第七十七讲 抛物线的标准方程与几何性质 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学导学案系统梳理抛物线的定义、标准方程及几何性质，以“定义-方程-性质-方法-应用”为主线整合焦半径、焦点弦等核心考点，通过问题链引导学生自主推导性质规律，构建完整知识网络。 亮点在于诊断性题型与分层训练设计，开篇“巩固提升”题助学生自主诊断薄弱点，“必考题型”按难度梯度编排，培养数学思维与推理能力。每个题型配方法总结与反思提示，助力个性化提升，教师可依学情精准指导，提升备考实效。

2027届高三数学一轮复习 第七十七讲 抛物线的标准方程与几何性质 【学习目标】知道抛物线的定义、标准方程，能准确记忆抛物线的几何性质，并能灵活应用. 【学习重点】抛物线的标准方程与几何性质. 【学习难点】抛物线的几何性质. 必掌握知识点 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 解题方法总结 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 必考题型全归纳 题型一：抛物线的定义 详细介绍：平面内，到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线，定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 注意：若定点在定直线上，轨迹不是抛物线，而是过该点垂直于定直线的一条直线。核心公式：抛物线上任意一点，满足（为到准线距离，也叫焦半径）； 标准形式： 1.：焦点，准线； 2.：焦点，准线； 3.：焦点，准线； 4.：焦点，准线。 的几何意义：焦点到准线的距离；抛物线离心率恒为。 1．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的离心率为，两焦点分别为，抛物线以为顶点、为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上均不对 3．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 4．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型二：抛物线利用定义求距离、最值（距离转化） 详细介绍：利用（点到焦点）等价转化为点到准线的垂直距离，实现 “折线段转直线段”，结合两点之间线段最短求最值。 常见两类模型： 1.：把换成到准线距离，过作准线垂线，垂线与抛物线交点即为取最小值的动点； 2.中点到坐标轴最短距离：两点在抛物线上，利用焦半径 + 梯形中位线； 3.抛物线与圆结合的最值：（抛物线上，圆上），转化，再加上圆半径处理。 5．点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 7．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 题型三：抛物线标准方程、基本性质（焦点、准线、开口、） 详细介绍： 1.看二次项判断对称轴：型对称轴为轴；型对称轴为轴； 2.一次项符号决定开口方向； 3.，焦点坐标、准线直接由标准式读出； 4.开口大小：中越大，开口越大。 8．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 9．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：根据轨迹条件判断曲线类型 详细介绍： 1.抛物线特征：方程中只有一个二次项，另一个变量是一次项；若同时存在，不可能是抛物线。 2.： ：椭圆；：圆；：双曲线； 一正一负为双曲线；若其中分母为 0，退化为两条直线。 10．已知，曲线，则（   ） A．当，时，曲线C表示两条直线 B．当，时，曲线C表示圆 C．，曲线C过原点 D．，曲线C不能表示抛物线 11．（多选）已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 12．（多选）已知曲线，则（    ） A．可以是圆 B．可以是抛物线 C．当或时，为双曲线 D．当时，为椭圆 13．（多选）设为实数，则曲线可能是（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆 题型五：过焦点的弦（焦点弦） 详细介绍：直线过抛物线焦点，交抛物线； 焦半径：，； 焦点弦长公式：；联立直线抛物线，韦达定理处理坐标关系。 14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型六：直线与抛物线位置关系 详细介绍：设直线方程，和抛物线联立得到一元二次方程，判别式判断交点；韦达定理得到；向量数量积判断垂直。 16．已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 17．已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 18．（多选）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 19．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 巩固提升： 1．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 3．（多选）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 6．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 8．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 10．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第七十七讲 抛物线的标准方程与几何性质 【学习目标】知道抛物线的定义、标准方程，能准确记忆抛物线的几何性质，并能灵活应用. 【学习重点】抛物线的标准方程与几何性质. 【学习难点】抛物线的几何性质. 