第02讲 常用逻辑用语（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 常用逻辑用语 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 命题的概念与形式 3 知识点2 量词与命题否定 3 知识点3 充分必要条件...................................................................... ..................................4 知识点4 教材中的常见结论.................................................................................................5 题型破译 6 题型1 充分必要条件的判定 6 【方法技巧】对含有量词的命题进行否定 题型2 命题否定 6 【方法技巧】应用集合的观点进行逻辑判定 04真题溯源·考向感知 7 05课本典例·高考素材 8 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 由命题确定逻辑类型 单选题 填空题 解答题 选择题第2题，5分判定命题逻辑关系 选择题第2题，5分 判定命题逻辑关系 选择题第2题，5分 判定命题逻辑关系 考情分析： 天津卷中充分必要条件考查情况较为稳定，每年卷均有一单选题进行考察。整体难度较低但涉及解各类不等式与方程，要求考生具有较好的数学知识基础与运算能力，每题5分。需注意在各区模拟卷中会出现命题否定的题型，在嵌入不等式与方程的类型也更多样化。 复习目标： 1.通过对指定数学命题的梳理及呈现出的课本定理，理解充分、必要条件的意义，掌握判定充分条件与必要条件的方法；梳理教材中数学定义和充要条件的关系 2.能正确使用存在量词对全称量词并对含有量词的命题进行否定；能正确进行否定. 知识点1 命题的概念与形式 1．命题： 在数学中，能够判断真假的陈述句，我们称之为命题。如果与客观实际符合，那么称之为真命题，反之，则为假命题。 例如： 命题1：学习数学使我无比幸福。 命题2：学习数学是我快乐的源泉。 命题3：高中数学真的非常的简单。 2． 一般命题 有如果和那么的命题，我们称之为一般命题。一般命题的形式通常为：若p，则q，此时p称为条件，q称为结论。 例如： 命题4：如果一个同学觉得学习数学无比幸福，那么他的高考成绩不低于140分。 命题5：如果一个同学将数学当作快乐的源泉，那么他的高考成绩不低于130分。 命题6：如果一个同学认为高中数学特别简单，那么他的高考成绩不低于120分。 自主检测 判断下列语句是否是命题；如果是命题，写出其真假 ． 1.实数是有理数 ． 2.如果一个数是有理数，则这个数的平方也是有理数 ． 3.过直线外一点作直线的平行线 4.教高中数学的教师往往温文尔雅气质卓群。 知识点2 量词与命题否定 1.量词 量词分为两种： 全称量词，记为 ，常用于一个命题的条件内。表示一切的，所有的，全部的等绝对性的含义。含有全称量词的命题称为全称命题，如下： 存在量词，记为 ，常用于一个命题的条件内。表示部分的，可能存在的，某些时候等不确定的含义。类似命题称为特称命题，如下： 在考试中，会涉及命题的识别，真假命题的判断，与命题的否定。 自主检测下列结论中正确的是 （　） A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题 2.命题的否定 ∀p则q 的否定形式为：∃p则 ； ∃p则q 的否定形式为：∀p则 必记结论： （1） 命题的否定只需要更改量词并否定结论 （2）否定结论需将“＜”改为“≥”，将“＞”改为“≤” 注意：在否定结论时注意取等问题。 自主检测命题，，则是（    ）. A．， B．， C．， D．， 知识点3 充分必要条件 充分必要条件的集合观点 充分必要条件是两命题之间的推导关系。倘若p命题推导出q命题，我们通常从集合观点作如下 解读： p推导出了q，我们通常从集合观点做如下理解： 若命题p为x＞3，命题q为x＞2，从集合角度上讲，p是q的子集，认为p成立必然有q成立。 “若p成立必然有q成立”即是：p推导出了q，记作p⇒q，但是q成立未必p成立，记作 p⇒q且 qp 此时称p是q的充分不必要条件，也可以说，q的充分不必要条件是p。 必记结论： （1） p对应的变量范围是q命题变量范围的子集，则p是q的充分不必要条件（p推导q，q不可推导p） （2） q对应的变量范围是p命题变量范围的子集，则p是q的必要不充分条件（p不可推导q，q推导p） （3） p对应的变量范围与q命题变量范围相等，则p是q的充要条件或q是p的充要条件。 逻辑关系 符号语言 集合语言 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A⊉B 自主检测 1．