第1讲 函数的概念-【金榜题名】2025-2026学年初升高数学知识衔接

∴-2<x<1, ∴不等式x-1x+2<0 的解集是{x|-2<x<1}. 故选C. 5.B 不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1< x<13 },即方程ax2+bx+1=0的解为- 1,13. 由方程的根与系数的关系可得 -b a =-1+ 1 3 , 1 a=-1× 1 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-3, b=-2, ∴a+b=-5. 6.D 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|-2<x<1},所以a<0,且-2和1是一元 二次方程ax2+bx+c=0的两个实根,所以-2 +1=-ba ,-2×1=ca ,即c=-2a,b=a,所 以不等式cx2-ax+b>0可化为-2ax2-ax +a>0,因为a<0,所以2x2+x-1>0,即(2x -1)(x+1)>0,解得x>12 或x<-1. 7.解析:∵0<m<1,∴1m>1>m ,故原不等式的 解集为{x|m<x<1m }. 答案:{x|m<x<1m } 8.解析:z=(t+10)(-t+35), 依题意有(t+10)·(-t+35)≥500, 解得10≤t≤15,t∈N, 所以解集为{t|10≤t≤15,t∈N}. 答案:{t|10≤t≤15,t∈N} 9.解:原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,解集为⌀; ③当a<0时,x1<x2, 不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,不等式的解集为{x|-a<x< 2a}; 当a=0时,不等式的解集为⌀; 当a<0时,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 10.解:(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x +c=0的两个实数根为13 和1 2 , 由根与系数的关系,得 -5a= 1 3+ 1 2 , c a= 1 2× 1 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得a=-6,c=-1. (2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+ 2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0, 即3x2-4x+1≤0,解得13≤x≤1 , 所以所求不等式的解集为{x|13≤x≤1 }. 第四章 函数的概念与表示 第1讲 函数的概念 【知识情境导学】 知识点一 情境1 提示 它们有相同的解析式,也就是对应 关系.但它们有不同的实际背景,变量的取值范 围也不同. 情境2 提示 是函数.由图象和表格呈现出来的 变量间的对应关系比解析式更直观、形象. 情境3 提示 不同点:课本中的问题1,2是用解 析式刻画两个变量之间的对应关系,问题3是 用图象刻画两个变量之间的对应关系,问题4 是用表格刻画两个变量之间的对应关系. 共同点:①都包含两个非空的实数集,分别用 A,B 来表示;②两个实数集之间都有一种确定 的对应关系;③对于数集A 中的任意一个数x, 按照对应关系,在数集B 中都有唯一确定的数 y和它对应. 知识梳理 实数集 任意一个数x 确定 唯一确定 x y 知识点二 情境4 提示 一次函数、二次函数和反比例 函数. 情境5 提示 一次函数的定义域是R,值域也是 R,对应关系实际上就是f(x)=ax+b(a≠0); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·611· 初高中衔接教材 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域 是R,当a>0时,它的值域是{y|y≥ 4ac-b2 4a }; 当a<0时,它的值域是{y|y≤ 4ac-b2 4a },对应 关系实际上就是f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 反比例函数f(x)= k x (k≠0)的定义域是{x|x≠ 0},值域是{y|y≠0},对应关系是f(x)= k x (k≠ 0). 知识点三 知识梳理 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] 知识点四 情境1 提示 定义域、对应关系和值域. 情境2 提示 有确定的定义域和对应关系,则此 时值域唯一确定. 【典型例题精析】 跟踪训练1 D 只有y=|x|是符合题意的对应 关系. 跟踪训练2 D 当x>0时,y=1, 当x=0时,y=0, 当x<0时,y=-1. 因此,y=f(x)的值域为{-1,0,1},故选D. 跟踪训练3 解:(1)函数y=3- 1 2x 的定义域 为R. (2)由于0的零次幂无意义, 故x+1≠0,即x≠-1. 