专题06 圆锥曲线 （北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 圆锥曲线 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 直线与圆 （5年2考） 2024北京卷、2022北京卷 分析近五年北京卷高考命题情况，圆锥曲线相关内容是高考热点。在题型分布上，选择填空题侧重对双曲线和抛物线的考查，主要检验考生对这两种曲线基本性质、方程特点等基础知识的掌握程度。而解答题则聚焦于直线与椭圆的综合问题，这类问题综合性强。它涉及直线与圆锥曲线关系中的诸多方面，如求弦长、面积，探究弦中点、定点、定值，确定参数取值范围以及求解最值等。备考时，考生需对双曲线、抛物线的基础知识烂熟于心，同时针对直线与椭圆综合问题加强训练，掌握解题思路与方法，提升综合运用知识的能力。 考点2 椭圆方程及其性质 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点3 双曲线方程及其性质 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点4 抛物线方程及其性质 （5年4考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2021北京卷 考点5 新定义 （5年2考） 2024北京卷、2022北京卷 考点01 直线与圆 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 考点02 椭圆方程及其性质 3．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【解析】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 4．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解析】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 5．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【解析】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 6．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【解析】（1）依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； （2）依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 7．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【解析】（1）因为椭圆过，故， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：. （2） 设， 因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理. 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以 又 故即， 综上，或. 考点03 双曲线方程及其性质 8．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 9．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 10．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 11．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【答案】 【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 12．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为. 故选：B 考点04 抛物线方程及其性质 13．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 14．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 15．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 16．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【答案】 5 【解析】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 考点05 新定义 17．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 18．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 而三角形内切圆的圆心为，半径为， 故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为 故选：B 1．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为. 故选：D 2．（2025·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D 3．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【解析】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 4．（2025·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可得：， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号． 即的最小值是3． 故选：C. 5．（2025·北京海淀·三模）已知双曲线，若双曲线的左、右两支上各存在一点、，使为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为等边三角形，由对称性可知，、关于轴对称， 如下图所示，要使为等边三角形，需，其中是轴正方向的单位向量． 故斜率为正的渐近线与轴正半轴的夹角应大于，所以渐近线斜率． 故．所以只有D选项符合题意． 故选：D. 6．（2025·北京·三模）已知 图形T的面积为S，给出下列四个结论： ① T是中心对称图形② T 是轴对称图形③ S=1④ S=2其中所有正确的结论是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【解析】根据题意曲线形成的图形由去线与即所围成，点集T为阴影部分， 根据图像可知，图形T关于轴对称非中心对称图，故②正确； 根据对称性，把左边对称补齐到右边，， 所以图形T的面积为， 故选：D. 7．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 8．（2025·北京东城·模拟预测）设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（   ）． A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意可知直线与圆不相交，则圆心到直线的距离大于等于半径，即， 由抛物线可得焦点，易知直线的斜率存在，设为，则直线， 由，则，整理可得，解得， 所以直线的斜率的最大值为. 故选：B. 9．（2025·北京丰台·二模）已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的定义可知，，， 则四边形的周长为， 则， 设直线的倾斜角为，则，则或， 则，则直线的斜率为. 故选：C 10．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而原点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D. 11．（2025·北京朝阳·二模）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】的渐近线为，且焦点在轴上， 由题知：，因，解得， 所以离心率， 故离心率的一个取值可以为3. 故答案为：3(答案不唯一). 12．（2025·北京东城·二模）已知曲线.给出下列四个结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线与直线有两个交点； ③曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线上任意两点，，当时，.其中正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【解析】对于①，假设曲线的对称中心为，将对称点代入原方程： ， 整理得， 与原方程比较系数，有，解得， 说明曲线关于点对称，故①正确； 对于②，联立与， 消去并整理可得，此时， 故曲线与直线有一个交点，故②错误； 对于③，当时，原方程不成立，故曲线可变形为， 若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或； 当时，，当时，， 故曲线恰好经过两个整点和，故③正确； 对于④，由③可知， 因为， 令，，， ， 当且仅当即时等号成立， 同理， 由①知曲线关于点成中心对称，所以当和都最小时，三点共线， 此时最小，所以，故④错误. 故选：①③ 13．（2025·北京昌平·二模）已知曲线，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过； ③曲线与直线围成图形的面积小于5； ④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】由曲线， 用代换方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，所以①正确； 设曲线上的一点，其中， 则点到点的距离为， 当时，可得， 所以点到点的距离可以超过，所以②不正确； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 令，可得，所以为增函数， 令，可得，所以为单调递增函数， 所以的增长趋势越来越快，可得曲线大致图象如图所示， 可得梯形的面积为， 所以曲线与直线围成图形的面积小于5，所以③正确； 过点且与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 所以经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数，所以④正确． 故答案为：①③④. 14．（2025·北京东城·二模）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . 【答案】 【解析】对于抛物线，其焦点坐标为. 因为过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程，可得，因为点在第一象限，所以，即. 