（2025·天津河西·一模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点4 教材中常见结论 教材中有常见的充要条件，列举如下 1. 二次方程根的判别式：ax²+bx+c=0 有两相等实根 ⇔ Δ=b²-4ac=0 2. 函数单调性：f(x)在区间I递增 ⇔ ∀x₁<x₂，f(x₁)≤f(x₂) 3. 奇偶函数：奇函数⇔f(-x)=-f(x)；偶函数⇔f(-x)=f(x) 4. 绝对值不等式：|a|≤b(b≥0) ⇔ -b≤a≤b 5. 均值不等式：a+b≥2√ab ⇔ a=b时等号成立(a,b≥0) 6. 等差数列：{aₙ}是等差数列 ⇔ an+1－aₙ=d(常数) 7. 等比数列：{aₙ}是等比数列 ⇔an+1÷aₙ =q(q≠0) 8. A、B、C即成等差数列又成等比数列⇔A=B=C 9. 向量共线：非零向量a与b共线 ⇔ ∃k∈R，a=kb 10. 向量垂直：a⊥b ⇔ a·b=0 11. 斜率存在的直线平行：l1:y=k1x+b1∥l2:y=k2x+b2 ⇔ k1=k2且b1≠b2 12. 线面垂直：l⊥α ⇔ l垂直α内两条相交直线 13. 面面平行：α∥β ⇔ 法向量平行 14. 独立事件：A与B独立 ⇔ P(A∩B)=P(A)·P(B) 15. 互斥事件：A与B互斥⇔ P(A∪B)=P(A)+P(B) 注：A与B不互斥⇔ P(A∪B)=P(A)+P(B)-P（AB） 16. 复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d 题型1 充分必要条件判定 例1-1命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例1-2命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型2 命题的否定 例2-1已知命题：“”，则为（    ） A． B． C．不存在 D． 例2-2（2023·天津和平·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 例2-3命题“”的否定是.（    ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．举例说明: (1)p是q的充分不必要条件; (2)p是q的必要不充分条件; (3)p是q的充要条件. 2．设集合满足条件p，满足条件q. （1）如果，那么p是q的什么条件？ （2）如果，那么p是q的什么条件？ （3）如果，那么p是q的什么条件？ 试举例说明. 3．设证明:的充要条件是. 4．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 5．如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 常用逻辑用语 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1命题的概念与形式 3 知识点2量词与命题否定 4 知识点3 充分必要条件.........................................................................................................5 知识点4 教材中的常见结论....................................................................................... .........6 题型破译 7 题型1 充分必要条件的判定 7 【方法技巧】对含有量词的命题进行否定 题型2 命题否定 7 【方法技巧】应用集合的观点进行逻辑判定 04真题溯源·考向感知 8 05课本典例·高考素材 10 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 由命题确定逻辑类型 单选题 填空题 解答题 选择题第2题，5分判定命题逻辑关系 选择题第2题，5分 判定命题逻辑关系 选择题第2题，5分 判定命题逻辑关系 考情分析： 天津卷中充分必要条件考查情况较为稳定，每年卷均有一单选题进行考察。整体难度较低但涉及解各类不等式与方程，要求考生具有较好的数学知识基础与运算能力，每题5分。需注意在各区模拟卷中会出现命题否定的题型，在嵌入不等式与方程的类型也更多样化。 复习目标： 1.通过对指定数学命题的梳理及呈现出的课本定理，理解充分、必要条件的意义，掌握判定充分条件与必要条件的方法；梳理教材中数学定义和充要条件的关系 2.能正确使用存在量词对全称量词并对含有量词的命题进行否定；能正确进行否定. 知识点1 命题的概念与形式 1．命题： 在数学中，能够判断真假的陈述句，我们称之为命题。如果与客观实际符合，那么称之为真命题，反之，则为假命题。 例如： 命题1：学习数学使我无比幸福。 命题2：学习数学是我快乐的源泉。 命题3：高中数学真的非常的简单。 2．一般命题 有如果和那么的命题，我们称之为一般命题。一般命题的形式通常为：若p，则q，此时p称为条件，q称为结论。 例如： 命题4：如果一个同学觉得学习数学无比幸福，那么他的高考成绩不低于140分。 命题5：如果一个同学将数学当作快乐的源泉，那么他的高考成绩不低于130分。 命题6：如果一个同学认为高中数学特别简单，那么他的高考成绩不低于120分。 自主检测 判断下列语句是否是命题；如果是命题，写出其真假 ． 1.实数是有理数 ． 2.如果一个数是有理数，则这个数的平方也是有理数 ． 3.过直线外一点作直线的平行线 4.教高中数学的教师往往温文尔雅气质卓群。 【重点】：命题必须是能够判断真假的陈述句。 【答案】： 实数是有理数 是一个假命题 如果一个数是有理数，则这个数的平方也是有理数 是一个真命题 过直线外一点作直线的平行线 是祈使句，不是陈述句，不是命题 教高中数学的教师往往温文尔雅气质卓群 温文尔雅与气质卓群没有判断标准不可判断真假，因此不是命题 知识点2 量词与命题否定 1.量词 量词分为两种： 全称量词，记为 ，常用于一个命题的条件内。表示一切的，所有的，全部的等绝对性的含义。含有全称量词的命题称为全称命题，如下： 存在量词，记为 ，常用于一个命题的条件内。表示部分的，可能存在的，某些时候等不确定的含义。类似命题称为特称命题，如下： 在考试中，会涉及命题的识别，真假命题的判断，与命题的否定。 自主检测下列结论中正确的是 （　） A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题 答案：C 2．命题的否定 ∀p则q 的否定形式为：∃p则 ； ∃p则q 的否定形式为：∀p则 必记结论： （1）命题的否定只需要更改量词并否定结论 （2）否定结论需将“＜”改为“≥”，将“＞”改为“≤” 注意：在否定结论时注意取等问题。 自主检测命题，，则是（    ）. A．， B．， C．， D．， 【详解】易知，的否定是，. 故选：B 知识点3 充分必要条件 充分必要条件的集合观点 充分必要条件是两命题之间的推导关系。倘若p命题推导出q命题，我们通常从集合观点作如下 解读： p推导出了q，我们通常从集合观点做如下理解： 若命题p为x＞3，命题q为x＞2，从集合角度上讲，p是q的子集，认为p成立必然有q成立。 “若p成立必然有q成立”即是：p推导出了q，记作p⇒q，但是q成立未必p成立，记作 p⇒q且 qp 此时称p是q的充分不必要条件，也可以说，q的充分不必要条件是p。 必记结论： （1）p对应的变量范围是q命题变量范围的子集，则p是q的充分不必要条件（p推导q，q不可推导p） （2）q对应的变量范围是p命题变量范围的子集，则p是q的必要不充分条件（p不可推导q，q推导p） （3）p对应的变量范围与q命题变量范围相等，则p是q的充要条件或q是p的充要条件。 逻辑关系 符号语言 集合语言 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A⊉B 自主检测 1．（2025·天津河西·一模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法结合对数运算即可判断. 【详解】若，此时，但，即，所以“”不是“”的充分条件； 若，则，得，所以“”是“”的必要条件； 故选：B. 2．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 知识点4 教材中常见结论 教材中有常见的充要条件，列举如下 1. 二次方程根的判别式：ax²+bx+c=0 有两相等实根 ⇔ Δ=b²-4ac=0 2. 函数单调性：f(x)在区间I递增 ⇔ ∀x₁<x₂，f(x₁)≤f(x₂) 3. 奇偶函数：奇函数⇔f(-x)=-f(x)；偶函数⇔f(-x)=f(x) 4. 绝对值不等式：|a|≤b(b≥0) ⇔ -b≤a≤b 5. 均值不等式：a+b≥2√ab ⇔ a=b时等号成立(a,b≥0) 6. 等差数列：{aₙ}是等差数列 ⇔ an+1－aₙ=d(常数) 7. 等比数列：{aₙ}是等比数列 ⇔an+1÷aₙ =q(q≠0) 8. A、B、C即成等差数列又成等比数列⇔A=B=C 9. 向量共线：非零向量a与b共线 ⇔ ∃k∈R，a=kb 10. 向量垂直：a⊥b ⇔ a·b=0 11. 斜率存在的直线平行：l1:y=k1x+b1∥l2:y=k2x+b2 ⇔ k1=k2且b1≠b2 12. 线面垂直：l⊥α ⇔ l垂直α内两条相交直线 13. 面面平行：α∥β ⇔ 法向量平行 14. 独立事件：A与B独立 ⇔ P(A∩B)=P(A)·P(B) 15. 互斥事件：A与B互斥⇔ P(A∪B)=P(A)+P(B) 注：A与B不互斥⇔ P(A∪B)=P(A)+P(B)-P（AB） 16. 复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d 题型1 充分必要条件判定 例1-1命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】全称命题的否定是特称命题． 