专题03 三角函数与解三角形（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 三角函数与解三角形 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性 （5年4考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷 1、从当前命题趋势来看，本节内容依旧是高考重点，会着重围绕三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等核心要点展开。同时，命题还会与三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容深度融合，进行综合考查。基于此，在复习过程中，学生需高度重视三角知识的工具性作用，强化应用意识。 2、高考对本节内容的考查方向较为稳定，不会有大幅变动，仍会以正余弦定理的基本运用以及面积公式的应用为主要考查点。以近五年北京卷为例，本节内容始终是高考热点，且主要聚焦于正余弦定理的应用和面积公式的考查。所以，考生在备考时应精准把握这些重点，提升解题能力。 考点2 伸缩变换问题 （5年1考） 2025北京卷 考点3 正余弦定理综合应用 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点4 三角恒等变换 （5年4考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2021北京卷 考点01 三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性 1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 考点02 伸缩变换问题 5．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 考点03 正余弦定理综合应用 6．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 7．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 8．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 10．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 考点04 三角恒等变换 11．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 12．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 13．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 14．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 1．（2025·北京·三模）已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·三模）已知集合则集合M的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2025·北京昌平·二模）设函数．已知，且当时，的最小值为4，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 5．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·北京海淀·二模）在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·北京西城·一模）已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 10．（2025·北京西城·一模）在长方形中，为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 12．（2025·北京大兴·三模）已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ． 13．（2025·北京大兴·三模）已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是 . 14．（2025·北京·二模）设函数，则使得函数在区间上存在最大值的一个值为 ． 15．（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 16．（2025·北京·三模）已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 18．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（2025·北京·三模）在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20．（2025·北京东城·二模）已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性 （5年4考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷 1、从当前命题趋势来看，本节内容依旧是高考重点，会着重围绕三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等核心要点展开。同时，命题还会与三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容深度融合，进行综合考查。基于此，在复习过程中，学生需高度重视三角知识的工具性作用，强化应用意识。 2、高考对本节内容的考查方向较为稳定，不会有大幅变动，仍会以正余弦定理的基本运用以及面积公式的应用为主要考查点。以近五年北京卷为例，本节内容始终是高考热点，且主要聚焦于正余弦定理的应用和面积公式的考查。所以，考生在备考时应精准把握这些重点，提升解题能力。 考点2 伸缩变换问题 （5年1考） 2025北京卷 考点3 正余弦定理综合应用 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点4 三角恒等变换 （5年4考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2021北京卷 考点01 三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性 1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 3．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 4．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 考点02 伸缩变换问题 5．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【解析】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 考点03 正余弦定理综合应用 6．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 7．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 8．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 9．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 10．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【解析】（1），则由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得， 设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， ， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为： . 考点04 三角恒等变换 11．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 12．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 13．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 【答案】 【解析】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 14．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 【答案】（满足即可） 【解析】与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 1．（2025·北京·三模）已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，设， 由可得，由可得或，， 由题意，可知，故得， 又，所以，，即，， 故，即或， 又因为，故，故. 故选：A. 2．（2025·北京大兴·三模）已知函数，则函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则函数的最小正周期为. 故选：C 3．（2025·北京·三模）已知集合则集合M的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为，所以或， 所以或， 所以或， 若为偶数，则或， 若为奇数，则或， 所以或或或. 故选：B. 4．（2025·北京昌平·二模）设函数．已知，且当时，的最小值为4，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】因为的值域为，， 所以当函数值同时取最大值或最小值时，满足. 因为的最小值为4，所以函数的周期. 所以. 因为，所以. 又，所以，所以. 故选：C. 5．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由， 得，解得或， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（2025·北京海淀·二模）在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】在锐角中，，则，又， 所以， 又，所以，所以， 所以， 故符合题意的只有B. 故选：B 7．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，若，此时，D错误. 故选：C 9．（2025·北京西城·一模）已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】因为，则该函数的最小正周期为， 由可得， 所以，函数的对称轴方程为， 因为，则或， 故选：B. 10．（2025·北京西城·一模）在长方形中，为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，如下图所示： 因为，，，所以，， 所以，，故， 因此，. 故选：B. 11．（2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； . 【答案】 2 【解析】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 12．（2025·北京大兴·三模）已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ． 【答案】 /1.5 【解析】 ， 所以， 因为，，且的最小值为， 所以，即，解得. 故答案为：； 13．（2025·北京大兴·三模）已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为，即， 所以，即. 故答案为：（答案不唯一） 14．（2025·北京·二模）设函数，则使得函数在区间上存在最大值的一个值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为，则， 令，所以， 因为在区间上存在最大值， 所以， 则， 又，即，所以或， 所以符合题意的一个值为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 15．（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】在中，由，得，而，所以； 的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：； 16．（2025·北京·三模）已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）若，可得， 所以. （2）由 ， 若选择条件①②： 由，可得，所以， 因为，可得； 又因为，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以； 若选择条件②③： 由，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以， 此时， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，可得； 若选择条件①③： 由，可得，所以， 因为，可得，即， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，此时不存在. 17．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【解析】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 18．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）法一：由正弦定理及，得， 因为， 所以，整理得． 因为，所以，所以，又，所以． 法二：由余弦定理，，代入得：． 整理得：，所以，又，所以． （2）选条件①：取的中点，连接， 由正弦定理及，得， 因为，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件③：取的中点，连接，由正弦定理及，得， 因为的面积为，所以，即， 又，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件②：由，知， 在中，由余弦定理知，， 若，则，该等式恒成立， 即不唯一，不符合题意． 19．（2025·北京·三模）在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）由可得， 由余弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以. （2）若选择①：因为，，所以，所以， 则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①. 若选择②：由（1）可得，即， 则，解得， 再代入可得：， 所以△ABC的周长为：. 若选择③：由（1）可得，即， 由可得：， 所以， 又因为AC边上的高等于，， 所以，解得：，所以，， 所以△ABC的周长为：. 20．（2025·北京东城·二模）已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1） ， 因为的最小值为，所以，所以； （2）因为，所以，解得， 所以， 若选择条件①：函数的图象的对称轴为， 所以，所以，， 因为，所以，， 所以，即， 因为，故，且，对应的满足题意， 所以函数存在且不唯一； 若选择条件②：因为在区间上单调，所以， 所以，又，所以， 因为的图象关于点对称，所以， 所以，所以， 所以，解得，因为，所以，即， 所以，此时当时，， 故在上单调减，故符合题设要求. 因为，所以， 所以，所以； 若选择条件③：因为的最小正周期，所以， 所以，又，所以， 因为，所以， 所以或， 所以或， 当时，，因为，所以，此时， 当时，，因为，所以不存在满足不等式的，此时无解，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$