已知直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，因为，两边同时除以得； 当时，已知，焦点，准线为. 设焦点关于准线的对称点，则. 因为，故其最小值为， 又. 所以，可得. 故答案为： ；. 15．（2025·北京朝阳·一模）已知点在抛物线上，则抛物线C的焦点F的坐标为 ；以F为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是 ．（填“相交”“相切”或“相离”） 【答案】 相切 【解析】由题意可得，所以， 所以抛物线C的焦点F的坐标为； 由两点间距离公式可得，即为圆的半径， 又焦点到准线的距离为2， 所以为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是相切. 故答案为：；相切. 16．（2025·北京·三模）已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程. 【解析】（1）将，代入椭圆的方程可得， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）结合题意可知，直线的斜率存在， 又，设直线方程为，，如下图所示： 联立，整理可得， 所以可得，且， 可得，即或； 因为，所以、的斜率分别为， 因此直线、的方程分别为， 则交点的坐标为； 结合可知，即, 也即，整理可得， 又，可得， 又因为，将代入， 可得，解得， 所以， 代入计算可得，解得， 即或，经检验符合题意， 所以直线的方程为或. 17．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的左焦点，所以， 又短轴长为，所以，由可得， 故椭圆的方程为. （2） 当直线和斜率存在时，设直线方程为：， 设，，则有中点， 联立方程，消去得：， 由韦达定理得：，所以的坐标为， 将上式中的换成，同理可得的坐标为， 若，即，， 此时直线斜率不存在，直线过定点； 当时，即直线斜率存在， 则， 直线为， 令，得， 此时直线过定点， 显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过， 综上所述：直线经过定点，定点坐标为. 18．（2025·北京海淀·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． (1)求椭圆的焦距；若，求点的坐标； (2)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 【解析】（1）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为．依题意，，， 所以椭圆焦距为； 设点，而，则， 于是，即，由点在椭圆上，得， 解得，，由点在第一象限，得，则， 所以点的坐标为. （2） 方法1：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 显然直线斜率存在且不为0，设直线， 代入中得，， ， 设，则，， ，即，直线斜率， 由在直线上，得，即， 于是直线的斜率，，即， 又为线段中点，所以． 方法2：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 必有，设，则，， ，即， 直线斜率，而直线斜率， 则，即，又为线段中点，所以． 方法3：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 显然，设，则，， 于是，， 点，， 又，则，即， 因此是直角三角形，又为斜边中点，所以. 方法4：设，与椭圆联立，得，， 而点在第一象限，则，， 点，直线的斜率， 直线，令，则， 与椭圆联立得，显然， 线段中点，有，， 点，于是直线斜率，， 又为中点，所以. 19．（2025·北京·三模）已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)求的横坐标. 【解析】（1）由题意可知，，由焦距，则， 所以， 所以椭圆方程为，离心率 （2）若斜率不存在，则，则； 设直线方程，， 则，消元可得； 则， 设，由点是直线上一点，， 则存在，使得，则， 由,则， 故，代入可得， , 故点的横坐标为. 20．（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【解析】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）在定直线上，理由如下： 设点与直线联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 直线与圆 （5年2考） 2024北京卷、2022北京卷 分析近五年北京卷高考命题情况，圆锥曲线相关内容是高考热点。在题型分布上，选择填空题侧重对双曲线和抛物线的考查，主要检验考生对这两种曲线基本性质、方程特点等基础知识的掌握程度。而解答题则聚焦于直线与椭圆的综合问题，这类问题综合性强。它涉及直线与圆锥曲线关系中的诸多方面，如求弦长、面积，探究弦中点、定点、定值，确定参数取值范围以及求解最值等。备考时，考生需对双曲线、抛物线的基础知识烂熟于心，同时针对直线与椭圆综合问题加强训练，掌握解题思路与方法，提升综合运用知识的能力。 考点2 椭圆方程及其性质 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点3 双曲线方程及其性质 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点4 抛物线方程及其性质 （5年4考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2021北京卷 考点5 新定义 （5年2考） 2024北京卷、2022北京卷 考点01 直线与圆 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 考点02 椭圆方程及其性质 3．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 4．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 5．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 6．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 7．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 考点03 双曲线方程及其性质 8．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 10．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 11．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 12．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点04 抛物线方程及其性质 13．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 14．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 15．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 16．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 考点05 新定义 17．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 18．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 2．（2025·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 4．（2025·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·北京海淀·三模）已知双曲线，若双曲线的左、右两支上各存在一点、，使为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·三模）已知 图形T的面积为S，给出下列四个结论： ① T是中心对称图形② T 是轴对称图形③ S=1④ S=2其中所有正确的结论是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京东城·模拟预测）设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（   ）． A． B． C． D．1 9．（2025·北京丰台·二模）已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·北京朝阳·二模）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ． 12．（2025·北京东城·二模）已知曲线.给出下列四个结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线与直线有两个交点； ③曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线上任意两点，，当时，.其中正确结论的序号是 . 13．（2025·北京昌平·二模）已知曲线，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过； ③曲线与直线围成图形的面积小于5； ④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数． 其中所有正确结论的序号是 ． 14．（2025·北京东城·二模）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . 15．（2025·北京朝阳·一模）已知点在抛物线上，则抛物线C的焦点F的坐标为 ；以F为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是 ．（填“相交”“相切”或“相离”） 16．（2025·北京·三模）已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程. 17．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 18．（2025·北京海淀·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． (1)求椭圆的焦距；若，求点的坐标； (2)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 19．（2025·北京·三模）已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)求的横坐标. 20．（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$