又x+2>0,即x>-2, 所以函数y= (x+1)0 x+2 的定义域为{x|x>-2 且x≠-1}. (3)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足 5-x≥0, |x|-3≠0, 解得x≤5且x≠±3, 所以函数y= 5-x |x|-3 的定义域为 {x|x≤5且x≠±3}. (4)要使函数有意义,则 x+1≥0, -x2-3x+4>0, 即 x≥-1, (x+4)(x-1)<0, 解不等式组得-1≤x<1. 所以函数y= x+1 -x2-3x+4 的定义域为{x|- 1≤x<1}. 跟踪训练4 B A,C选项中两函数的定义域不 同,D选项中两函数的对应关系不同,故A,C,D 错误. 跟踪训练5 D ∵函数y=f(x-1)的定义域为 {x|-2≤x≤3}, ∴-2≤x≤3,则-3≤x-1≤2,即函数f(x) 的定义域为{x|-3≤x≤2}. ∴对函数f(2x+1)有-3≤2x+1≤2, 解得-2≤x≤12. 即函数f(2x+1)的定义域为{x|-2≤x≤ 1 2 }. 【衔接自测训练】 1.C 若集合A={-1,2},则-1∈A,但|-1|= 1∉B,故选C. 2.B A错误,x2+y2=1可化为y=± 1-x2, 显然对任意x∈A,y 值不唯一;B正确,符合函 数的定义;C错误,2∈A,在B 中找不到与之相 对应的数;D错误,-1∈A,在B 中找不到与之 相对应的数. 3.C 当x=2 020在f(x)定义域内,则f(x)与 x=2 020公共点有1个,当x=2 020不 在 f(x)定义域内,则f(x)与x=2 020公共点有 0个,故选C. 4.A 由题意可知,2a-1<11,解得a<6. 5.C 对于①,定义域不同;对于③,定义域不同; 对于②④,定义域与对应关系都相同. 6.D f( 1 a )=31 a =3a. 7.解析:依题意,当x=-1时,y=4;当x=0时, y=0;当x=2时,y=-2;当x=3时,y=0,所 以函数y=x2-3x 的值域为{-2,0,4}. 答案:{-2,0,4} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·711· 参 考 答 案 8.解析:由题意可得 x+1≥0, x-1≠0, 所以x≥-1且x≠1, 故函数y= x+1 x-1 的定义域为 {x|x≥-1且x≠1}. 答案:{x|x≥-1且x≠1} 9.解:考虑输入值为3时,即当x=3时输出值y 由y=|x-3|给出,得y=0. 这个输入值没有输出值与之对应, 所以x→|x-3|(y=|x-3|)不是从A 到B 的 函数. 10.解:(1)要使函数式有意义,必须满足 3x-1≥0, 1-2x≥0, 即 x≥13 , x≤12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得1 3≤x≤ 1 2 , 所以函数的定义域为{x|13≤x≤ 1 2 }. (2)要 使 函 数 式 有 意 义,必 须 满 足 x+3≠0, |x|-x>0, 即 x≠-3, |x|>x, 解得 x≠-3 , x<0. 所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}. 第2讲 函数的表示法 【知识情境导学】 知识点一 情境 提示 解析法:就是用数学表达式表示两 个变量之间的对应关系;列表法:就是列出表格 来表示两个变量之间的对应关系;图象法:就是 用图象表示两个变量之间的对应关系. 知识点二 情境 提示 平移变换、对称变换、翻折变换. 【典型例题精析】 跟踪训练1 解:(1)因为x∈Z,所以图象为直线 y=1-x 上的孤立点,其图象如图①所示. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1或3时, y=0;当x=2时,y=-1,其图象如图②所示. 跟踪训练2 解:(1)∵x∈[-5,-2]在对称轴 x=-1的左侧, ∴x∈[-5,-2]时,抛物线上升. ∴当x=-5时,y=-12,当x=-2时,y=3. ∴y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2)的值域是 [-12,3]. (2)因为 1x+1≠0 ,所以 1 x+1-1≠-1 ,故函数 y= 1 x+1-1 的值域为{y|y≠-1}. 跟踪训练3 A 方法一 y= x 1+x 的定义域为 {x|x≠-1},排除C,D,当x=0时,y=0,排 除B. 方法二 y= x 1+x=1- 1 x+1 ,由函数的平移性 质可知A正确. 跟踪训练4 解:(1)方法一 (配凑法): ∵f(x+1)=x2-3x+2 =(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6, ∴f(x)=x2-5x+6. 方法二 (换元法):令t=x+1,则x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, 即f(x)=x2-5x+6. (2)设f(x)=ax+b(a≠0), 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b. 