第2讲 函数的表示法-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

8.解析:由题意可得 x+1≥0, x-1≠0, 所以x≥-1且x≠1, 故函数y= x+1 x-1 的定义域为 {x|x≥-1且x≠1}. 答案:{x|x≥-1且x≠1} 9.解:考虑输入值为3时,即当x=3时输出值y 由y=|x-3|给出,得y=0. 这个输入值没有输出值与之对应, 所以x→|x-3|(y=|x-3|)不是从A 到B 的 函数. 10.解:(1)要使函数式有意义,必须满足 3x-1≥0, 1-2x≥0, 即 x≥13 , x≤12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得1 3≤x≤ 1 2 , 所以函数的定义域为{x|13≤x≤ 1 2 }. (2)要 使 函 数 式 有 意 义,必 须 满 足 x+3≠0, |x|-x>0, 即 x≠-3, |x|>x, 解得 x≠-3 , x<0. 所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}. 第2讲 函数的表示法 【知识情境导学】 知识点一 情境 提示 解析法:就是用数学表达式表示两 个变量之间的对应关系;列表法:就是列出表格 来表示两个变量之间的对应关系;图象法:就是 用图象表示两个变量之间的对应关系. 知识点二 情境 提示 平移变换、对称变换、翻折变换. 【典型例题精析】 跟踪训练1 解:(1)因为x∈Z,所以图象为直线 y=1-x 上的孤立点,其图象如图①所示. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1或3时, y=0;当x=2时,y=-1,其图象如图②所示. 跟踪训练2 解:(1)∵x∈[-5,-2]在对称轴 x=-1的左侧, ∴x∈[-5,-2]时,抛物线上升. ∴当x=-5时,y=-12,当x=-2时,y=3. ∴y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2)的值域是 [-12,3]. (2)因为 1x+1≠0 ,所以 1 x+1-1≠-1 ,故函数 y= 1 x+1-1 的值域为{y|y≠-1}. 跟踪训练3 A 方法一 y= x 1+x 的定义域为 {x|x≠-1},排除C,D,当x=0时,y=0,排 除B. 方法二 y= x 1+x=1- 1 x+1 ,由函数的平移性 质可知A正确. 跟踪训练4 解:(1)方法一 (配凑法): ∵f(x+1)=x2-3x+2 =(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6, ∴f(x)=x2-5x+6. 方法二 (换元法):令t=x+1,则x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, 即f(x)=x2-5x+6. (2)设f(x)=ax+b(a≠0), 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b. 又f(f(x))=4x+8, ∴a2x+ab+b=4x+8, 即 a2=4, ab+b=8, 解得 a=2, b=83 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 a=-2, b=-8. ∴f(x)=2x+ 8 3 或f(x)=-2x-8. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·811· 初高中衔接教材 (3)因为f(x)+2f(-x)=9x+2,① 所以f(-x)+2f(x)=9(-x)+2,② ②×2-①得3f(x)=-27x+2, 即f(x)=-9x+ 2 3. 【衔接自测训练】 1.C 由题图知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞). 2.A 由对应关系y=x2-2x 得:0→0,1→-1,2 →0,3→3,所以值域为{-1,0,3}. 3.C 因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1, 所以0< 1(x+1)2+1≤1 , 所以函数的值域为(0,1]. 4.D 设f(x)=(x-1)2+c,∵点(0,0)在二次 函数图象上,∴f(0)=(0-1)2+c=0.∴c=- 1,∴f(x)=(x-1)2-1. 5.A 因为f(2x-1)=4x+6=2(2x-1)+8, 所以f(x)=2x+8. 6.B 因为已知f(x)的图象恒过点(1,-1),所以 当x-3=1时,f(x-3)=-1,即函数f(x- 3)的图象恒过点(4,-1). 7.解析:∵当2<x≤4时,f(x)=3, ∴f(3)=3. 答案:3 8.解析:设f(x)=a(x+2)2+3(a≠0), 由y=f(x)过点(-3,2)得a=-1, ∴f(x)=-(x+2)2+3=-x2-4x-1. 答案:f(x)=-x2-4x-1 9.解:(1)反比例函数y= 8 x 的图象如图所示,定 义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0) ∪(0,+∞). (2)一次函数y=-4x+5的图象如图所示,定 义域为R,值域为R. (3)二次函数y=x2-6x+7的图象如图所示, 定义域为R,值域为[-2,+∞). 10.解:(1)∵f(x- 1 x )=x2+1x2= (x-1x )2+2, 令t=x-1x ,∴f(t)=t2+2,∴f(x)=x2 +2. (2)由 f(1)=1-b+c=0, f(2)=4-2b+c=-3, 解得b=6 , c=5, 故f(x)=x2-6x+5. 第四部分 衔接综合检测卷 1.C ∵集合N={3,4,5}有3个元素, ∴N 的真子集的个数为23-1=7,故选C. 2.D 函数f(x)= x+1- 1 x 中, 令 x+1≥0 x≠0 ,解得 x≥-1x≠0 ,所以函数f(x)的 定义域是[-1,0)∪(0,+∞).故选D. 3.A 这个几何体的主视图如下: 故选A. 4.C 根据题意可得:∠BAD=∠BAD1, ∵矩形纸片的对边平行,即ED∥BC, ∴∠ABC+∠BAD=180°, ∵∠ABC=36°, ∴∠BAD=180°-36°=144°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·911· 参 考 答 案 第2讲 函数的表示法 1.了解函数的三种表示方法及各自的优 缺点. 2.能用图象法表示函数并能通过函数图象 得到函数的值域. 【导语】 如果一个人极有才华,我们会用“才高八 斗”来形容;如果一个人兼有文武才能, 我们会用“出将入相”来形容;如果一个 人是稀有而可贵的人才,我们会用“凤毛 麟角”来形容;如果一个人品行卓越,天 下绝无仅有,我们会用“斗南一人”来形 容,那么对于不同呈现出来的函数,是否 也会有不同的表示方法呢? 让我们一起 来探究吧. 知识点一 函数的表示法 情境 结合初中所学以及上节课的几个问 题,你能总结出几种函数的表示方法? 知识点二 函数图象的画法 情境 除了我们所熟悉的“列表、描点、连 线”作图,还有哪些作图的方法? [知识梳理] 1.函数图象的平移变换 (1)左加右减:函数y=f(x)的图象沿x 轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a| 个单位长度得到函数y=f(x+a)的 图象. (2)上加下减:函数y=f(x)的图象沿y 轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b| 个单位长度得到函数y=f(x)+b的 图象. 2.函数图象的对称变换 (1)y=f(x) 关于x轴对称 →y=-f(x); (2)y=f(x) 关于y轴对称 →y=f(-x); (3)y=f(x) 关于原点对称 →y=-f(-x). 3.函数图象的翻折变换 (1)y=f(x) 保留x轴上方的图象, 把x轴下方的图象翻折到x轴上方→ y=|f(x)|; (2)y=f(x) 保留y轴右边的图象, 把y轴右边的图象翻折到y轴左边 → y=f(|x|). 注意点: (1)左右移动加减的是自变量,且不带系 数与符号,上下移动加减的是函数值. (2)自变量的绝对值是左右翻折,函数值 的绝对值是上下翻折. (3)若f(a-x)=f(a+x),则函数f (x)的图象关于x=a对称. 【例1】 作出下列函数的图象: (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y= 2 x ,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·87· 初高中衔接教材 【解】 (1)当x∈[0,2]时,图象是一次函 数y=2x+1的一部分,如图所示. (2)当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函 数y= 2 x 的一部分,如图所示. (3)当-2≤x≤2时,图象是抛物线y= x2+2x的一部分,如图所示. 【反思感悟】 作函数y=f(x)图象的方法 (1)若y=f(x)是已学过的函数,则描出 图象上的几个关键点,直接画出图象即 可,有些可能需要根据定义域进行取舍. (2)若y=f(x)不是所学过的函数之一, 则要按:①列表;②描点;③连线三个基 本步骤作出y=f(x)的图象. 跟踪训练1 作出下列函数的图象: (1)y=1-x(x∈Z); (2)y=x2-4x+3,x∈[1,3]. 【例2】 求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y=x2-4x+6,x∈[1,5]; (3)y= 2x+1 x ; (4)y= 3x+2 x-1. 【解】 (1)∵y=2x+1且x∈{1,2,3,4,5}, ∴y∈{3,5,7,9,11}. ∴函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)配方得y=(x-2)2+2. ∵x∈[1,5],画函数图象如图所示, 由图知,2≤y≤11,即函数的值域为[2,11]. (3)y= 2x+1 x =2+ 1 x ,故该函数是由反 比例函数向上平移了2个单位长度得到 的,故值域为{y|y≠2}. (4)∵y= 3x+2 x-1= 3(x-1)+5 x-1 =3+ 5x-1≠3 , ∴函数的值域为(-∞,3)∪(3,+∞). 【反思感悟】 求函数值域的方法 (1)观察法:对于一些比较简单的函数, 其值域可通过观察得到. (2)配方法:此方法是求“二次函数类”值 域的基本方法,即把函数通过配方转化 为能直接看出其值域的方法. (3)图象法:利用已知一次函数、二次函数 或反比例函数的图象写出函数的值域. (4)分离常数法:此方法主要是针对有理 分式,即将有理分式转化为“反比例函数 类”的形式,便于求值域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·97· 第三部分 高中知识初探析 (5)换元法:对于一些无理函数(如y= ax±b± cx±d),通过换元把它们转化 为有理函数,然后利用有理函数求值域 的方法,间接地求解原函数的值域. 跟踪训练2 求下列函数的值域: (1)y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2); (2)y= 1 x+1-1. 【例3】 画出函数y=(x-2)2的图象. 【解】 方法一 列表: x -1-0.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y 9 6.25 4 2.25 1 0.25 00.2512.2546.259 描点、连线,图象如图所示. 方法二 图象变换法:先作出函数y=x2 的图象,然后把它向右平移2个单位长 度,就得到函数y=(x-2)2 的图象,如 图所示. 【反思感悟】 画函数图象的两种常见方法 (1)描点法:列表、描点、连线. (2)变换作图法:常用的有水平平移变换、 竖直平移变换、对称变换、翻折变换等. 