必掌握知识点 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 解题方法总结 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 必考题型全归纳 题型一：抛物线的定义 详细介绍：平面内，到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线，定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 注意：若定点在定直线上，轨迹不是抛物线，而是过该点垂直于定直线的一条直线。核心公式：抛物线上任意一点，满足（为到准线距离，也叫焦半径）； 标准形式： 1.：焦点，准线； 2.：焦点，准线； 3.：焦点，准线； 4.：焦点，准线。 的几何意义：焦点到准线的距离；抛物线离心率恒为。 1．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 2．已知椭圆的离心率为，两焦点分别为，抛物线以为顶点、为焦点，点为抛物线和椭圆的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【分析】利用抛物线和椭圆的定义，结合已知等量关系得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】设椭圆长半轴为，半焦距为，离心率，焦点，， 抛物线以为顶点、为焦点，顶点到焦点距离为，因此抛物线准线为， 根据抛物线定义：交点满足等于点到准线的距离，即， 椭圆第二定义：椭圆上点到左焦点的距离满足， 由，则，整理得，即， 因此. 3．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 4．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 题型二：抛物线利用定义求距离、最值（距离转化） 详细介绍：利用（点到焦点）等价转化为点到准线的垂直距离，实现 “折线段转直线段”，结合两点之间线段最短求最值。 常见两类模型： 1.：把换成到准线距离，过作准线垂线，垂线与抛物线交点即为取最小值的动点； 2.中点到坐标轴最短距离：两点在抛物线上，利用焦半径 + 梯形中位线； 3.抛物线与圆结合的最值：（抛物线上，圆上），转化，再加上圆半径处理。 5．点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 6．设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】根据抛物线的定义求得曲线的轨迹方程为，再结合抛物线的定义求解最值即可. 【详解】因为曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1， 所以曲线C上任意一点到直线的距离等于它到点的距离， 所以，根据抛物线定义可知曲线的轨迹为抛物线，焦点为，准线方程为， 所以曲线的轨迹方程为， 过作于，则，所以， 当且仅当三点共线，且时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 7．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算得出，再令得出，将问题转化为抛物线上动点和圆上动点距离的最小值即可求解. 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 题型三：抛物线标准方程、基本性质（焦点、准线、开口、） 详细介绍： 1.看二次项判断对称轴：型对称轴为轴；型对称轴为轴； 2.一次项符号决定开口方向； 3.，焦点坐标、准线直接由标准式读出； 4.开口大小：中越大，开口越大。 8．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 9．以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 题型四：根据轨迹条件判断曲线类型 详细介绍： 1.抛物线特征：方程中只有一个二次项，另一个变量是一次项；若同时存在，不可能是抛物线。 2.： ：椭圆；：圆；：双曲线； 一正一负为双曲线；若其中分母为 0，退化为两条直线。 10．已知，曲线，则（   ） A．当，时，曲线C表示两条直线 B．当，时，曲线C表示圆 C．，曲线C过原点 D．，曲线C不能表示抛物线 【答案】D 【分析】对于A，B选项，讨论为奇数和偶数的不同情况，来判断正误；利用反证法判断C选项；根据抛物线的方程特征来判断D选项. 【详解】A选项：当时，当为偶数时，，方程化为，即，确实是两条直线； 当为奇数时，，方程化为，无实轨迹，不表示两条直线， 因此A错误； B选项：当时，当为偶数时，，方程化为，表示圆； 当为奇数时，，方程化为，无实轨迹，不表示圆，故B错误； C选项：若曲线过原点，代入方程得，即，矛盾，不存在这样的，故C错误； 抛物线的方程特征是：仅含一个二次项，另一变量为一次项， 而本题方程中，和都是二次项，若要表示抛物线，必须有一个二次项系数为0， 若，则，方程为，仅能表示两条直线或无实轨迹； 若，则，方程为，也仅能表示两条直线或无实轨迹， 因此对任意，曲线都不能表示抛物线，故 D正确. 11．（多选）已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 【答案】BCD 【分析】根据的不同取值情况，结合椭圆、双曲线、直线、抛物线的标准方程特征，判断方程表示的曲线类型. 【详解】当时，与同号，将方程化为. 当且时，该方程表示椭圆，当且时，该方程表示圆. 当时，方程表示的轨迹不存在，故A选项错误. 当时，与异号，当时，方程表示焦点在轴上的双曲线. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，故B选项正确. 当或时，该方程表示两条直线，C选项正确. 因抛物线方程中只存在一个二次项，故中有一个为0，而中有一个为0时，此时无一次项，方程就不可能表示抛物线，故D选项正确.故选：BCD 12．（多选）已知曲线，则（    ） A．可以是圆 B．可以是抛物线 C．当或时，为双曲线 D．