又f(f(x))=4x+8, ∴a2x+ab+b=4x+8, 即 a2=4, ab+b=8, 解得 a=2, b=83 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 a=-2, b=-8. ∴f(x)=2x+ 8 3 或f(x)=-2x-8. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·811· 初高中衔接教材 第四章 函数的概念与表示 第1讲 函数的概念 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数 的基础上,用集合语言和对应关系刻画 函数,建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概 念中的作用. 3.了解构成函数的要素,能求简单函数的 定义域、值域. 4.会判断两个函数是否为同一个函数. 5.能正确使用区间表示数集. 6.会求一些简单函数的定义域与函数值. 【导语】 同学们阅读人教A版课本75页《阅读与 思考》(大约3分钟),大家通过阅读函数 概念的发展历程可以发现:函数概念的 发展与生产、生活以及科学技术的实际 需要紧密相关,而且随着研究的深入,函 数概念不断得到严谨化、精确化的表达, 这与我们学习函数的过程是一样的.也 就是说函数并不是很神秘、很可怕的东 西,它只是一个名称,它就在我们身边, 比如路程随时间的变化而变化;一天中 温度随时间的变化而变化;天宫二号在 发射过程中,上升的高度随时间的变化 而变化,可以说这种变量关系无处不在, 而我们要做的就是用心去体验、去感受 它的美. 知识点一 函数的概念 情境1 阅读人教A版课本60页的问题1 和61页的问题2,并思考它们有什么异 同点? 情境2 请同学们继续阅读人教A版课本 上61页的问题3和问题4,它们分别是 函数吗? 如果是,请指出它们与问题1 和问题2中的函数的区别. 情境3 通过对上述课本中的4个问题的 分析,你能说出它们有什么不同点和共 同点吗? [知识梳理] 函数的概念 概念 一般地,设A,B是非空 的 ,如果对于 集合A 中的 , 按照某种 的对 应关系f,在集合B 中 都有 的数 y和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合A 到集合B的一个函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·27· 初高中衔接教材 续表 三 要 素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 的取值范围A 值域 与x 的值相对应的 的值的集合 {f(x)|x∈A} 注意点: (1)A,B 是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A,但函数的 值域不一定是非空实数集B,而是集合 B 的子集. (3)函数定义中强调“三性”:任意性、存 在性、唯一性,即对于非空实数集A 中的 任意一个(任意性)元素x,在非空实数集 B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素 y与之对应. (4)函数符号“y=f(x)”是数学符号之 一,不表示y 等于f 与x 的乘积,f(x) 也不一定是解析式,还可以是图象或表 格,或其他的对应关系. (5)除f(x)外,有时还用g(x),u(x), F(x),G(x)等符号表示函数. 知识点二 函数的三要素 情境4 初中我们学习过哪些函数? 情境5 你能说一说情境4中的几个函数 的定义域、对应关系和值域分别是什 么吗? 知识点三 区间的概念 [知识梳理] 设a,b∈R,且a<b,规定如下: 区间 数轴表示 [a,+∞) (a,+∞) (-∞,b] (-∞,b) 注意点: (1)区间只能表示连续的数集,开闭不能 混淆. (2)用数轴表示区间时,要特别注意实心 点与空心点的区别. (3)区间是实数集的一种表示形式,集合 的运算仍然成立. (4)∞是一个符号,而不是一个数. 知识点四 判断是否为同一个函数 情境1 构成函数的要素有哪些? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·37· 第三部分 高中知识初探析 情境2 结合函数的定义,如何才能确定一 个函数? 【例1】 (1)(多选)下列集合A 到集合B 的对应关系f是函数的是 ( ) A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A 中的 数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A 中的 数开方 C.A=Z,B=Q,f:A 中的数取倒数 D.A=R,B={x|x≥0},f:A 中的数取 绝对值 (2)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤ 2},给出下列五个图形: 其中,能表示从集合M 到集合N 的函数 关系的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 (1)按照函数定义,选项B中, 集合A 中的元素1对应集合B 中的元素 ±1,不符合函数定义中一个自变量的值 对应唯一的函数值的条件;选项C中,集 合A 中的元素0取倒数没有意义,也不 符合函数定义中集合A 中任意元素都对 应着唯一的函数值的要求;选项A和D 符合函数的定义. (2)①中,因为在集合 M 中当1<x≤2 时,在N 中无元素与之对应,所以①不能 表示;②中,对于集合M 中的任意一个数 x,在N 中都有唯一的数与之对应,所以 ②可以表示;③中,x=2对应元素y= 3∉N,所以③不能表示;④中,当x=1 时,在N 中有两个元素与之对应,所以 ④不能表示;⑤中,对于集合M 中的任意 一个数x,在N 中都有唯一的数与之对 应,所以⑤可以表示. 