说法，证明：； （2）你认为小星同学的说法是否正确？如果正确，试说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，· ，即， 四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ； （2） 小星说法正确，理由如下： 如图，连接，交于点F， · 四边形是矩形， ， ， 是的中位线， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，·即可证明四边形是矩形，据此可证明； （2）由矩形的性质可得，则可证明是的中位线，据此可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下： 步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1） 步骤②：把A折向，得；（如图2） 步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3） （1）基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：______________．（直接写出结论） （2）深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． （3）拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：． 【答案】（1） （2） 解：是等边三角形，理由如下， 如图所示，根据折叠得到， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3） 证明：∵是等边三角形，， ∴，，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质得到点是中点，点是的中点，，再证明，即可求解； （2）根据折叠得到，，根据平行线的性质得到，结合（1）的结论得到，由此即可求解； （3）根据三线合一得到，，，，根据含的直角三角形得到，再证明，得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵把矩形对折，得折痕， ∴， ∴点是中点，点是的中点，， 如图所示， 把A折向，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查矩形的折叠，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边三角形的判定和性质，三线合一，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，数形结合分析思想是关键． 23. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． （2）性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； （3）解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【答案】（1） 解：四边形是垂美四边形；理由如下： 连接、， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂美四边形； （2） 证明：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可得； （2）根据垂直的定义及勾股定理解答即可； （3）证明，得出，证明，得出四边形为垂美四边形，结合（2）的结论计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期期中教学质量检测试卷 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在一个直角三角形中，若一个锐角是，则另一个锐角是（ ） A. B. C. D. 2. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列4组数据中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则ABC≌DCB的依据是（　　） A. HL B. ASA C. AAS D. SAS 5. 如图，在中，过点C的直线，垂足为点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个跷跷板的示意图，O是的中点，立柱与地面垂直（即于点C），若，则当跷跷板的一头A着地时，另一头B到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 8. 如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（ ） A. B. C. D. 9. 为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ） A. 平分 B. C. 是等边三角形 D. 11. 如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点B在y轴上，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上，） 13. 如果一个边形过一个顶点有条对角线，那么___________. 14. 如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有________个． 15. 如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则______． 16. 如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 作图： （1）如图1，已知四边形，作出四边形，使四边形与四边形关于点B成中心对称． （2）如图2，求作一点P，使，并且点P到的两边距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； （2）如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 19. 如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 教材呈现：直角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你用不同于教材的方法去证明这个命题成立． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：．（证法提示：延长至点E，使，连接，则……） （1）请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）结论运用： ①如图2，一根长度固定的木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离______．（填变大，变小或不变） ②如图3，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接．若，求菱形的面积． 21. 如图，在中，．延长至D，使得，过点A，D分别作，与相交于点E．下面是小红、小星这两位同学的对话： （1）请你根据题中的条件和小红同学的说法，证明：； （2）你认为小星同学的说法是否正确？如果正确，试说明理由． 22. 综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下： 步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1） 步骤②：把A折向，得；（如图2） 步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3） （1）基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：______________．（直接写出结论） （2）深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． （3）拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：． 23. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． （2）性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； （3）解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $