第07讲 一元二次方程概念与因式分解法（4知识点+6大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第07讲 一元二次方程概念与因式分解法 （4知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点02：一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点03：一元二次方程的解 满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解)，简称实根或者根. 对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根。 知识点04：因式分解法解一元二次方程 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法，因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程 因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【题型1 判断是否是一元二次方程】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2由一元二次方程的定义求参数】 【例2-1】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【变式2-1】若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【变式2-3】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 【变式2-4】关于的方程． （1） 当取何值时，方程为一元二次方程？ （2） 当取何值时，方程为一元一次方程？ 【题型3 化成一元二次方程的一般式】 【例3】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【变式3-2】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0 【变式3-3】把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6 【变式3-4】把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型4 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】判断2、5、-4是不是一元二次方程的根． 【变式4-1】下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【变式4-2】请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可） 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 【例5】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【变式5-1】（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知是方程的一个根，那么 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【变式5-4】已知方程和有共同的解，求与的值． 【题型6 因式分解法解一元二次方程】 【例6】口答下列方程的根： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式6-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）方程的根是 ． 【变式6-2】解下列方程： （1）； （2）． 【变式6-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【变式6-4】解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式6-5】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式6-6】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 3.（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的方程的根是 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为0，的值是 ． 5．（2025·上海宝山·二模）如果是一元二次方程的解，那么 ． 6．一元二次方程的一般形式是 ． 7.已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 三、解答题 8.若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 9.当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 10.（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 11．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程：． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程： 14.已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 15.已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 16.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值． 17.观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； 请写出第n个方程和它的根． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程概念与因式分解法 （4知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点02：一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点03：一元二次方程的解 满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解)，简称实根或者根. 对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根。 知识点04：因式分解法解一元二次方程 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法，因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程 因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【题型1 判断是否是一元二次方程】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； B、方程化为，是一元二次方程，符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，不是整式方程，不是关于x的一元二次方程，不符合题意； B、，x的最高次数是4，不是关于x的一元二次方程，不符合题意； C、，x的最高次数是1，不是关于x的一元二次方程，不符合题意； D、，是关于x的一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故符合题意； B、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，故不是一元二次方程，故不符合题意； D、化简得，故不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、属于一元二次方程，故A选项符合题意； B、中若，不属于一元二次方程，故B选项不符合题意； C、中有含两个未知数、，不属于一元二次方程，故C选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 【题型2由一元二次方程的定义求参数】 【例2-1】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【例2-2】为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】． 【解析】方程为一元二次方程，则有，同时，可得． 【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为 0，注意相关隐含条件． 【变式2-1】若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 【变式2-3】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 【答案】． 【解析】对方程进行整理，即为：，方程为一元二次方程，则有， 即，由此确定的取值范围为． 【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为2，同时 二次项系数不能为0，注意相关隐含条件． 【变式2-4】关于的方程． （1） 当取何值时，方程为一元二次方程？ （2） 当取何值时，方程为一元一次方程？ 【答案】（1）时，原方程是一元二次方程； （2）时，原方程是一元一次方程． 【解析】（1），即时，原方程是一元二次方程； （2），即时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有 ，可知，则，即时，原方程是一元一次方程． 【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论． 【题型3 化成一元二次方程的一般式】 【例3】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2. （2）化为二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2. 【变式3-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 【变式3-2】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0 【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+1＝0， 故选：D． 【变式3-3】把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6 【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6， 移项得，x2﹣2x+6＝0， 所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6． 故选：D． 【变式3-4】把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 【题型4 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】判断2、5、-4是不是一元二次方程的根． 【答案】2、是原方程的根，5不是． 【解析】（1）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以 是原方程的根； （2）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原方 程的根； （3）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所 以是原方程的根． 【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，检验过程注意相关格式规范． 【变式4-1】下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义写出一个满足方程的解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 【例5】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【答案】． 【解析】将代入原方程，即得，解得，同时方程为一元二次方程，故 ，由此可得：． 【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0． 【变式5-1】（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知是方程的一个根，那么 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程，将代入原方程即可求出m的值． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0． 将代入方程得到，求出，然后由得到，求出． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：2． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【答案】0． 【解析】由题意代入可得：，由此． 【总结】考查方程的根的应用，注意整体思想的把握． 【变式5-4】已知方程和有共同的解，求与的值． 【答案】，． 【解析】方程有共同的解，依题意有，解得：． 【总结】考查方程的根的应用，可转化为相关未知数的值的求解． 【题型6 因式分解法解一元二次方程】 【例6】口答下列方程的根： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1） 或；（2）或；（3） 或； （4）或；（5） 或． 【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解． 【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零． 【变式6-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）方程的根是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，把方程变形为，提公因式x，得出，进一步即可求解． 【详解】解： ． ， ， 或， ∴，， 故答案为：，. 【变式6-2】解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】（1）由，得，解得：，， 所以原方程的解为：，； （2）由，得，解得：，， 所以原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程． 【变式6-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练使用提公因式法是解题的关键． 将原方程右边化为，再运用提公因式法即可求解． 【详解】解： ∴或 解得：， 【变式6-4】解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3）； （4）． 【解析】（1）由，得或者， 所以原方程的解为：，； （2）由，得，， 解得：或，所以原方程的解为：，； （3）由，得，解得：．所以原方程的解为：； （4）由，得，即，所以原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程． 【变式6-5】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 或， （2）解：， 或， 【变式6-6】（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可得到答案．熟练掌握因式分解法求解是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， 即， ， 解得． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、将整理得：，是一元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2.关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的二次项的系数不能为，所以关于的方程：是一元二次方程，则一定有，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程：是一元二次方程， ， 解得：． 故选：D． 二、填空题 3.（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的方程的根是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为0，的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一个根为0，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0， ∴把代入， 得， 解得， 故答案为： 5．（2025·上海宝山·二模）如果是一元二次方程的解，那么 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入，进而可求出a的值． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为： 6．一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 7.已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 三、解答题 8.若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】m的值为． 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由①得，， 由②得，， 所以，m的值为． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 9.当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 10.（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把看做整体，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， 解得； （2）解：∵， ∴， 则， ， 解得． 11．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法求解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， ∴，． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，先去括号，移项合并同类项得，再运用因式分解法进行方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得 14.已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 15.已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【答案】13． 【解析】将代入原方程，即得，解得，同时方程为一元二次方程，故 ，由此可得：，原式=． 【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0． 16.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值． 【解答】解：（1）是． 理由如下： 当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0， 所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程； （2）根据题意得2+m﹣n＝0①， 把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②， ②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1， 即m的值为2或﹣1． 17.观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； 请写出第n个方程和它的根． 【答案】（1）k＝－15，x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8. (2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$