【答案】 (1)AD (2)C 【反思感悟】 (1)判断一个对应关系是 否为函数的方法 函 数 的 概 念 非空实数集A,B→ 作出 判断 → A中不能有剩余元素→ 一对一或多对一→ (2)根据图形判断对应关系是否为函数 的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l; ②在定义域内平行移动直线l; ③若直线l与图形有且只有一个交点,则 是函数;若在定义域内没有交点或有两 个或两个以上的交点,则不是函数. 跟踪训练1 已知集合M={-1,1,2,4}, N={1,2,4},给出下列四个对应关系, 其中能构成从M 到N 的函数的是 ( ) A.y=x2 B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=|x| 【例2】 (1)已知函数y=f(x)的图象如图 所示,则该函数的定义域为 ,值域为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·47· 初高中衔接教材 (2)若已知函数f(x)=x2,x∈{-1,0,1}, 则函数的值域为 . 【解析】 (1)根据y=f(x)的函数图象 可看出,f(x)的定义域为{x|-2≤x≤4 或5≤x≤8},值域为{y|-4≤y≤3}. (2)由x∈{-1,0,1},代入f(x)=x2, 得f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,根据 集合的互异性,函数的值域为{0,1}. 【答案】 (1){x|-2≤x≤4或5≤x≤ 8} {y|-4≤y≤3} (2){0,1} 【反思感悟】 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A,在坐标系中 是横坐标x的取值范围. (2)函数的值域并不是集合B,是函数值 的集合{f(x)|x∈A},在坐标系中是纵 坐标的取值范围. (3)函数的对应关系f 反映了自变量x 的运算、对应方法,通过这种运算,对应 得到唯一的函数值y. 跟 踪 训 练 2 函 数 y =f (x)= 1,x>0, 0,x=0, -1,x<0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的值域是 ( ) A.R B.{y|-1≤y≤1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 【例3】 (1)函数f(x)= x(x-1)- 1 x 的定义域为 . (2)已知函数f(x)=x+ 1 x ,则f(2)= ;当a≠-1时,f(a+1)= . 【解析】 (1)要使f(x)有意义, 则 x(x-1)≥0, x>0, 解得x≥1, 所以f(x)的定义域为[1,+∞). (2)f(2)=2+ 1 2= 5 2. 当a≠-1时,a+1≠0, 所以f(a+1)=a+1+ 1 a+1. 【答案】 (1)[1,+∞) (2)52 a+1+ 1 a+1 【反思感悟】 (1)求函数的定义域应关 注三点 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是 什么,函数有意义的准则一般有:(ⅰ)分式 的分母不为0;(ⅱ)偶次根式的被开方数 非负;(ⅲ)y=x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形,以免定义域变化. ③当一个函数由两个或两个以上代数式 的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使 得各式子都有意义的公共部分的集合. (2)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时,只需用a替换 表达式中的x即得f(a)的值. ②已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值 应遵循由里往外的原则. 跟踪训练3 求下列函数的定义域: (1)y=3- 1 2x ; (2)y= (x+1)0 x+2 ; (3)y= 5-x |x|-3 ; (4)y= x+1 -x2-3x+4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·57· 第三部分 高中知识初探析 【例4】 下列各组函数: ①f(x)= x2-x x ,g(x)=x-1; ②f(x)= x x ,g(x)= x x ; ③f (x)= x+1· 1-x,g (x) = 1-x2; ④f(x)= (x+3)2,g(x)=x+3; ⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数 关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)=80x(0≤x≤5). 