命题“，”的否定是：，． 故选：A． 例1-2命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为存在量词命题：，， 故选:C. 题型2 命题的否定 例2-1已知命题：“”，则为（    ） A． B． C．不存在 D． 【详解】命题：“”，则为 故选:B 例2-2（2023·天津和平·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 例2-3命题“”的否定是.（    ） A． B． C． D． 【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得出答案. 【详解】命题“”的否定是： . 故选：D. 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数；即可选出答案. 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 1．举例说明: (1)p是q的充分不必要条件; (2)p是q的必要不充分条件; (3)p是q的充要条件. 【答案】(1)“”是“”的充分不必要条件; (2)“”是“”的必要不充分条件; (3)“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件 【解析】根据充分与必要条件的概念举例即可. 【详解】(1)可根据数轴上的关系举例：“”是“”的充分不必要条件; (2)可根据方程的根的解举例：“”是“”的必要不充分条件; (3)可根据定理举例：“内错角相等”是“两直线平行”的充要条件 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的理解,属于基础题型. 2．设集合满足条件p，满足条件q. （1）如果，那么p是q的什么条件？ （2）如果，那么p是q的什么条件？ （3）如果，那么p是q的什么条件？ 试举例说明. 【答案】（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件. 【分析】（1）利用集合间的关系结合充分条件的定义推导； （2）利用集合间的关系结合必要条件的定义推导； （3）由（1）（2）可得. 【详解】（1）若，则有，即每个使p成立的元素也使q成立， 即，所以p是q的充分条件.如，， ，是的充分条件. （2）若，则有，即每个使q成立的元素也使p成立， 即，所以p是q的必要条件.如，，则， 是的必要条件. （3）若，则，，所以p是q的充要条件.如， 是的充要条件. 3．设证明:的充要条件是. 【答案】见解析 【解析】分别证明充分性与必要性即可. 【详解】证明:(1)充分性:如果, 那么, . (2)必要性:如果, 那么, ,. 由(1)(2)知,的充要条件是. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型. 4．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 【答案】为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可. 【详解】解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1). 显然 ,即. 充分性:在中,,不是直角. 假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D. 则 . 即,与“”矛盾. 故为锐角,即为锐角三角形.    (2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然: .即. 充分性:在中,, 不是直角,假设为锐角,如图(1), 则 .即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形. 【点睛】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明,证明时注意用反证法,属于中等题型. 5．如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.    【答案】充分条件和必要条件见解析 【分析】根据可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到. 【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到， 所以 “”的充分条件：，，； 因为可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补， 所以“”的必要条件：，，.    2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$