跟踪训练3 函数y= x 1+x 的大致图象是 ( ) 【例4】 (1)已知f(x+1)=x+2 x, 求f(x); (2)已知f(x)为二次函数,且f(x+1) +f(x-1)=2x2-4x,求f(x). (3)已知2f(x)+f( 1 x )=x(x∈R且x≠ 0),求f(x)的解析式. 【解】 (1)方法一 (换元法)令t= x +1, 则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t- 1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x) 的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 方法二 (配凑法)f(x+1)=x+ 2 x =x+2 x+1-1=(x+1)2-1. 因为 x+1≥1,所以f(x)的解析式为 f(x)=x2-1(x≥1). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b (x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c =2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 所以 2a=2, 2b=-4, 2a+2c=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 a=1, b=-2, c=-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以f(x)=x2-2x-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·08· 初高中衔接教材 (3)由 2f(x)+f( 1 x )=x(x≠0), 2f( 1 x )+f(x)= 1 x (x≠0), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 可知f(x)= 2x 3- 1 3x (x≠0). 【反思感悟】 求函数解析式的四种常用 方法 (1)换元法:设t=g(x),解出x,代入 f(g(x)),求f(t)的解析式即可. (2)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配 凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x 代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法:若已知f(x)的解析式 的类型,设出它的一般形式,根据特殊值 确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法):当同一个对应 关系中的两个之间有互为相反数或互为 倒数关系时,可构造方程组求解. 提醒:应用换元法求函数解析式时,务必 保证函数在换元前后的等价性. 跟踪训练4 (1)已知f(x+1)=x2-3x+ 2,求f(x); (2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f (x))=4x+8,求f(x). (3)已知f(x)+2f(-x)=9x+2,求f(x) 的解析式. 1.函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x) 的定义域是 ( ) A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-1,0) 2.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}, 那么其值域为 ( ) A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3}D.{y|0≤y≤3} 3.函数f(x)= 1 x2+2x+2 (x∈R)的值域 是 ( ) A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) 4.若二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1对称,并过点(0,0),则此二次函数 的解析式可能为 ( ) A.f(x)=x2-1 B.f(x)=-(x-1)2+1 C.f(x)=(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1 5.已知函数f(2x-1)=4x+6,则f(x)的 解析式是 ( ) A.f(x)=2x+8 B.f(x)=2x+1 C.f(x)=2x+2 D.f(x)=4x+2 6.已知f(x)的图象恒过点(1,-1),则函 数f(x-3)的图象恒过点 ( ) A.(-2,-1) B.(4,-1) C.(1,-4) D.(1,-2) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·18· 第三部分 高中知识初探析 7.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)= . x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 8.已知二次函数f(x)的图象经过点(-3,2), 顶点是(-2,3),则函数f(x)的解析式 为 . 9.画出下列函数的图象,并说出函数的定 义域和值域: (1)y= 8 x ; (2)y=-4x+5; (3)y=x2-6x+7. 10.(1)已知f(x- 1 x )=x2+1x2 ,求f(x); (2)已知函数f(x)=x2-bx+c且f (1)=0,f(2)=-3,求f(x). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·28· 初高中衔接教材