其中表示同一个函数的是 (填 序号). 【解析】 ①不是同一个函数,定义域不 同,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的 定义域为R. ②不是同一个函数,对应关系不同, f(x)= 1 x ,g(x)= x. ③是同一个函数,定义域、对应关系都相同. ④不是同一个函数,对应关系不同,f(x) =|x+3|,g(x)=x+3. ⑤是同一个函数,定义域、对应关系都相同. 【答案】 ③⑤ 【反思感悟】 判断两个函数为同一个函 数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个 不相同就不是同一个函数,即使定义域 与值域都相同,也不一定是同一个函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系,所 以用什么字母表示自变量、因变量是没 有限制的. (3)在化简解析式时,必须是等价变形. 跟踪训练4 下列各组函数中是同一个函 数的是 ( ) A.y=x+1与y= x2-1 x-1 B.y=x2+1与s=t2+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2 【例5】 (1)函数y=f(x)的定义域是 [-1,3],则f(2x+1)的定义域为 . (2)若函数y=f(3x+1)的定义域为 [-2,4],则y=f(x)的定义域是( ) A.[-1,1] B.[-5,13] C.[-5,1] D.[-1,13] 【解析】 (1)令-1≤2x+1≤3, 解得-1≤x≤1, 所以f(2x+1)的定义域为[-1,1]. (2)由题意知,-2≤x≤4, 所以-5≤3x+1≤13, 所以y=f(x)的定义域是[-5,13]. 【答案】 (1)[-1,1] (2)B 【反思感悟】 抽象函数的定义域 (1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g (x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的 解集即定义域. (2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求 f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上 的范围(值域)即定义域. 跟踪训练5 已知函数f(x-1)的定义域 为{x|-2≤x≤3},则函数f(2x+1)的 定义域为 ( ) A.{x|-1≤x≤9} B.{x|-3≤x≤7} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|-2≤x≤12 } 1.已知f(x)=|x|是集合A 到集合B 的 函数,如果集合B={2},那么集合A 不 可能是 ( ) A.{-2,2} B.{-2} C.{-1,2} D.{2} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·67· 初高中衔接教材 2.下列对应或关系式中是A 到B 的函数 的是 ( ) A.A∈R,B∈R,x2+y2=1 B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系 如图: C.A=R,B=R,f:x→y= 1 x-2 D.A=Z,B=Z,f:x→y= 2x-1 3.函数y=f(x)的图象与直线x=2 022 的公共点有 ( ) A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.以上答案都不对 4.已知区间[2a-1,11],则实数a 的取值 范围是 ( ) A.(-∞,6) B.(6,+∞) C.(1,6) D.(-1,6) 5.已知四组函数: ①f(x)=x,g(x)=(x)2; ②f(x)=x,g(x)= 3 x3; ③f(n)=2n-1,g(n)=2n+1(n∈N); ④f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. 其中是同一个函数的是 ( ) A.没有 B.仅有② C.②④ D.②③④ 6.已知函数f(x)= 3 x ,则f( 1 a )等于 ( ) A.1a B. 3 a C.a D.3a 7.若函数y=x2-3x 的定义域为{-1,0, 2,3},则其值域为 . 8.函数y= x+1 x-1 的定义域是 . 9.判断下列对应关系是否为从A 到B 的函 数:A=B=N*,对任意的x∈A,x→ |x-3|. 10.求下列函数的定义域: (1)f(x)= 3x-1+ 1-2x+4; (2)f(x)= (x+3)0 |x|-x . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·77· 第三部分 高中知识初探析