当时，为椭圆 【答案】AC 【分析】根据圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程逐项分析即可. 【详解】令，解得，此时方程，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A正确. 抛物线的标准方程中或的指数会出现一次，而曲线中都是二次，故B错误. 当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线， 当时，，分母异号，此时曲线可表示为双曲线，故C正确. 当时，，分母同号，但时曲线表示圆，故D错误. 故选：AC. 13．（多选）设为实数，则曲线可能是（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆 【答案】BCD 【分析】根据已知曲线方程分析参数判断曲线对应图形即可判断. 【详解】A：因为曲线C的方程中都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，不符； B：当时，曲线C为双曲线，符合； C：当时，曲线C为圆，符合； D：当且时，曲线C为椭圆，符合； 故选：BCD 题型五：过焦点的弦（焦点弦） 详细介绍：直线过抛物线焦点，交抛物线； 焦半径：，； 焦点弦长公式：；联立直线抛物线，韦达定理处理坐标关系。 14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 15．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 题型六：直线与抛物线位置关系 详细介绍：设直线方程，和抛物线联立得到一元二次方程，判别式判断交点；韦达定理得到；向量数量积判断垂直。 16．已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)设，分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得，     此时， 所以，是直角三角形； 第二种：直线不垂直于轴， 设直线，联立得， ， 由韦达定理得， ， 即， 因为， 所以，所以为直角三角形． 【分析】（1）利用抛物线的定义，将动点到定点与定直线距离相等的关系直接转化为抛物线的轨迹方程. （2）分类讨论直线的斜率，通过联立直线与抛物线方程并借助韦达定理得到向量数量积为零，以此证明即可. 【详解】（1）由抛物线定义可知，点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 设的方程为：，则，即， 所以动点的轨迹的方程为. （2）略 17．已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程中，再结合焦半径公式可求； （2）设的坐标，利用对称性得出，，结合韦达定理求范围. 【详解】（1）由题意可设点，则，得， 因为，所以，得，解得或， 故抛物线的方程为或. （2）若 ，则抛物线的方程为，设，， 若，则，此时不合题意； 若，由于，两点关于直线对称， 故，可得， 则线段中点的纵坐标为，将其代入 中，可得， 又，可得， 则， 则为方程的两个不相等的实数根， 故，所以或， 即的取值范围为. 18．（多选）已知点，直线，动点P（点P的横坐标不小于）到点F的距离比到直线l的距离大2，点P的轨迹为C，则（    ） A．点在C上 B．C关于x轴对称 C．过作C的两条弦AM，AN，若，则直线MN过定点 D．若点E在C上，点G在圆上，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件求出轨迹的方程，验证判断A；利用轴对称的特征判断B；求出点的坐标，进而求出直线的方程判断C；求出点到圆心距离判断D. 【详解】设点，由点P到点F的距离比到直线l的距离大2， 则得，整理得轨迹的方程为， 对于A，当时，，因此点在C上，A正确； 对于B，显然点满足方程，而点与关于轴对称， 因此轨迹C关于x轴对称，B正确； 对于C，设直线方程为，由，得, 则直线的方程为， 由，得或，则得点， 同理可得点， 当直线不垂直于轴时，直线的方程为，整理得， 当直线时，由，解得,则直线，故直线恒过定点，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，设，则， 于是，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，D错误.    19．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解； （2）设，，结合可得线段关于x轴对称，得，求得，得解. 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 巩固提升： 1．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 2．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 3．（多选）若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 4．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意列出点的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 6．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 7．已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 【答案】3 【详解】由题设，不妨设，所以， 又，则，故准线方程为， 所以点P到C的焦点的距离为． 8．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 10．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 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